Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Мерой рассматриваемого процесса движения является средний квадрат расстояния, на которое частица смещается за данное время: Ю о — г г « го «гое-а™о(г / 1 гое-а~-'Ь, где а= 4Ю« Отсюда следует: 1и '1 е " г Й = — — 1п — = — =6%(, (1.84) з о«а а о!о 2а о 15. диФФузия Й ИАпРАВленное дВижение частиц В ГАзе 73 а(х) бх= 1 Пф(х,)( н где х = ~ хо с=о Введем характеристические функции +а +а Г'(р) = ) д(х)е'Р"Г(х, )(р) = ) ф(х~)еРГЧГ(хо (1.85) так что на основе обратного преобразования -~ Ю .~- а а(х)=~' ~ ~(йе ' "М, ф(х)=~'„~ 1(ЯЕ ""Г)р. Как следует из формулы (!.85), 1 (О) = ~ ф (х,) г(х; = 1, 1'(О) =ю' ) х,ф(х,) дх~=-!хи Ф г" (О) = — $ х,'ф(х,) сЬ, = — х'„ (1.86р где хо х,' — средние зиачения смещения и его квадрата за время между двумя соседними соударениями.
Характеристические функции удобны потому, что 1(р) не зависит от номера столкновения. Это дает + Ф г (о) = ~ ехр ((р ~~'„х;) Пф(х;) Нх =1'(р) Задача 1.43. Вынести формулу (1.83), учитывая, что величина и знак каждого смещения частицы между двумя столкновениями не зависят от предыдущих соударений, т. е. блуждания частицы носят случайный характер. Задача заключается в нахождении 8 (х, 1) — вероятности того, что за время 1 частица сместится на расстояние х. Пусть за это время частица испытала и соударений, причем ф (х,) †вероятнос того, что за время между 1-м и (1+!)-м столкновениями частица сместилась на расстояние х,. ( ~ ф(х~) йх~ = 1).
Поскольку столкновения носят случайный характер, вероятность ф(х~) не зависит от номера столкновений. При этом вероятность д(х) равна 74 ГЛ. 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА сэткуда Д(х) = 2 3 7" (р) ехр ( — 111х) с(р= — ) ехр (п!п) — срх) с(р. х 1 Г (1.87) При большом числе столкновений и этот интеграл определяется малыми значениями р, так что 7 можно разложить при р--.О. Имеем )п Р и 1 схср схср 2 откуда А О Г. ссх,рС ) я(х)= — ~ ехр ~ср(пхс — х) — — '~с)р 1 Г (х — х)' ( (1.88) где х =пх;, Л'=-пхсс.
Если ввести х'= (Ххс), то ссс =х' — (х)'. Таким образом, для искомой функции мы получили распределение Гаусса. Это распределение справедливо, если основной вклад в интеграл (1.87) вносят малые значения р. Использованное нами разложение для )(р) приемлемо при х,р<' 1, хсрс((1. Основной вклад в интеграл (1 87) вносит область пх',р' 1. Таким образом, распределение Гаусса (1.88) становится справедливым после большого числа столкновений.
Свяжем параметры Л' и х со временем. Среднее смещение отвечает направленному движению и х=пс1, где пс — дрейфовая скорость. В системе координат, где сс = О, имеем х' = — 2ЮГ 4Ю вЂ коэффицие диффузии), Отсюда сс' = 2Ю(, и распределение Гаусса (1.88) принимает в данном случае вид (х — сссС)г) Ас(х, 1) =(4пй)1)- ссс ехр )в 4Я)С Задача 1.44. Пучок атомов состоит из атомов двух сортов (или двух изотопов) и облучается источником монохроматического излучения, который возбуждает атомы только одного сорта. Фотоны движутся перпендикулярно пучку и возбуждают атомы в ограниченной области пространства, причем среднее число фотонов, поглощенныХ каждым атомом, равно и и много больше единицы. При каждом поглощении фотона атом приобретает импульс р,= йсв)с (йхэ — энергия фотона, с — скорость света), а затем излучают этот фотон изотропно. Найти распределение поглощающих атомов по импульсам в направлении движения фотонов.
(Соударений атомов не происходит.) 00 диафгзия н ИАПРАвленное дВижение чАстиц В ГАзе 75 Рассматриваемый способ используется для разделения изотопов и приводит к разделению надва пучка атомов разных сортов, или разных изотопов. Обозначим функцию распределения поглощающих атомов по поперечным компонентам импульсов после поглощения п фотонов через )„(РА), где РА — компонента импульса атомов в направлении движейия фотонов. 1')ы имеем следую(цеесоотношение для функции распределения, которое вытекает из. природы процесса: )„(РА) = — ( 1(,— К 11 (РА — РА) ((Р Определим )1(РА).
При поглощении фотона атом приобретает импульс р, в направлении движения светового пучка, а затем при пропускании фотона приобретает импульс р, с равной вероятностью в любом направлении. Суммарный импульс, получаемый атомом после поглощения и испускания одного фотона, равен РА ==- ра(! — соз д), где б †уг между направлением движения поглощаемого н испускаемого фотона. Нормированная на единицу функция распределения атомов по поперечным компонентам импульсов после поглощения и испускания одного фотона равна, 71 (РА) "РА = Используя связь между этими величинами, находим 1 ) ( 2 ' <РА< Р" О, Р(<О, РА)2Р,.
ВВЕДЕМ бЕЗРаЗМЕРНУЮ ПЕРЕМЕННУЮ Х=РА)2Ра. С УЧЕТОМ ВЫРажения для (1(Р() преобразуем соотношение для функции распределения к виду па)и (к, л-1) )„(х) = ~ )л х(х') ((х', паап (к-1. О) причем п ) х ) О и на нижнем пределе стоит максимальное зна-- чение из чисел х — 1 и О, Поскольку число поглощенных фото- нов велико, то функция распределения атомов по поперечным. компонентам импульсов имеет вид распределения Гаусса, так что наша задача далее заключается в нахождении среднего значения. поперечной компоненты импульса и средне квадратичного зна- чения этой величины. Перейдем к нахождению этих характеристик.
Из вида функции распределения ), (х) (71 (х) равна единице, если О < х < 1 и нулю при других значениях аргумента) нахо- димх, ==1)2, х',= — 1,13. При этом мы обозначаем через х„величину ) хл)„(х)((х. Из соотношения для функций распределения имеем. л л ипи (к, л-1) х„= (г„(х)((х х = ~хдх ~ г„х(х')((х'.
0 0 паах (к-1, О) Уб ГЛ. 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЪЦМАНА Меняя пределы интегрирования, получим л-1 к'+! п — 1 х„= ) ~„,(х) !)х ) х!)х= ~ (х + — )„!(х)!Хх =-х,-~- —, о к' о Отсюда, учитывая, что х,= !12, получаем х„= п!2, Подобным образом имеем для среднего квадрата л л ппп (к, л-! ! х„' = ) ~„ (х) х' !)х = ) х'!4х )л Гл ! (х') !!х'. о о п1пк 1к — 1, О! После замены пределов интегрирования находим л-1 к'п1 и о к' Это рекуррентное соотношение с учетом того, что х; '=- !)3, дает — и' и 4 1 4 !2' Теперь учтем тот факт, что число фотонов, поглощенное рас- сматриваемым атомом, может отличаться от среднего значения. Вероятность того, что рассматриваемый атом поглотит п фотонов, описывается распределением Гаусса и равна ))!"л = ехр [ — " где п)) 1 — среднее число поглощенных фотонов. Отсюда находим х = ~ х„)р'„!)п = —, о лп и Х' = ! Хк'1О' !)П= — + —, ,) и " 4 3 о и х' — х'= — .
з ' С учетом этого, задавая распределение атомов по поперечным импульсам в виде распределения Гаусса, для функции распределения поглощающих атомов по поперечным импульсам после прохождения зоны поглощения получаем ~!.) = р 2ии где 4!и = хп — (х) и = п)3, а х =- и (2. Возвращаясь к размерным обозначениям, имеем для функции распределения поглощающих атомов по поперечным импульсам $ 5. диФФузия и нАпРАВленнОе дВижение чАстиц В ГАзе 77 после прохождения зоны поглощения: ИВА Г (РА — Вго~*1 г (Р~) г(РА = ехр 1 18/З)Вирд ~ (8/3) про Здесь Р (РА) брь — вероятность того, что поперечный импульс отклоненных атомов лежит в промежутке от РА до РА+г(РА, и— среднее число поглощенных фотонов.
При этом мы считаем, что размытие по поперечному импульсу в пучке мало по сравнению с приобретаемым средним поперечным импульсом НР,. Полуширина функции распределения, т. е. область импульсов, где функция распределения превышает половину своего максимального значе- ' ния, равна ЛРА= 2)I (8(3) пр', 1п 2=2,72рглр,. Эта величина значительно меньше среднего поперечного импульса отклоняемых атомов, ибо п)) 1. Задача 1.45.
Электроны испаряются в пространство между двумя плоскими бесконечными электродами, в котором находится газ, н движутся в газе в постоянном электрическом поле от одного электрода к другому. Коэффициент диффузии электронов йр, дрейфовая скорость в электрическом поле ш, поток электронов 1Ф расстояние между электродами Е >) ), (). †дли свободного пробега электрона). Пренебрегая взаимодействием между электронами, определить распределение электронов в пространстве между электродами.
Плотность тока электронов равна дУ 1о ~ к +~)~~ ° где )у' — плотность электронов. Решая это уравнение с граничным условием )У = О при х = 7„ получим М = — ы (1 — ехр ~ — — (Š— х)1~ . Если ш7.,'йй )) 1, то в основной части пространства диффузией можно пренебречь и М=Цга. Если ш7/Ю((1, то направленное движение электронов не играет роли и плотность электронов не зависит от ш: М = — ' — (1.— х). Задача 1Аб. Электроны рождаются в некоторой точке пространства и попадают в движущийся газ. Скорость движения газа О, коэффициент диффузии электронов в газе Ву, число электронов, возникающих в единицу времени, а. Найти функцию распределения электронов в пространстве. 78 ГЛ.
Ь КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИИ БОЛЬЦМАНА В момент Т после включения источника функция распределения электронов, согласно формуле (1.83), имеет вид о причем источник электронов находится в начале координат, ось х направлена по скорости газа. В частности, число электронов, находящихся на расстоянии р от оси, равно ~. й Т ! ./ р' = — — Е( — — ), 4ЕЯ (, 4ЯТ/ ' т. е.
монотонно убывает с-удалением электронов от оси. Здесь Е( (х) — интегральная показательная функция. Задача 1.47. Пучок ионов' впрыскивается в пространство между двумя электродами и движется между ними в газе в постоянном электрическом поле. Расстояние между электродами Ь, скорость дрейфа ю, коэффициент диффузии!9, причем 7.ы)).'9. Определить зависимость импульса тока от времени и распределение ионов по поверхности катода. В рассматриваемом случае функция распределения ионов согласно формуле (!.83) имеет вид А/ ) ро+(х — м/)о ) (4пйр/)о/в р ( 4Я/ где Л/ — число ионов. Для х=ь и т — -/ — — (( — имеем отсюда б р' мото 1) /. /'= (4па)-'/' й/ ехр ( — — — ), а.= Я вЂ” .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
