Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вводя новую переменную у - ЯТ, — Т), приведем это уравнение к виду — „~ — Ае "=-О, где А = Я(Т,))к и у(0) - О. При этом отметим, что распределе. ние температуры в промежутке четно по х, т. е. Т(х)=Т( — х). Отсюда следует, что у(х)=у( — х) и — "1 =О. Учитывая это, кк кх .=О= ' мы будем рассматривать данное уравнение только при х) О. Решение данного уравнения с граничными условиями у(0) = — ~ =-0 имеет вид ку дх у = 2 1п с )т х ~' А!2. Это дает для перепада температур между центром промежутка и стенками: йт=т,— Т„= —,= — 1 И У~ „ у(О 2 - ГР((т) где Т,„ --температура стенок. Проанализируем полученное соотношение как функцию темпе.
ратуры Т,. Левая часть этого соотношения обращается в нуль при Т, =- Т„ и далее с увеличением Т, растет как разность этих температур. Правая часть данного соотношения имеет конечное значение при Т,-= Т„, а при больших значениях Т, растет по экспоненциальному закону, т. е. гораздо быстрее, чем левая часть.
Поэтому возможны условия, для которых представленное соотношение не выполняется, нбо для любого Т, — Т„ правая часть соотношения больше, чем левая. Это имеет место, в частности, если коэффициент теплопроводностн х устремить к нулю. Физический смысл отсутствия стационарного решения в данном случае связан с тем, что при слабом теплоотводе за счет теплопровод- ~62 ГЛ 1 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ности газа выделяемое тепло остается внутри газа.
Оно приводит к росту температуры газа, а это в свою очередь вызывает увели. чение тепловыделения в результате колебательной релаксации. Рассматриваемая неустойчивость, приводящая к резкому возрастанию тепловыделения внутри системы за счет протекающих в ней процессов тепловыделения, носит название теплового взрыва. Найдем порог теплового взрыва. В пороге происходит касание двух кривых, описываемых левой и правой частями представленного соотношения. При этом в точке касания равны как сами величины, так и нх производные.
Это дает ЬТ = — 1п сп г, г 1Ь г -- 1, 2 б где г=( г'Я(Т,)(2И. Решение второго уравнения дает я=1, 2, откуда для порога теплового взрыва находим 1'Я(То)(и = 2,88. Кроме того, из полученных соотношений для перепада температуры имеем ЬТ = 1,19ф. Перепишем условие теплового взрыва через параметры тепловыделения вблизи стенок. Вблизи порога теплового взрыва 1'(Т )=1(То) ехр ( — ))ЬТ) =0 301'(То) На основе этого перепишем условие возникновения теплового взрыва в виде (ор'( (Т„)(и =- 0,44. С учетом определения параметра р это условие может быть пред- ставлено следующим образом: Г ! о(1(Т= ооо) ~ 0 44 Оно имеет простой физический смысл.
В него входит отношение потока тепла, вносимого в объем газа за счет внутреннего процесса тепловыделения, к потоку тепла, который уносится из объема за счет теплопроводности. Как толька это отношение превысит некоторую критическую величину порядка единицы, возникает тепловой взрыв. Отметим, что хотя данная задача относится к конкретному характеру тепловыделения, связанному с колебательной релаксацией, полученный результат справедлив для любого механизма тепловыделения в объеме.
З С УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА $4. Уравнение Фоккера — Планка (1.65) Тогда, как следует из определения вероятности, она удовлетво- ряет интегральному уравнению Смолуховского: (Р'(4'„х4; 1+т, х) —.. ~ (г'(1„х,; 1, г) (Р(1, г; 1+т, х)4(г. (1.66) Если однократное изменение состояния частицы связано с малыми изменениями величины х по сравнению с некоторой характерной величиной, то интегральное уравнение Смолуховского приводится к дифференциальному уравнению Фоккера — Планка, которое имеет вид — —. (л)Р)+ —,(в(Р), д 144 д' д4 (1.67) причем Л (х, 1) =- 1пп — 1 (г — х) )Р'(1, х; 1+т, г)4(г, (!.68а) 1 4-~ 0 В(х, 1).—.— 1пп — ~ (х — г)')Р'((, х; т+т, г)4(г. (1.68б) ~ г Для физической интерпретации уравнение Фоккера — Планка запишем в виде уравнения непрерывности: д%' д) ~ 1д.' ~ дх1' (1.69) причем поток частиц 1=- Л(Р— В'„~ (1.70) складывается из двух частей.
Первое слагаемое, гидродинамический поток, пропорционально плотности состояний (или плотности пробных частиц), второе слагаемое, диффузионнный поток, определяется градиентом плотности состояний (градиентом плотности частиц). Обобщим уравнение Фоккера — Планка на случай, когда плотность вероятности нормирована более общим, чем (1.65), Уравнение Фоккера — Планка описывает состояние пробной частицы, движущейся в среде, если состояние частицы мало изменяется за одно соударенне с частицами среды. Пусть состояние пробной частицы (т. е. частицы, за которой ведется наблюдение) характеризуется одной непрерывно меняющейся переменной х, и пусть Ю'(1„х4; 1, х) — вероятность того, что частица, находившаяся в момент времени 1, в состоянии х„ перейдет к моменту времени 1 в состояние х, причем выполняется условие нормировки 64 Гл.
! кинетическое уРАвнение еольцманА условием, а именно, ~ р(х) 12'(г„х,; 1, х) 2!х=-1. Это можно сделать, заменив в уравнении (1.67) величину !22 на р(Р', что приведет к уравнению д1г' 1 д 1 д2 — = — — — (Айур)+ — (В(Рр). д! р дх р дх2 (1,7!) При этом соответствующим образом переопределяются и величины А, В: 1 г А(х, !) =-!Нп — ~ (г — х) р(х) К(х, (; г, г+т)2(г, (1.72а) 2 О ) В(х, !)=--!Ип — ~ (г — х)'р(х) 222(х, 1; г, 1+т)г(г. (1.72б) Наконец, по аналогии с одномерным случаем напишем уравнение Фоккера — Планка в многомерном случае: да2 д д2 — — — (А р)Р)-! ~ (В„р)Р), 2 А,! где 22 — к2 (22 — х2) !2! — х2) А, == 1пп, Вы — !Вп О т 2 О 2т Здесь х2 — переменные, которыми определяется плотность вероятности; знак усреднения соответствует операции а — -- ~ аРТ (1, х,, ..., х„; !+т, г„..., г„) ДО(гр 2 Уравнение Фоккера — Планка линейно и поэтому применимо в тех случаях, когда присутствие исследуемых частиц не изменяет свойств среды, в которой они движутся.
Другое условие, которое мы использовали, связано с предположением, что искомая характеристика х изменяется почти непрерывно, т. е. при каждом последующем взаимодействии со средой эта величина мало отличается от значения, принимаемого в предыдущем акте взаимодействия. Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для целого спектра задач, в которых аргумент в результате единичного перехода меняется малыми порциями. Сюда, в частности, относится движение частицы в координатном пространстве, когда длина свободного пробега частицы мала по сравнению с характерными размерами ее перемещения. Другой круг задач $4.
УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА 65 относится к распределению частиц 'по энергиям, если за одно соударение энергия рассматриваемой частицы мало изменяется. В любом случае уравнение Фоккера — Планка справедливо при условии, что рассматриваемые пробные частицы не влияют на параметры среды, т. е, относительное число частиц невелико. 1 Задача 1.35.
Получить уравнение Фоккера — Планка для плотности вероятности как функции начального состояния. Воспользуемся уравнением Фоккера — Планка (1.71) в виде дИ' (х, г, г) р(г) — д~ ' д [А (г, г) р(г) Ж (х' г' 1)1+ д ' [В(г' 1) р(г) )Р (х, г, г)) д дг и уравнением Смолуховского(1.66) в упрощенной записи )Ат (х, г, Г)= = )р (10, х; 10+ г, г): Ю' (х, г, 1 + т) -= ) Ю' (х, $, г) р Я) Ю' ($, г, т) Йс. Из уравнения Смолуховского следует дВ'(х, г, Г+ г) (' дЮ(х, й, Г) дга,) д4 Используя уравнение Фоккера — Планка и интегрируя полученное выражение по частям, находим —— [А (ь) Р (ь) Ю' (х ь ()1 %' (ь г т) Ж + + ~ †„ [В (с) р Д) )Р' (х, я, г)) )Р'($, г, т) И~— 1 (гь) (ть) )Р (х гь Г) ~~ (~ г т) 1гь+ + ~ В (т) р ($) (р (х $ Г) ', ' Щ С другой стороны, д)У (х, г, Г з- т) д)Р (х, г, г + т) (' ( дат (х, т, ь) дг дт,) дт Сравнивая полученные выражения, приходим к уравнению даг Д, г, т) 1 дй' Д, г, т) д~Ю ($, г, т) ! Задача 1.36.
Определить интеграл столкновений электронов с частицами газа, если изменение импульса и энергии электрона обусловлено упругими соударениями с часгицамн газа. Поскольку изменение энергии электрона при упругом соударении с частицей газа мало по сравнению с его энергией, то кинетическое уравнение для функции распределения электронов 66 гл, ь кинетическов урлвнвнив Больцмлнл по энергиям при отсутствии внешних полей принимает вид уравнения Фоккера †План (1.7!). При этом интеграл столкновений электронов с частицами газа может быть представлен в виде 1„(Д= — э ~ — АРГ+л (ВР1)), где з — энергия электрона.
Поскольку в случае термодпнамического равновесия электронов с газом (1=-е-"г) интеграл столкновений 7„(е-'~г) равен нулю, находим соотношение между коэффициентами А и В: А= — — +В + —, где Т вЂ” температура в, р Т газа. Таким образом, получаем для интеграла столкновений в случае малых передач энергии (1. 73) Здесь В (з) = — (~ (е — е')'й(пЬ(з — з')), Ж вЂ” плотность частиц газа, и — скорость столкновения их с электроном, йа — дифференциальное сечение столкновения электрона с частицами газа, приводящего к данному изменению энергии электрона. Усреднение ( > проводится по распределению частиц газа.
Если электроны свободные, р(е) — зм', так что задача определения интеграла столкновений сводится к нахождению коэффициента В (е). Вычислим интеграл столкновений (1,73) в случае, когда он определяется упругими столкновениями электронов с атомами. Поскольку изменение энергии электрона при упругом столкновении с атомом порядка (т!М)мя е (т, М вЂ” масса электрона и атома соответственно), используемое рассмотрение к данному случаю применимо, При этом В = ~ ) (е — е')'1,гЬ,рйо(е е') = — ) (р' — р")'пап),др„ где о, о' — скорости элекзрона до и после столкновения с атомом, да(е — з') — дифференциальное сечение столкновения электрона с атомом, отвечающее начальной е и конечной е' энергиям электрона, 1, =- л1, (М~2иТ)м' ехр( — Мс',12Т) — функция распределения атомов, о, — их скорость, Ж, — плотность, М вЂ” масса.
Скорость атомов мало изменяется в результате соударения с электроном. Используя это, получим из условия сохранения относительной скорости (в — в,(=(в' — в,( электрона и атома в процессе столкновения о' — р" = 2в, (в — в'). 67 зе УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА Отсюда в твТ 2(311( ) в 2 Так как )т4 — е'(=2оз!п(9!2), где 9 — угол рассеяния электрона иа атоме, то, вводя диффузионное сечение рассеяния о' = = ~ (1 — соз9) йт, получим При этом мы всюду пренебрегали изменением энергии электрона по сравнению с его значением. Используя полученное выражение для В, определим интеграл столкновений (1.73): (1,74) ГДЕ т =-4У',Ппв — ЧаСтОта СтОЛКНОВЕНИй ЭЛЕКтРОНа С атОМОМ.
Задача 1.37. Определить интеграл столкновений электронов с молекулами газа, если потеря энергии электронов определяется возбуждением молекул на первый колебательиый уровень, причем средняя энергия электронов значительно превышает энергию возбуждения колебательного уровня л4В. УЧИтЫВая, ЧтО 7„ 4яов4Ь вЂ” ПЛОтНОСтЬ ЭЛЕКтрОНОВ, ПОПадаЮ- щих в интервал скоростей 41п за счет столкновений, представим его в виде 4п(„о'сЬ= — 4по'4(птвовз(о) ~(о)+ 4п( и'+ — ) М / 2$ФА у~ 2Ьо~( у в 2дв4) ( )/ в+2АФ) Отсюда ЙФ 1 д (1.75) Здесь У„,В =-- М опввм — частота возбуждения колебательного уровня молекулы электронным ударом, Л'„— плотность молекул, о- скорость электрона, п„,з — сечение возбуждения колебательного уровня электронным ударом, ЛА — энергия колебательного кванта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
