Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Решим уравнение для Т' при заданных граничных условиях. Подставив Т' == ехр 11 (й,у+ я,г)1 7 (х), получим Учитывая, что 7" =О при х=О и х=7„находим 7 =-сопЛ Лпхх (х1.=-пп и и — целое число). Подставляя это в уравнение для 7, имеем (Ац и 1 пипх)з й= Огсюда найдем минимальное возможное значение числа Релея. Эно соответствует п=1, й= п1'(Ьу' 2) и составляет 17 ы-— — =657,5. 27пх При таком и ббльших значениях 17 для рассматриваемых граничных условий возможна конвекция, при меньших )т неподвижное состояние газа является устойчивым.
Для других граничных условий задачи, другой геометрии и распределения газа минимальное число Релея, при котором осуществляется конвекция, имеет другие значения. Однако, как следует из полученных уравнений, именно число Релея является характеристикой, по величине которой можно судить о конвективиой устойчивости неподвижного газа. ! Задача 1.32. Выяснить характер движения газа при свободной конвекции в задаче Релея (см. задачу 1.31).
Для простоты будем считать, что скорость движения газа находится в одной плоскости, т. е. отличны от нуля только компоненты скорости о,„и и,, Далее, считая конвективное движение медленным, мы воспользуемся результатами предыдущей задачи и проанализируем характер движения при свободной конвекции. Считая, что параметры не зависят от координаты г, согласно результатам предыдущей задачи имеем Т' =- сопЛ.сов йу з!п ~ х. Используя уравнение переноса тепла, в определим и,„, а из уравнения непрерывности дп,„1дх+дп,„~ду = О найдем компоненту скорости о„: и и и х всозйр.з1п — х, и = — и — з(пяу соз — х, хх 0Р Ы Т. где и — сопЛ и величина й связана с числом Релея 17 З 3 ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА Н ТЕПЛА В ГАЗАХ 57 соотношением К = (пя + йЧ.я)а!(йЧ.а).
Проследим за движением элемента газа, который находится в некоторый момент в точке с координатами х и у. Уравнения движения этого элемента газа имеют вид йх Ыд — =о, — =0 д1 ая дт аа. Исключая изз этих уравнений время и используя явный вид скоростей, получим: 1Š— пи дх са„И. Е 1у са,, и !идд Решение этого уравнения дает 1п З1п — х+!пып йу=О, откуда ып — х ып йу — сопз1 Рис. !.3, Траектории движения злементов газа ври условии задачи Релея для Это решение описы- и=!, «=и/1. вает траекторию движения отдельного элемента газа, Траектории движения представляют собой замкнутые кривые. При этом весь газ разбивается на отдельные ячейки длиной я!!е. Внутри каждой ячейки происходит движение газа вокруг центра ячейки.
На рис. 1.3 представлен внд конвективного движения в случае й — -и/А'.. В общем случае эти ячейки будут иметь вид призмы с правильными многоугольниками в основании. Они носят название ячеек Бенара. Задача 1.33. Определить условие возникновения конвекции в задаче Релея, в случае, когда между пластинами находится проводящий газ и на него действует магнитное поле, направленное перпендикулярно пластинам. В этом случае при описании состоянии газа наряду с уравнениями непрерывности, Навье — Стокса и переноса тепла следует учесть уравнения Максвелла: 4и .
1 дЕ го1 Н= — у — — —, с с д1 ! дН Го! Е=- — — —, с д1 31у гт = О. 58 ГЛ ! КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЪЦМАНА и закон Ома .)'= Х~ Е+ — [та,НЦ. Здесь Н, Š— напряженность магнитного и электрического полей, ( — плотность тока электронов, Х вЂ” проводимость ионизованного газа, о,— скорость движения частиц как целого.
Считаем, что электрический ток создается электронами, так что 1 — [тааН) представляет собой напряженность дополнительного электрического поля, которое создается в результате движения электронов в магнитном поле. Применим к первому из уравнений Максвелла операцию го1. Подставляя в него выражение для плотности тока из закона Ома и пользуясь вторым и третьим уравнениями, имеющими вид го1 Е== с(шН вЂ вЂ .О, получим в рассматриваемом стационарном случае (из уравнения непрерывности е(гк таа =- О): 4Х ( а')" ( Наряду с этими в уравнении Навье — Стокса мы должны учесть силу, которая действует со стороны магнитного поля на газ.
Эта сила первоначально действует на электроны и передается газу. На один электрон действует сила Лоренца — — [твН) (тп — дрейфовая скорость электрона). К единице с е 1 объема плазмы приложена сила — — [твН) М, = — ЦН~, где М,— плотность электронов, у — плотность тока. Отсюда находим, что на одну молекулу газа со стороны магнитного поля приходится сила, равная Е= — [1Н, = — [го( НН) = - (((НР) Н вЂ” Р, ~, ! . 1 ! ( На1 Л~с 4лУ АИГа' ( '2) ' причем мы воспользовались уравнением Максвелла го1 Н = 4л = —,~. Подставляя это выражение в уравнение Навье — Стокса с (1.01), получим е 7 + 17 (р+ нузл) часа (еате) и е 0 (таа ) т'а+ МАе Му е, Мае Для нахождения порога конвекции поступим так же, как и при решении задачи Релея. Будем считать, что в нулевом приближении газ неподвижен, градиент температуры в нем постоянен, а напряженность магнитного поЛя Н, постоянна в пространстве и направлена по оси х.
В первом приближении по- $ 3 пеРенОс импулъсА и теплА В ГАВАх добно задаче Релея получаем систему уравнений йы тд,=-О, НоН' ), Т' Но дН' й (р'+ — ' ~ — т) ддтд — г"дт( — — —" — = О, 4Л / о Т 4х дх суй о (Т вЂ” Т,), сз, дсо о ох Š— ' 4ЛХ о дх— = — хЛТ, — ЛН'+Н вЂ” =О. Здесь Н =Но +Н', так что добавка Н' обусловлена конвекцией.
Первое и третье уравнения полученной системы в точности повторяют подобные уравнения задачи Релея. Для нахождения порога конвекции мы должны теперь исключить из этого уравнения все величины, кроме Т, и используя граничные условия, найти решение этого уравнения. Будем использовать тот же ход операций, что и в задаче Релея. Применим сначала к уравнению Навье — Стокса операцию йы. Учитывая, что йы тт,=йуН=-О, получим Далее, из двух последних уравнений имеем йН, 4Ы/оЕ дсох 4ЛНоХтод дТ' Р дх сзсуУо(Тз — Т,) дх ' Теперь, применяя к х-й компоненте уравнения Навье — Стокса операцию дд и подставляя в полученное уравнение выражение для ддо,„из уравнения переноса тепла, а выражения для НоНх д дд (р + 4я ы) и тд̈́— из найденных соотношений, приходим к следующему уравнению для Т': ТНо /й д ~ Т, + (т)хЕ.
Л'Т' Ноях) о д'Т' Т д дхз й сыНо (Тз — Т,) сзсуНо (Тз — Тд) дхз Перепишем это уравнение в виде д:отз (й д ) Т~+ т ойзТд Мзтоо) д дТ О где введены безразмерные параметры: хт) Т сухо (Тз Тд) I з †чис Релея Но(. / Х М = — (у — — число Гартмана. с з' т) Решение данного уравнения с учетом граничных условий дз Т' Т'= —,=О, как и в задаче Релея, ищем в виде Т =сопз(ехр(((йду+йзг)1 з)пах.
60 Гл. ! кинетическОе уРАВнение БольцмАнА Из граничного условия Т'=О при х=(, следует, что ц=-пи/Ь, где и — целое число. Подставляя выражение для Т' в уравнение для этой величины, получим (йЧ.А+и'и')' лАиА (и'иА+йЧ.А) 'ААЕА йЧ.А где л'=Ц+Щ. Минимальное значение числа Релея, при котором возможна конвекция, отвечает случаю и=1 и реализуется при значении л —. й ы, являюшемся решением уравнения (/г' Ь'+и')'(2л,'„,„Ь' — и') -л4М'= О откуда для минимального числа Релея, при котором возможна конвекция, находим 2(А'НЬ ~- )' РАини НА Из полученных решений следует, что включение магнитного поля стабилизирует неподвижное состояние газа, делая его более устойчивым.
При небольших значениях чисел Гартмана для )х,„ имеем В пределе больших чисел Гартмана 11 ы=: и'М'. Задача 1.34. Разряд горит между двумя бесконечными параллельными пластинами в молекулярном газе. Колебательная температура газа значительно превышает поступательную. Считая, что константа скорости колебательной релаксации йр,„резко зависит от температуры газа, определить порог теплового взрыва — неустойчивости, при которой процесс переноса тепла в результате теплопроводности оказывается недостаточным и температура внутри промежутка возрастает по взрывному закону, приводя в конечном итоге к выравниванию колебательной н поступательной температур.
Расстояние между пластинами равно 21. В рассматриваемом случае выделение тепла внутри разрядного промежутка обусловлено колебательной релаксацией, а унос тепла на стенки промежутка связан с теплопроводностью. Наша задача состоит в нахождении условий, при которых тепловыделение становится столь большим, что стационарное решение уравнения баланса энергии отсутствует, Наиболее удобный подход в этом случае состоит в нахождении этого стационарного решения и выяснении условий, когда оно перестает сушествовать.
Представим уравнение баланса энергии в разрядном промежутке в виде от и и, +1(Т) —.. О $3. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА В ГАЗАХ где х — коэффициент теплопроводности газа, х — направление, перпендикулярное пластинам, за начало координат мы выбираем середину промежутка. Величи на Г (Т) = п('Фйр„лхэ представляет собой тепловыделение в единице объема в единицу времени (Ж' — плотность колебательно-возбужденных молекул, Ж вЂ” плотность атомов или молекул, столкновение с которым приводит к колебательной релаксации, Йо †энерг колебательного кванта).
Поскольку колебательная температура велика по сравнению с поступательной, мы не учитываем обратный процесс, ведущий к возбуждению молекул. При этом существенно, что константа скорости колебательной релаксации Йр,х (Т) резко зависит от температуры. Введем величину (з = = и'!п йр„(Т)(г(Т так, что в неширокой области температур ) (Т) =-)(Т,) ехр( — (3(Т,— Т)1, где Т,— температура газа в центре промежутка. Решим уравнение баланса энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
