Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поскольку локальное равновесие в данной точке пространства устанавливается за времена порядка времени соударения частиц, то можно считать, что в процессе переноса в каждой точке пространства имеет место локальное равновесие и функция распределения частиц по скоростям в данной точке имеет вид )"'=Л~(г) ~а т 1 ехр ~ зт(г) 1 ' (1.28) Здесь М(г), Т(г) — плотность частиц и их температура в данной точке пространства, и, (г) — скорость направленного движения газа. Разложим функцию распределения частиц по скоростям по малому параметру (1.27): ) пм+ пп+ скорость его нафункцией распре- Представим поправку к функции распределения в виде Гп' =-~"'О, где множитель О характеризует отклонение функции распределения от максвелловской.
Подставим это соотношение в кинетическое уравнение. Рассматриваемое приближение соответствует случаю, когда равновесие между частицами в данной области пространства устанавливается гораздо быстрее, чем равновесие частиц с внешней средой. Поэтому в нулевом приближении можно пренебречь наличием неоднородностей и кинетическое уравнение принимает вид 7„'()»=О. Отсюда следует Д"Дм=)7'710', что приводит к решению (1.28) для функции распределения частиц по скоростям. Учитывая следующие члены разложения по степеням л17.
в кинетическом уравнении, получим ! ~ ~ ( Задача 1.13. Вычислить коэффициент теплопроводностн одно- атомного газа, считая, что внешние поля и стационарный поток газа отсутствуют. Г1ри заданных условиях задачи в левой части кинетического уравнения остается лишь член еГр~н', и так как отличны от нуля лишь градиенты температуры, то кинетическое уравнение (1.30) принимает вид )!" ( — ' — Цп,Ч ! и Т = ~ ~!" ДФ (О;+ О.; — О, — О) / п, — и, / сЬ Ып,.
(1.31) $ Э. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ГЛЗАХ Пусть плотность частиц, температура газа и правленного движения определяются нулевой деления (1.28). Тогда для 1~0 ~)п (п=о, ~ Тпадп=-0, ) Т'п(п — и,)'да=0. (1,29а) (1.29б) (1.29в) яв Гл. ь кинетическОе гглвнение вольцмлнх При этом мы считаем, что давление р=)о'Т постоянно по всему объему газа. Решение этого линейного неоднородного интегрального уравнения при учете условий (1.29а, б, в) может быть представлено в виде 0= — АЧ!пТ. При этом в случае малых градиентов вектор А не зависит от градиентов температуры, плотности и скорости и может быть построен на векторах, которые имеются при отсутствии градиентов этих макроскопических величин. Единственным таким вектором является вектор скорости атома т1, так что, положив А — -- А (О) т1, получим 0 = — оЧ !пТ А (О).
Запишем уравнение (1.31) в безразмерных переменных, введя приведенную скорость и=7 т,'2Те, где т — масса частицы. Получим = ! 1л'),"'[А;и,' + А;и, '— А,и, — А,и,1! и, — и,)гЬ ~(и„ (1.32) где (п>= — )о'И71п ТА (и) и ) р'ма'и=й1. Как видно, задача сводизся к нахождению скалярной величины А (о), которая является решением интегрального неоднородного уравнения (1.32).
Для нахождения этой величины удобно использовать приближенный метод Чепмена — Энскога. Этот метод основан на разложении функции А (о) по полиномам Сонина: Ю А (и) = ,'5', а 5„(и'). Полиномы Сонина имеют вид С" о Г (л+ м+1) а Олл" (х) = ~м ( х) Г(л ! 1, ! 1)О)(л, а)~ ~ Ол= ! Ол=п+! о о и с точностью до постоянного множителя совпадают с обобщенными полиномами Лагерра: ( 1)л Г (м+ о+1) Условие ортогональности полиномов Сонина: Ф )З~(х) е-,х.~. Г( + +Об о где б р — символ Кронекера (Ь„г == О, тФр; Ь„е=-1, т= р). Разложение скалярных величин, характеризующих явлении переноса, по полиномам Сонина удобно, ибо это позволяет автоматически удовлетворить условиям (1.29) в каждом члене разложения. В частности, в случае теплопроводности удобно выбрать 42.
коэффицивнты пвгвносл в газах 27 а=3/2. При этом получим, 1то аз=О, и условие (1.29б) выполняется для каждого нз остальных членов разложения величины А пояполнномам Сонина: Ф А(и) = ~ а„Ямз(и') ФФ! Введем обозначения ) ! ~и 2 ) ~за (и ) и Ф == 1 Е п52!2(Х) 52!2(Х)ХМ' 2(ХФп — Жб 1, !5 \ 4 о Рз = ~ )7'')зм~и,Б~, (из)+и,Язм (из) — и, 'Яз!з (и,')— — и,'32!з (и,')1 и!31!з (и',) ~ и, — и, ~ зйт 2) и!2(и,)~277т.
Умножив уравнение (1.32) на и,Ямз (и,') и проинтегрировав его по 2(и„получим систему уравнений для коэффициентов ао. ч 15 аоро = — зуб „т=1, 2, ... 2Ф! где коэффициент теплопроводности х равен л Ф 47И Г ъ-л Ф 5 7 х= з! е 'г'2(г э а Ззм (г) = — а,— 2Ч.
3 Я я! 2 'зл о Лз — 1 Как следует из системы уравнений (1.33), коэффициент а, равен !222 (!22 ° РЗп 1в,у 522 622 " йзп 11 йлз йпз . " 6пл 1 Л-пФ Р11 ~12 ° ~зл рм Рзз "° Рзп 15 — 1У 4 02 . Оз Л11+Л12 +Р12 + 0 0 ('21 Рлп ° Рпп Решая эту бесконечную систему уравнений, мы можем определить величины коэффициентов а„.
Выразим коэффициент теплопроводности газа через величины а . Для теплового потока — плотности потока энергии имеем л Лаз О 2П 1' 27 = 1 — т21 2(тз = 1 — пВ1"! 2(ч2 = — — 1 и2а (иЧ 1п Т) А)!О! 2(и = 2 ) 2 2тз и = — — ') изЧ(п Т ~ а Бмз(из)1!212(и= — хЧТ, (1.33) Фп! 4 2. коэФФициенты пеРенОсА В гАЭАх где Ю о, = — ехр ( — ~ ) ю'о, (ю) йю, О, = ~ (1 — соз' О) ЙУ. (1.34) 46,! о Отсюда коэффициент теплопроводности Зз Уат 323, 1 (1.35) В случае, если процесс рассеяния атомов можно Описать на основе модели твердой сферы, имеем Ыо — '7,пг,'г(созО, где г,— радиус шарика. В этом случае о,=о,=-'7,пг1 и 76 ~/Т (1.36) 64Уам 1о Как следует из формулы (1.35), коэффициент теплопроводности х не зависит от плотности частиц.
Действительно, с изменением плотности частиц пропорционально ей изменяется число носителей, а длина свободного пробега носителей изменяется обратно пропорционально плотности. Поэтому при парных столкновениях частиц эти два эффекта полностью компенсируют друг друга. ! Задача 1.14. Вычислить коэффициент теплопроводности в одноатомном газе при условии, что частота столкновений) атомов не зависит от относительной скорости частиц.) Воспользуемся кинетическим уравнением (1.31), которое описывает перенос тепла в рассматриваемом случае.
Представим его в виде где )'," — максвелловская функция распределения атомов по скоростям, ~о ~, †точн функция распределения, учитывающая перенос тепла; температура газа Т изменяется в направлении Отсюда получаем уз ~ вт Ри — -ехР( 2б' — -й) 1ти(тих) — Я'(чв'0)1'гиг(о 4 з Введем Π— угол рассеяния, так что твтв' = ю' соз О. Выберем в качестве полярной оси направление О. Положение вектора тзг характеризуется полярным углом д, так что тиб = юб соз О, чв'6 =шб (соз О соз О+з!п О и!п О сов Ф), причем г(чв=шЧв асов Ь дФ. Получим р„= !2 ~/ — „№а„ 30 гл. ). кинетическое кэхвнянив зальцмана оси х. Умножим это уравнение на и,„и, 'и проинтегрируем по скоростям атомов.
В левой части уравнения„ используя выражение (1.28) для максвелловской функции распределения атомов по скоростям, получим 'Т' ) , ~ /Гт)Ч 5 ') д)пТ 5Т дТ и Аг(ф,ПО) ~ — — -~ и — = — — )У, 2 2,/ )" дх тх дх Л) — плотность атомов. В правой части используем замену и)„— и,', „и,'л т),,, и воспользуемся принципом детального авновесйя для дифференциального сечения упругого рассеяния. то дает для правой части соотношения ~ (и; и,' — и,„и',) Ц', ~ и) — и, ~ )(а М, Щ. Далее учтем, что сталкивающиеся частицы — одного сорта, так что дифференциальное сечение упругого рассеяния )Ь инвариантно относительно замены номера частиц и, и,.
Сделав эту операцию, приведем правую часть этого соотношенйя к симметричному виду. В результате получим р д 2 ) (игхи) + иххив ими) ~ах )) ~ т)г ~з ~ й™1 ~в Вычислим интеграл по углам рассеяния: (и,'„и,'+ и,'„и,' — и) „и', — и,„4) )(а. Введем относительную скорость столкновения ц'=и,— и, и ско- рость системы центра инерций т)„„= (и)+ и,)/2 = (т),'+т),')/2. Относительная скорость атомов после рассеяния равна я" = ц'соз 8+ )эй) з(п 8, где 0 †уг рассеяния, л †единичн вектор в направлении, перпендикулярном ц'.
С учетом этого имеем: ~ (и;и, +и;и1 -е,и, - и,и,) Ь= ~ 18" (и...й') - й (и..й)) Ь= — й (т)„„ц) ) (1 — соз' О) сЬ+ я' ~ соз 0 (ч)„„гг) и з1 и 0 На+ +я ~ аз)п8(т)„.„8) соя О)(а+у ~ пз)п 8(и„„в) 8 з1п Опа. Поскольку все направления единичного вектора а в плоскости, перпендикулярной вектору я', равновероятны, то усреднение по направлению. этого вектора обращает в нуль второе и третье слагаемые. В последнем слагаемом разложим вектор и „ на две компоненты: вдоль ц' и перпендикулярно ему (рис. 1.1).
Первая часть обратится в нуль, ибо вектор а по определению перпендикулярен я'. Вторая часть определит направление искомого вектора. Учитывая это и усредняя по компонентам едииич- %2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ ного вектора, получим окончательно (т1гог'+ Ч1аоа' — ваап( — Юаоа) С(О =- = — й (п.,.й) и'" (а) — г," та„,.а'осп (а) = = — д (а (П„„й)+тая аа'~ аа (а) Здесь о,(д) = ~ (1 — позей)с(о — усредненное по углам сечение рассеяния атомов, и,— единичный вектор, перпендикулярныув Рис.
1.1. Усреднение дан(и„„л)= = паоялна соа' Ф = '(,ааоя,апо= = 1(ао„яоа — '(,л (оа ааг), Ф вЂ” ааимутальиый угол в направлении, перпендикулярном а. вектору д и лежащий в плоскости векторов еял и й. Это приводит искомое соотношение к виду —, д й( = —, )~ (й. (и...й)+(е..). аЧ а .
(а) Ы, (~, (е,. 5Т дТ 1 г Используем условие задачи, согласно которому константа скоРости кно =- доа (и) не зависит от скоРости частиц. ВыРажаЯ. относительную скорость и скорость центра инерции через скорости сталкивающихся частиц ч!, и аа и пользуясь симметрией подынтегрального выражения относительно номера частицы, приведем его к виду 5Т дТ 1к(а> с лР дл о ~ !пмп~ ог; (ч1гтга)1 (а(а с(та1 а(т!а.
(1,37) Второе слагаемое в подынтегральном выражении — более высокого порядка малости, чем первое. Действительно, в нулевом приближении функции распределения сфернчески симметричны, так что второе слагаемое должно учитывать члены второго порядка малости. Пренебрегая им н используя определение для потока 1 тепла 17 = ~ та, — ео,'(, йе„из рассматриваемого соотношения получим 5Т дТ вга> — — М= — — Мп . та дк лг 32 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
