Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Флуктуации числа частиц каждого /= знака заряда внутри этой области порядка 1 и (и)) 1). Отсюда следует, что характерный потенциал, действующий на пробную частицу, оказывается порядка Л(( )/ и — е'Ж'"гЦ'. гп Сравним эту величину с характерными энергиями, отвечающими заряженной частице в идеальной плазме с температурой Т: Как следует из этих неравенств, характерный потенциал, действующий на заряженную частицу в идеальной плазме, много меньше тепловой энергии частиц и много больше энергии парного взаимодействия при среднем расстоянии между частицами.
Тем самым, с одной стороны, каждая заряженная частица может рассматриваться как свободная и, с другой стороны, средний потенциал для рассматриваемой частицы создается в результате взаимодействия с большим числом окружающих частиц. Учитывая последнее обстоятельство, искомую функцию распределения ~((У) по потенциалам, действующим на пробную частицу, мы можем представить в виде распределения Гаусса (1.88): )(и)(() (2л Ли )- " р ~",,;,'~б((, где ЛУ' — (I' — Р, (/ — средний потенциал взаимодействия пробной частицы с окружающими ее заряженными частицами, (Т'— среднее значение от квадрата этой величины. Величина (У была вычислена в задаче 2.13. Она определяется изменением плотности заряженных частиц под действием поля пробной частицы на расстоянии от нее порядка радиуса Дебая— Гюккеля. Это изменение мало и согласно закону Больцмана составляет порядка е'(гпТ по сравнению с самой плотностью.
Отсюда получаем оценку для Г е~ — е~ м ди и- — и — — — й» - — <Ли. гп ~р7 7 " Т Поскольку действующий на пробную частицу средний потенциал в плазме мал по сравнению с его характерным значением, З 3. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ГХЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ !05 в дальнейшем мы будем считать эту величину равной нулю, а тем самым будем пренебрегать влиянием поля пробной частицы на распределение заряженных частиц, ибо последний эффект мал.
Тогда положительное и отрицательное значения суммарного потенциала окажутся равновероятными. Используя выражение для потенциала парного взаимодействия двух заряженных частиц в плазме, имеем для искомой величины: О Л(У' — (/'=-2 ( — ехр ~ — — ) Н,4иг'г(г = 4НХ,е'гр, ТЭ lо о где множитель 2 учитывает наличие частиц двух знаков заряда, М,— плотность частиц одного знака.
Полученное выражение совпадает с ранее выполненной оценкой. Подставляя эту величину в распределение Гаусса, получим для ~((т)т((у (вероятности того, что действующий на пробную заряженную частицу идеальной плазмы потенциал сосредоточен в интервале от 1У до (У+с((/) следующее выражение: й 3. Движение электронов в газе во внешнем поле Движение электронов в слабоионизованном газе определяет его электрические параметры и поэтому представляет практический интерес. Поведение электронов в газе обусловлено влиянием внешних полей, а также столкновением электронов с частицами газа, Учет этих факторов позволяет в конкретных случаях, которые будут рассмотрены в представленных задачах, определить функцию распределения электронов по энергиям.
При этом малым параметром задачи, наличие которого позволяет решить кинетическое уравнение Больцмана для электронов, является отношение массы электрона к массе частиц газа М. Кроме того, при решении' кинетического уравнения может быть использован тот факт, что сечение упругого соударения электронов с частицами газа всегда много больше сечения неупругого рассеяния. Задача 2.16. Определить функцию распределения по скоростям для электронов, движущихся в постоянном электрическом поле при наличии только упругих соударений электронов с атомами газа.
Плотность электронов мала, так что столкновением их друг с другом можно пренебречь. Кинетическое уравнение для функции распределения электронов по скоростям ((о) в рассматриваемом случае имеет вид м эв ст(0 (2.19) 106 ГЛ. Е ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ГАЗЕ Здесь ю — скорость электрона, т — его масса, Š— напряженность электрического поля, 1„— интеграл столкновений. Воспользуемся тем, что в силу различия масс электрона и и частицы газа М обмен энергией при их соударенни мал и составляет (АМ)цс от энергии этих частиц в системе центра инерций. Отсюда следует, что в результате столкновения электрона с частицей газа направление скорости электрона может измениться сильно, тогда как величина скорости меняется слабо. Поэтому функция распределения электронов по скоростям слабо зависит от направления, т.
е. близка к сферически симметричной. Отличие функции распределения от сферическн симметричной определяется действием электрического поля. Поскольку это отличие мало, функцию распределения электронов по скоростям можно представить в виде ~(Е) =-)е(в)+ЕЛ(Е), (2.20) где ось х направлена вдоль электрического поля. Интеграл столкновений электрона с частицами газа является линейной функцией относительно функции распределения, так что l„ ()) — 1„ (),)+ 1„ (и,~,). Интеграл столкновений для сферически симметричной части функции распределения был вычислен раныпе и в случае упругого столкновения электрона с частицами газа определяется формулой (1.74): ~се((с) = 'с д ~ ее Ти ит ( т + 'д ) 1' (2.21) где тт -.— Л'еп' — частота упругого столкновения электрона с частицами газа.
Для другой части интеграла столкновений имеем 1„( е),)=-ай!.~~.(~;)(,( ') „' — 4( .)1,() 11 — .1 в., где е„!т,' — скорости частицы газа до и после столкновения, в, в' — скорости электрона до и после столкновения, ~,— нормированная на единицу функция распределения часгиц газа (' ~ (,е(ес, — — 1), л1,— их плотность, е(о — дифференциальное сечение рассеяния электрона на частицах газа. Используем то, что скорость частицы газа и энергия электрона мало меняются при столкновении э,=-ю,', е =и', а также е)>о,. Получим Р„(е,!',) — -= — Ж, '1 1,(в,) с)в.~,(е) (в — в')„ес(а= = — М,е1, (в) е„п* = — Что,), (е). (2.22) Подставим разложение (2.20) в кинетическое уравнение (2.19) с учетом выражений (2.21) и (2.22) для интеграла столкновений.
Проинтегрируем это уравнение по созЬ (Ь вЂ” угол между в и Е). Получим еЕ /Р д)с Т еЕ д(ее — '~ — — '+) )= — — "=1 ()). т ~ 3 де е) Злсес де сс с . Г Ь ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕБГНЕМ ПОЛЕ )О7 Умножив уравнение (2.19) на сов 6 и проинтегрировав по е(сов 6, получим другое уравнение, связывающее функции ~, и 7,: д. Т ~' (2.23б) Мы получили систему дифференциальных уравнений для функ- ций 7, и ~,.
Решение этой системы при использовании для инте- грала столкновений )„(1,) выражения (1.74) имеет внд ),=-- Сехр ме ЗО (2.24а) ;~ (7+-'~, ) еЕ З), еЕ )е /е-- 2 (2. 24б) елет Нз т ( еЕ'М~' З~п~ъ~т / где а — - еЕ)ле, частота столкновений т = Со". Отсюда находим для средней энергии электрона 5' г( — / то~ ~ м 1 2Мае(В+!) 1л~~-~ (2ат2) Постоянный множитель С может быть 1найден из условия нормировки функции ~ 7(э) е(п -= ~ ~,(п)е(п -1. Оценим отношение о),ф,. Это отноптение максимально прн еЕ)л~т (77М)ч*, когда его величина е)',7)', (т!М)'/*, и )/ Т(т.
Отсюда следует, что Е7Д, всегда много меньше единицы. Поэтому использованное приближение, согласно которому функция распределения мало отличается от сферически симметричной, справедливо. Функция распределения электронов по скоростям в пределе больших напряженностей поля, получаемая из (2.24), носит название функции распределения Драйвестейна. (Первоначально Драйвестейн рассматривал случай п=-сопз(, Š— со.) Задача 2.17. При условиях задачи 2.16 определить дрейфовую скорость и среднюю энергию электронов в пределе больших напряженностей электрического поля. Считать, что зависимость частоты столкновения электронов с атомами от скорости соударения имеет вид т -= Со", и ~ †!. Согласно результату предыдущей задачи сферически симметричная часть функции распределения электронов при высоких напряженностях электрического поля равна Зеле'" е еС~ 70= сопз( ехР ~ — 2(„+1) м„з1, 108 гл.
у. злгяжаниуяа частицы в газа Дрейфовая скорость электрона но=(и„>=(с,'.— '). Так как, /о т Заео согласно результатам предыдущей задачи )', (и) = — — /„то М еЕ отсюда находим для дрейфовой скорости электрона - Г~'+а) т о тС 1 2Мао (а+!) ~ оооо 1,2и5-2 1 Ма Ма ~ 2тсо „(' '12 +2/ В частности, когда частота столкновений не зависит от скорости (п==0, С=т), получим (2.25а) 'еЕ Но = — о ту 2то 2т-'~ о т. е. а= Мщ'/2.
В другом предельном случае, когда сечение соударения электрона с атомом не зависит от скорости, имеем и =-1, С = 1'л (Л вЂ дли свободного пробега электрона): и (4МаЛ )~мГ(З/4) 0427 э~ 2 1 Зт / Р(3/4) ' У т ' (2.25б) т (4Ма Ло'1 оуо Г (3/2) 0 307 1' еЕЛ Мах 1, Зт / Г (3,'4) ' Мпотио ' т. е. а= 0,530Мьао. Задача 2.18. Определить функцию распределения по скоростям для электронов, движущихся в молекулярном газе в постоянном электрическом поле, если потери энергии электрона связаны с упругим рассеянием электрона на молекуле и с возбуждением первого колебательного уровня молекулы. Прн этом энергия возбуждения колебательного уровня молекулы значительно меньше средней энергии электронов и энергия электронов много больше температуры газа.
При учете неупругнх соударений электрона с частицами газа воспользуемся малостью сечения неупругого перехода по сравнению с сечением упругого рассеяния электрона на молекуле, что всегда выполняется с хорошей точностью. Поэтому направление скорости при столкновении электрона с частицами газа меняется сильнее, чем его энергия, и разложение (2.20) для функции распределения электронов по скоростям остается в силе.
При этом уравнение (2.23б) сохраняет свой вид, а в уравнении (2.23а) величина /„ (/о) определяется возбуждением колебательных уровней молекулы и упругим рассеянием электрона на молекуле. Этот интеграл столкновения при болыпих энергиях электрона, согласно формулам (1.74) и (1.75), имеет вид о от (Уо) = . о 8, (,и ц тУ/о+ т Пооаоб(о) . $3. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ГЛЗС ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ !Оз Решение системы уравнений (2.23) с использованием приведенного выражения для интеграла столкновений в уравнении (2.23а) дает следующую формулу для сферически симметричной части функции распределения: Г о 3 елтт Если пренебречь возбуждением колебательных уровней (т„,е О), то зто выражение совпадает с формулой (2.24а) прн условии, что энергия электрона значительно превышает тепловую энергию атомов газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
