Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(1.3) Если газ состоит из частиц одного сорта, то интеграл столкно. вений по определению равен 1ст =" ~ Ий Уз) )е г(еаг(е1~(е1 !(! 4) 111,87дР1 дт,да1деа ггдР1дРВ 11дРА~Ри — Р~~даа ~ть — е~( где 1,=~(е„г, 1„1), и подобным же образом определяются функции распределения 1,, 1;, 1;. В формуле (1.4) подразумевается суммирование по внутренним квантовым числам 1„1;, 1;. Число интегрирований в формуле (1.4) можно сократить, используя законы сохранения импульса и энергии, Эти законы учитываются свойствами вероятности перехода йт.
Их можно выделить, введя дифференциальное сечение рассеяния †отношен числа рассеяний на одной рассеивающей частице в элемент телесного угла за единицу времени к потоку падающих частиц. Число рассеяний в единице объема за единицу времени с переходом скорости„'первой частицы из интервала е„е,+г(е, в е'„е, '+де', и второй вЂ е„ е,+бе, в е,', е,' +бе,' и при данном изменении внутренних квантовых чисел равно Д,)у йе,с(е, Ыо,'г(е,'.
Число рассеивающих частиц в единице объема равно ),йео а поток рассеиваемых частиц — ( е,— о, (1, йо„так что дифференциальное сечение рассеяния 51. СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Подставляя это выражение в формулу (1,4), получим кинетическое уравнение Больцмана (1.2) в виде 'д',+ р*т+.-'д." =~ аБ — Ц2) ! Р— и.! (и рр' (1 6) и де1 По внутренним степеням свободы (;, 1;, 12 по-прежнему подразумевается суммирование.
Уравнение (1.5) описывает однокомпонентную систему. В случае многокомпонентиой системы в интеграле столкновений следует учесть соударение пробной частицы с частицами каждого сорта. задача 1.2. показать, что функционал (н(!) = ~ !'(е2„!) х х!п ! (Т2„!) 2(е2„введен ный для газа, находяшегося вне действия внешних полей, удовлетворяет соотношению 2(Н!2(!(О. Дифференцируя функционал Н (!) по времени и используя уравнение Больцмана, в котором интеграл столкновений выбран в виде (1.4), получим — "" = ~ 2(е21 2(е222дв12(е22' "тр(Г(2 — )М (!+ !и 11).
Произведя под интегралом замену е21 е2„е22 е2„симметризуем подынтегральное выражение —, = ') !2(т21 2(е2,2(е21 2(е2,!е' (Ц2 — Ц)~(1+ — 1п )112) . Далее на основе принципа детального равновесия (1,3) находим, произведя в подынтегральном выражении замену е21, 42,' „ 61, 2 Е21, 2' «! ) 2(в1 Г(т222!Е21 2(е22 Яг Ц1(2 — Ц,)!и — ', ',. 1 2 Функция вида (х — у) 1п (д/х) неположительна для любых положительных значений х и у. Поэтому функционал Н(!) удовлетворяет соотношению «и (1 .6) Это соотношение носит название Н-теоремы Больцмана.
Функционал Н с обратным знаком совпадает с энтропией системы, так что соотношение (1.6) подтверждает закон возрастания энтропии для рассматриваемойесистемы. ! Задача 1.3. Найти функцию распределения;"частиц газа по скоростям, если газ находится в термодинамическом равновесии. В этом случае — = О, что выполняется, если 1п —,, = О, т.
е. ан !!1 «! П; если 1п г является аддитивной функцией интегралов движения. (о Гл. ь кинетическое уРАВнение ВолъцмхнА Используя закон сохранения импульса и энергии при столкновении, можем представить равновесную функцию распределения в виде 1п) = С+ С,р+Сез, так что 7 — А е-а (е - еп где энергия частицы з=-пхо'/2, импульс р= лен (т — масса частицы). В полученное выражение вошли три неопределенных константы. Одну из них (А) мы можем найти из условия нормировки функции распределения ) 7 (и) Ые = й[ (й( — плотность частиц).
Другую константу мы выразили через скорость направленного движения частиц пе. Третью константу а определим из условия, чтобы в системе координат, в которой нет направленного движения частиц, средняя энергия частиц равнялась е(еТ. Таким способом мы введем температуру газа. Получим — (е' ое) ехР ! — а(ч — ое) 1~(о ехр [ — и (о — оеЦ'ао т а' Г т и,, зт = — — — !п ~ ехр [ — а (и — и ) е~ М = — — — 1па-м' =— 2 аа 2 аа 4а ° откуда а =т~2Т.
Таким образом, нормированная на плотность частиц равновесная функция распределения частиц по скоростям, которая носит название функции распределения Максвелла, имеет вид 7(п) = Л' ~ — )"' р ~ — (', " ~ — = )У Р( .) Р ( „) Ч (,), ('7) где ф(пх) = ~ а"т)"'ЕХР [ ™27 '" 3 ' — Ф Из Н-теоремы Больцмана вытекает весьма важное свойство функции распределения ((и, (): в отсутствие полей система стремится прийти в равновесие, которому соответствует равновесная функция распределения (!.7).
Отсюда следует, что функция распределения, которая является решением кинетического уравнения Больцмана (1.2), не удовлетворяет принципу обратимости времени. Действительно, пусть при г= — Т (Т вЂ” оо) система находилась в некотором неравновесном состоянии, которое описывалось функцнсй раСПрЕдЕЛЕНИя (е(еэ). СОГЛаСНО Н-тЕОрЕМЕ БОЛЬцМаиа Прн ! = Т система перейдет в равновесное состояние, описываемое максвелловской функцией (1.7). Если, наоборот, при ! = — Т систему поместить в равновесное состояние, то при ( = — Т, согласно $1 СЕСЕ СТВА КР НЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Н-теореме Больцмана, она останется в этом состоянии, а не перейдет в состояние, описываемое функцией распределения Г",(ч1), как это следовало бы ожидать на основании принципа обратимости времени (т. е.
требования, чтобы при замене 1 — — 1 система развивалась в обратном направлении). Отсюда следует, что кинетическое уравнение Больцмана не удовлетворяет принципу обратимости времени, тогда как законы механики, на основании которых они получены, удовлетворяют этому принципу. Таким образом, мы нашли, что функция распределения, которая является решением кинетического уравнения Больцмаиа, не в состоянии точно описать систему. Можно видеть, что функция распределения содержит в себе гораздо меньшую информацию, чем та, которая необходима для ее точного описания.
Действительно, для точного описания системы мы должны задать начальные состояния для всех частиц, т. е, в этом случае система описывается числом параметров, пропорциональным числу частиц в ней. Когда же мы вводим функцию распределения, которая характеризует вероятность нахождения в данной области пространства частиц с данными параметрами, мы тем самым проводим усреднение по начальным условиям. Поэтому функция распределения, которая является решением кинетического уравнения (1.2), описывает наиболее вероятное состояние системы при заданных макроскопических параметрах.
Для системы, состоящей из большого числа частиц, наиболее вероятное состояние практически совпадает с точным, ибо флуктуации †отклонен от наиболее вероятного состояния †такой системе малы. К тому же нахождение точного состояния системы, состоящей из большого числа частиц, обычно не представляется практически возможным из-за наличия большого числа параметров, описывающих систему. Число этих параметров увеличивается с ростом частиц в системе.
Функция распределения, удовлетворяющая кинетическому уравнению (1.2), зависит от меньшего числа переменных, причем число перйменных не изменяется с ростом числа частиц данного сорта. Таким образом, метод описания состояния системы с помощью кинетического уравнения Больцмана (1.2) определяет наиболее вероятное состояние системы и поэтому оказывается точным, если число частиц в системе велико. Удобство метода в том, что, выделяя ограниченное число параметров, характеризующих систему частиц, он дает наиболее важную информацию о развитии этойь,системы. ! Задача 1.4.
Определить число частиц, находящихся в данном состоянии, если система из большого числа частиц находится в термодинамическом равновесии (распределение Больцмана). Пусть в системе имеется п частиц, распределенных по состояниям, причем группе состояний й отвечает энергия частицы е . Тогда, если пА — число частиц в данной группе состояний и Е— 12 ГЛ Е КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА полная энергия данной замкнутой системы, то мы имеем следующие соотношения для полного числа частиц и полной энергии системы: и=-",,и», Е=~е»и».
(1.9) Нас интересует закон распределения частиц по состояниям. При его нахождении мы будем считать, что в каждой группе данных состояний находится большое число частиц, и» )) 1. Кроме того, используем статистику Больцмаиа, согласно которой вероятность нахождения частицы в данном состоянии не зависит от того, имеются ли в данном состоянии другие частицы.
Вероятность данного распределения частиц по состояниям Р (и„ и„ ..., и„, ...) будет пропорциональна числу способов, которыми можно создать такое распределение. При нахождении числа таких способов мы отберем сначала от полного числа частиц п, частиц, находящихся в состояниях 1.
Это можно сделать С„ "способами (С„ "— число сочетаний). Затем из оставшихся п — и, частиц мы отберем и, частиц, находящихся в состояниях 2, что осуществляется С"„' „, способами. Продолжая эту операцию, мы находим, что вероятность данного распределения частиц по состояниям Р (и„ п„ ..., п», ...), пропорциональная числу способов, на основании которых осуществляется это распределение, равна г=! ПП1! гдеЯА — константа нормировки. Вероятность Р(п„..., и», ...) имеет максимум при некоторых значениях чисел заполнения й» вЂ” — п„которые и являются наиболее вероятным числом частиц, находящихся в данных * состояниях. Используем условие максимума функции распределения.
Если число частиц в трех состояниях и,, и„ п, изменить на малую величину по сравнению с ии и», п, (и, = п, +би п» = п» вЂ” 6„, п, = и,+6 ), то в первом приближении при разложении по степеням 6,/п» вероятность Р не изменится, т. е. Р(..., йи п,, ин ...)=Р(..., п,+бн и„— 6„, п,+би ...). Это дает ((и;+6,)! и, (и,)~1) )6 ( )6~ ( )Ь» Кроме того, из условия баланса частиц н баланса энергии находим следукицую связь между величинами 6;, 6„, 6,: 6 = 6, + би з»6».—.. Е»6, + з,б,, «Ь СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Исключая на основе этих формул величины б, из полученного ранее соотношения, приведем его к виду (:"-:,)" "=-(-".-„')" ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
