Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4а 4а/' и' Для тока ионов 7(1) на катоде получаем 7 (/) = то ') 2пр /(р / (р, т) = юй/ (4на)-'/' ехр ( — ~) = о у о/о °,о 4поэ)/. '/' Р ~ 4Я/ ) ' ( ) где т=/ — 1./и/. Далее, используя функцию распределения, находим распределение ионов по поверхности катода: рйр (4я/2)/)о/о ~ 4Я/ / ) р ) 4Я/ й 45 диФФузия и нАпРАВленнОе дВижение чАстиц В ГАзе тэ Число ионов, попадающих на катод на расстоянии р от оси, равно К Г вЂ” Ро1 еоп= — ехр ) — ) рдр. 2оо ),4а) Задача 1.48. Условия предыдущей задачи, однако расхождение пучка определяется электростатическим взаимодействием ионов, а не их диффузией. Выяснить, при каких условиях этот эффект сильнее.- На ион, находящийся на расстоянии г от Центра, действует пео сила г'= — г, так что он движется по радиусу от центра пучка. = ео Здесь п — число ионов, расположенных ближе к центру, чем данный, причем их распределение относительно этого центра остается сферически симметричным, е †зар иона.
Под действием указанной силы ион движется по радиусу от центра со скоростью пе та= К вЂ”, г, где К вЂ” подвижность иона в газе, так что уравнение е движения иона имеет вид пг пе —, = К вЂ” г. и'Е г' Решение этого уравнения при начальном условии г= О при Г = О имеет вид ео — = Кпе4. з Отсюда число ионов, расположенных на расстоянии г от центра сгустка в момент времени 4, равно го и'г е)п= — . КеЕ ' Если полное число ионов Й', то О, г>г„ го = ЗКМе1.
Отсюда распределение ионов в направлении дрейфовой скорости ~го — оо) !( г,. На основании этого находим ток ионов: Еп (г'.— Ао) ЗАЪ I Ео Х е о— пЕ 4Кео 4ео ~ то) ) т 1(т„ где т, '== —,, 1 = —, г = шг, причем г,< Е и ток отличен от о 2Кпее. нуля при — т, ( 4 ( т,. ГЛ Ь КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬ МАНА во Для распределения ионов по поверхности катода имеем ее р'е~ е е~и =— 2 Кее где р ( г, и ~ —.
1.~ю, Данный механизм расширения пучка более существен, чем диффузионный, если г,>) Р' Я1, т. е. число ионов Г~ЯН' 'ЛП' <ЛЦНе ~ ет Лме Ф)~ — — „ Ке мпе емг ~м) где Л вЂ” длина свободного пробега иона, Т вЂ” температура, ог— тепловая скорость ионов, ш — их дрейфовая скорость под действием внешнего поля.
Задача 1.49. Определить изменение 'времени движения заряженной частицы в пространстве между двумя металлическими цилиндрическими коаксиальными электродами в результате взаимодействия заряженной частицы с ббльшим из них. Это взаимодействие проявляется при расстояниях между заряженной частицей и электродом, много меньших его радиуса. Вблизи поверхности цилиндра его поверхность можно считать плоской, так что на заряд действует наведенное поле напряженностью е!4ге, г — расстояние от поверхности. Дрейфовая скорость электрона вблизи поверхности цилиндра оказывается равной ш+ЕК(4г', где ев — дрейфовая скорость под действием внешнего поля, К вЂ” подвижность иона.
При этом мы считаем, что первый член сравнивается со вторым при расстоянии от поверхности катода, значительно превышающем длину свободного пробега Л, так что напряженность внешнего поля у электрода Е мала: Е<фе~Ле. Уравнение движения при расстояниях от электрода, меньших его радиуса, имеет вид ее еК вЂ” = еп+— Ш 4ге' где г — расстояние от катода. Отсюда изменение времени движе- ния заряда равно о е Для радиуса Я большего электрода было использовано условие Р4е Кем)) 1. Это соответствует М(сЬ/в, т.
е. изменение времени пролета мало. 4 БэдиФФузия и нАпРАВленнОе дВижение чАстиц В ГАзе 3] Задача 1.50. Прибор Таунсенда для измерения диффузии электронов имеет вид, представленный на рис. 1.4. Нить Р эммитирует электроны, которые проникают в дрейфовую камеру К через щель. Электроны поглощаются секционированными анодами 1 и 2, причем измеряется отношение токов 1, и 1, на эти электроды.
Определить отношение токов в отсутствие и при наличии магнитного поля, если длина камеры 1. значительно превышает диаметр анода 1, равный 2АИ При отсутствии магнитного поля имеем для токов электронов м 1,=С) ехр(4 ] )Рс]Р=-1,ехр(4.->~ ) о г 1,=С) ехр( 4 "] )Рс]Р=1 ] 1 — ехр( 4йк] )1, с~ где С вЂ” константа, 1,==1,+1,— полный ток, 1=. 1]ш, сц — дрейфо.
вая скорость электронов. Мы считали, что время пролета ионов 1.1сц значительно меньше времени диффузии ЛАЙ (1ла1йр)) 1), т. е. пучок слабо размывается в результате диффузии. Случай магнитного поля. Электроны движутся по окружности радиуса ]с = \ = ццпс1ео. Если этот радиус велик по срав- Л 1 13 А нению с 1„то смещение пятна по горизонтали составляет Лх — — Е'~2Р,. При этом функция распределения электрона относительно центра пятна, согласно формуле П.82), имеет вид я Цх — Лх)'+ц'] и 1 4ЯА Отсюда находим искомое отношение токов ~-1 с В созе ) ~рдр 1~ о Г1+1и ~ Л соа б ~ 1рс]р — ! о -( —.',, — ) Лх'в ], ФЯП.,] Г ' — Рцсц ~ р рАхсц Р ( ~щА /З]4 2сц1с С]Р о ! Задача 1.51. Определить функцию распределения частицы, совершающей броуновское движение по поверхности сферы Эта задача имеет практическое значение, в частности, если нас интересует направление момента (орбитального или спина) 82 ГЛ 1 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЬОЛЪЦМАНА частицы, которое мало меняется при однократном соударении с частицами газа.
Направление момента будем характеризовать точкой на сфере, так что, считая в уравнении (1.78) г -= сопз1, приведем его к виду где О, ~р — полярный и аксиальный углы, характеризующие направление момента, коэффициент диффузии г( связан с коэффициентом диффузии Ю уравнения (1.78) соотношением Ю вЂ” г'И. Раскладывая функцию распределения Вт" (О, ~р, 1) по сферическим гармоникам, получим, что решение этого уравнения можно представить в виде суммы (у" = — ~~' (21+ 1) Р, (соз О) е ' и+'1"' Ап где Р, (х) — полипом Лежандра.
Выведем два важных интегральных соотношения для функции распределения. Первое из них — для поляризации Р (Г) =- ) соз ОЙ" пэ,, ~ )Р до соответствует средней проекции вектора на выделенное направление (бэ=-дсозбгпр — элемент телесного угла). Умножим уравнение диффузии на созО и проинтегрируем по углам. Получим ЕР— „== — 2ИР, откуда Р= Р,е *ю, Р,— поляризация в начальный момент времени. Если за направление поляризации выбрать начальное направление вектора момента (Р„ =- 1), получим 1 — созб — 1 — е '"', где черта сверху означает усреднение по функции распределения, Отсюда при 1 — О получаем ОА=4г(1. Это соотношение может быть принято за определение для коэффициента диффузии точка, движущейся по поверхности сферы. Другое соотношение получим для величины К =- з(п'О, умножив уравнение диффузии на з1п'О и проинтегрировав его по углам.
Получим — „= — ббК, откуда ИК вЂ” 2 з)ИА О (1 е-В ш) 3 При стремлении времени к нулю это соотношение, как и соот- ношение для поляризации, дает О' = — 4 й. $ 5 диФФузия и нлпелвленное движение члстиц В глзе 33 Задача !.52. В газе имеется небольшая примесь молекул, которые эффективно поглощают излучение внешнего источника (например, лазера). Сам газ не поглощает этого излучения. Поглощая фотон, молекула приобретает импульс в направлении движения фотояа. Это явление лежит в основе метода отделения примеси.
Поток газа с примесью облучается в поперечном направлении излучением, под действием которого создается неоднородное распределение примеси в потоке газа после прохождения им зоны облучения. Оценить, какую энергию излучения необходимо затратить на одну молекулу примеси, чтобы получить заметный коэффициент разделения. Считать, что поперечный размер потока превышает длину пробега фотонов. Поглощая фотон с энергией йхо, молекула примеси приобретает импульс в направлении движения фотона, равный йа/с.
Пусть /„йэ — поток излучения с частотой, находящейся в интервале от в до ы+да, так что ( у„0в — энергия излучения на всех. частотах, приходящаяся на единицу площади в единицу времени. Вероятность поглощения в единицу времени фотонов, находящихся в интервале частот от гз до ы+дсо, выделенной Х~ ФФ молекулой примеси, равна — о„„„где о„„„(а) — сечение поглощения фотона на данной частоте.
Отсюда находим силу, действующую на молекулу примеси из-за поглощения его излучения: При этом мы считаем, что поглощенный молекулой фотон успевает высветиться задолго до того, как поглотится следующий фотон. Под действием найденной силы молекула примеси дрейфует в газе. Для того чтобы произошло заметное разделение примеси, необходимо, чтобы за время, в течение которого данная молекула находится в зоне облучения, она успела пройти расстояние, сравнимое с поперечными размерами потока Е. Это оптимальное время для молекулы примеси порядка Ь ТЬ Т1.с м ЬТ ЛРРТ л ~~ В где ш — дрейфовая скорость молекулы примеси в газе под действием силы г, Ь вЂ” Т)) пг — подвижность молекулы примеси в газе (Т вЂ” тепловая энергия молекул,  — тепловая скорость молекулы, й — длина пробега молекулы примеси в газе).
Энергия, поглощаемая одной молекулой примеси в единицу времени, равна ~ 1„о„,„,йл,следовательно, энергия, затрачиваемая 34 гл ! кинетическОе уРлвнение БОльцмлнА на разделение одной частицы, по порядку величины равна с Б (1 о ойот Т вЂ”вЂ” оо по го л 'т Отсюда видно, что энергия, затрачиваемая на одну частицу при разделении, на много порядков превышает тепловую энергию частиц. Задача 1.53. При условиях предыдущей задачи найти распределение примеси по длине трубки, в которой находится неподвижная смесь, причем облучение проводится в направлении оси трубки.
Длина пробега частиц мала по сравнению с поперечными размерами трубки, тепловыми эффектами при поглощении фотонов можно пренебречь. Действие излучения на частицы примеси эквивалентно действию на них силового поля. Поэтому распределение частиц примеси вдоль оси трубки — распределение Больцмана: М вЂ” М е — ент где х — координата вдоль оси трубки, Т вЂ” температура газа, Л'о— плотность частиц примеси в начале координат. Сила г, действующая на частицу примеси, найдена в предыдущей задаче и составляет ~ г с ~ где и' — интенсивность падающего излучения, о„„„,— сечение поглощения частицами примеси на данной частоте.
Прн этом использовано предположение, что длина пробега фотонов превышает продольный размер трубки. Плотность частиц примеси увеличивается в направлении распространения излучения. Глава 2 ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ГАЗЕ 5 1. Свойства слабоионизованной плазмы, обусловленные заряженными частицами Объектом нашего исследования является система, состоящая из нейтральных частиц и относительно малого числа заряженных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
