Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Из этого соотношения следует, что каждое из выражений не зависит от номера выбранных состояний, т. е. при заданных полном числе частиц и энергии системы — есть величина постоянная. Чтобы удовлетворить этому, необходимо зависимость п» от энергии данного состояния представить в виде л„=- Ве '«1т, (1.10) причем константа нормировки В и температура системы Т определяются нз условий (1.9). Формула (1.10) представляет собой равновесное распределение частиц по состояниям и носит название распределения Больцмана.
Частным случаем этого распределения является распределение Максвелла, найденное в задаче 1.3. Распределение Ьольцмана приводит к следующему соотношению между плотностями атомов У„Г»», находящимися в данных состояниях, при наличии термодинамического равновесия: (1.11) (дм д» вЂ” статистический вес соответствующего состояния). Задача 1.5. Получить формулу для распределения частиц с полуцелым спином по состояниям, когда в каждом состоянии может находиться не более одной частицы (распределение Ферми — Дирака).
В том случае, если вероятность нахождения частицы в одном состоянии не мала, распределение Больцмана (1.10) нарушается. Тогда закон распределения частиц по состояниям зависит от статистики этих тождественных частиц. Далее мы определим эту величину в случае, когда в одном состоянии может находиться ие более одной частицы.
Пусть энергией В» обладают частицы, находящиеся в д»-состоянии, и пусть р(п«) — число вариантов поместить и» частиц в состояния с энергией а«. Вероятность того, что имеет место заданное распределение частиц по состояниям, Р (л„п„..., и«, ...) =СПр(п ), причем константа нормировки С не зависит от конкретного распределения частиц по состояниям. Как следует из анализа, проведенного в предыдущей задаче, для наиболее вероятных значений чисел заполнения л = п» функ- 14 Гл с кинетическое РРАВнение БОльцмАнА ция Р максимальна.
При этих значениях чисел заполнения макси- мальна и величина 1п Р, так что ,!р(л») где бп„=п» вЂ” п» вЂ” отклонение числа заполнения от среднего зна- чения ((бп (<~й»). Наряду с этим следует использовать условия, которые вытекают из формулы (1.9): ~~ бп» вЂ” — О, ~ е бп = — О, Умножим второе из полученных соотношений на — р)Т, тре- тье — на )(Т (где р и Т вЂ” некоторые константы) и сложим эти соотношения. Получим Е бп» ~= — — + — ~ = О. Гр'(л») и е»1 ()! т т~ Поскольку величины бп» могут принимать произвольные значения, то для удовлетворения данного соотношения необходимо, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Это и дает выражение для наиболее вероятных значений чисел заполнения р'(л») р е» вЂ” — — + — О. (л,) т т В частности, для распределения ФЕрми — Днрака, когда в я»-состояниях с энергией е» находится и» частиц, причем в каж- дом состоянии — не более одйой частицы (п» (и»), имеем, что р (п») равно числу сочетаний нз я» по п».
Отсюда !п р (п») = 1п (я»!) — 1!и (п„!) — 1п (д» вЂ” п») !1, л и так как при п>)1 1и(п1) )1ипс(п, то в данном случае 0 л' ! л р (л») л» =1и— "л» К» — л» "-"~- ( — ".") '1' В одном состоянии с энергией е находится в среднем »е» вЂ” р» 1-» ехр ~ — ~ + 1~ частиц. При этом константы (Т вЂ температ тура частиц и )» — химический потенциал распределения) могут быть найдены из условий нормировки (1.9); Е'~-р( — "т-")+ 11 '=, ~~' е»й» ~ехр ( — "Т ~ ~ + 1~ = Е. В 1 СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Вычислим, к примеру, химический потенциал свободных ферми- частиц массой и, плотность которых равна /У. Энергия частиц в промежутке от в до в+1(е (здесь е=рз/2лз) соответствует ь У В др дг взз/з вмз Ев состояний, где У вЂ объ выделенной си(2ззв)з 3Г 2пздз стемы. При температуре, стремящейся к нулю, ферми-частицы занимают все низшие состояния.
Введем величину ЕР— энергию Ферми, такую, что при нулевой температуре все состояния с энергией в(вр заполнены, а все состояния с более высокой энергией свободны, Тогда энергию Ферми определим из соотношения 3! з вр откуда вез /Вв/Уз т з/з щ ~ 2 Обратимся теперь к распределению Ферми — Дирака. Как видно, при нулевой температуре ехр( з " ) обращается в нуль для т ВА < р н в бесконечность для вв > (з.
Отсюда следует, что числа заполнения равны единице для состояний с энергией ев((А и нулю для состояний с энергией вз > (з. Таким образом, величина химического потенциала прн нулевой температуре совпадает со значением ранее найденной энергии Ферми. Задача 1.6. Получить распределение Больцмана и распределение Максвелла нз распределения Ферми — Дирака. Распределение Больцмана отвечает предельному случаю распределения Ферми — Дирака (если мы имеем частицы с полуцелым спином), когда вероятность нахождения частицы в одном состоянии мала.
Рассмотрим газ свободных ферми-частиц с массой лз, плотностью /з/, находящихся при температуре Т. Ограничим объем, занимаемый частицами, величиной У. Число состояний зр ев в элементе фазового объема равно —, где дг и з(р — трехмер- (2ЕЯ:,)з ' ный элемент координатного и импульсного пространства, причем энергия частицы в =- рз/2т. Отсюда находим число состояний, соответствующее интервалу энергий от в до в+1/е, которое равно йрвг увзз1звиз вв (2яЦз у 2вздз Поскольку полное число частиц в выделенном объеме равно /з/У, а характерная энергия порядка Т, то условие справедливости распределения Больцмана (вероятность нахождения частицы э Ь СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ к поверхности направлена по оси х.
Тогда изменение импульса атома, отраженного от данной поверхности, равно 2то„. Поток атомов, падающих слева на воображаемую поверхность, равен 1'1о„. Поэтому изменение импульса воображаемой поверхности в единицу времени, приходящееся на единицу поверхности, которое отвечает давлению и обусловлено ударами атомов слева от поверхности, равно Р ми ) 2тп„й1О*1(т1) 1(о. е ьэ Здесь функция распределения атомов по скоростям ) (о) нормирована на единицу. Если давление газа относить к ударам атомов справа от поверхности, оно будет определяться формулой Р $2~~..)у „Р(п) (~. а„с э Так как функция Г'(т1) четна относительно о„а), то оба определения совпадают. Таким образом, имеем Р 1 2дчо'йГ~( )с(за= — М ~ лэоа„~(зт)с(т1=й1 <~4>, эя > э где знак < > означает усреднение по функции распределения.
Если функция распределения изотропна, что во всяком случае имеет место при термодинамическом равновесии в рассматриваемой системе координат, то < "э> <оа> <оа> 3 <о >. 1 Вводя температуру газа как Т =- — <лтоз>, получаем уравнение =з состояния Р= МТ. Задача 1.8. Вывести из кинетического уравнения Больцмана 1 основные макроскопические уравнения переноса.
Умножим кинетическое уравнение Больцмана (1.5), записанное в виде и11 1 ") Если средняя скорость атомов отлична от нуля, то определение давления следует производить в системе координат, где газ покоится как целое. В этой же системе координат определяют и темйературу газа. 18 гл. ь кинетическое уРАВнение БольцмАнА на произвольную функцию Ч', от скорости частиц данного сорта и проинтегрируем по скоростям. Имеем (Л Здесь операция < > означает усреднение соответствующей характеристики по скоростям, й(,— плотность частиц данного сорта.
Далее д дч'а В результате получим .д (аа'а <Ч'а>) + 1. — й(, ~ — да ' + <и, Ягаб Ч',>+ — ' (~ ') = < 1„Ж,>. (1.13) аяа де, Усредним это уравнение по внутренним степеням свободы частиц данного сорта. Эта операция не изменит вида полученного уравнения, если под знаком < > понимать теперь усреднение по скоростям и по внутренним степеням свободы частиц. Уравнение (1.13) носит название общего уравнения переноса Энскога. Докажем важную теорему, на основании которой можно значительно упростить правую часть уравнения (1.13). Пусть Ч'— интеграл движения, так что для двух сталкивающихся частиц 1-го сорта Ча, (и,) + Ча; (а,) = Ч'; (и,') + Чг, (а;), (1.14) где аа а — скорости частиц до столкновения, е,',— их скоростн после столкновения.
Тогда для интеграла столкновений между -частицами одинакового сорта справедливо соотношение <у„ч',> = О. (1.15) Действительно, согласно определению интеграла столкновения (1.4), имеем <)ааЧа> = ~ 1 (таа) Й1а ~а|а) 18 (пи еаа ~ еаа еаа? а(еааа(хааа(пса(таа. Проводя замену па — п„еа зг, в подынтегральном выражении, получим <Т..Ч" >= ~ ~ [Ч" (и )+Чг(таа)1(Яа — Уа) Чу (и (паа(паЖ. з1. своиствл кинетичвского квлвнвння где о,— средняя скорость атомов в данной точке пространства в данный момент времени. Положим в уравнении (1.13) в качестве функции Ч', импульс частицы то.
Введем тензор давлений газа Р~ = Мт((ог — оМ) (о„— о,х)У, (1.17) где индексы 1, Й характеризуют соответствующие компоненты вектора скорости. В случае совпадающих индексов величина Р как это следует из результата задачи 1.5, совпадает с давлением газа в данном направлении. Учитывая определение (1.17) для тензора давлений, получим для )чй компоненты уравнения переноса импульса ( л! м)+ + (~М~,/~е) МРУ О. По двум повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
дУ д Воспользовавшись уравнением непрерывности — + — (1Чо,„)=О, дхх получим отсюда уравнение движения газа — уравнение Эйлера (1.18) д1 дхх тУ дхх гл При выводе уравненвя для переноса энергии введем тепловой поток 4~ — -- я тМ <(о — о,)'(от — о,у)>. 1 (1.19) Далее, положив в качестве Ч' в уравнении переноса (1.13) вели- чину Чг==гло'12, получим д + "0|Рух+ 1, й(оах ~ дхх /) + — МРхо„= О. Далее, так как Чу~'В'(и„и, е,', а,')=%(е,',е,' о„и,),то произведя замену аь, 'о,' „и',, — иь, в подынтегральном выражении, получим (7схЧ"1у= 4 д ~Ч'(и,)+Ч'(Ф,) — Ч'(О',) — Ч'(Ф!)~Х х Оде 1И 1(у 'Й~~~(пил~ 1(оз Отсюда на основании формулы (1.14) и вытекает соотношение (1.15). Используя уравнение (1.13), выведем основные уравнения переноса для газа, состоящего из частиц одного сорта, Положим в уравнении (1.13) Ч'= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
