Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При получении формулы (1.75) мы считали, что. скорость электрона велика по сравнению со скоростью молекул, а его энергия велика по сравнению с величиной колебательного кванта Ь4В и что молекулы находятся в основном колебательном состоянии, а возбуждаются только иа первый колебательный уровень. При таких условиях в интеграле столкновений учитываются только переходы за счет возбуждения уровня. Интеграл аз Гл ь кинетическое уРАВнение еолъцмАнА столкновений (1.75) имеет вид уравнения Фоккера — Планка в пространстве скоростей, причем в этом уравнении учитывается только гидродинамический поток и коэффициент А = шпп„,б (о).
Задача 1.38. Выяснить критерий применимости интегралов столкновений (1.74), (1.75), связанный с предположением, что функция распределения электронов не зависит от направления скорости. Если характерное время тии„, за которое изменяется направление импульса, мало, то через времена, много большие ти„„ функцию распределения электронов можно считать не зависящей от направления импульса.
Покажем, что тиип много меньше характерного времени изменення энергии в рассмотренных случаях. ДЕйСтВИтЕЛЬНО, тиип - У„' (Ут — Чаетста УПРУГОГО РаССЕЯНИЯ электрона на атоме или молекуле). Время, за которое заметно меняется энергия электрона, т — ( †' .,гдеу †часто столкии (д новения электрона с атомом, йа — характерное изменение энергии за одно соударение. Отсюда в случае, если потери определяются упругими столкновениями электрона с атомами (У--УУ, Ле — 7 (п~~М) а), имеем тиип м (1 тии Лб В случае, если потери энергии связаны с возбуждением колебательных уровней (у = у,„,б, Ле =- Ьбп), получим тиип ивозб ( м 1 ((1 причем каждый из сомножителей много меньше единицы.
й 5. Диффузия и направленное движение частиц в газе Если размеры системы, через которую проходят пробные частицы, значительно превышают длину свободного пробега этих частиц, то плотность тока пробных частиц, согласно формуле (1,70), может быть представлена в виде ,у = тпйг — %751. (1 75) Здесь 51 — плотность пробных частиц, тп — скорость их направленного движения. При э1оч коэффициент диффузии, согласно формуле (1.68), равен (г — г')и и б Ит Гидродинамический поток частиц возникает под действием внешних сил. При малых значениях внешней силы дрейфовая О 5 диФФузия и нАпРАВленнОе дВижение чАстиц В ГАзе 69 скорость тв пробной частицы пропорциональна действующей силе )Ф: О (1.77) Коэффициент пропорциональности К носит название подвижности частицы и при малых значениях силы г не зависит от нее. В случае, когда пробная частица движется в газе в отсутствие внешних полей, вероятность нахождения ее в данной точке пространства определяется, согласно уравнению Фоккера — Планка (1.67), уравнением диффузии д, — ЮЛ)Р (1.78) Здесь (у'(Г, г) — вероятность нахождения пробной частицы в точке Г в момент времени г.
! Задача 1.39. Вывести уравнение диффузии (1.78) для пробной частицы, движущейся в неподвижном газе в отсутствие внешних полей. Воспользуемся уравнением Фоккера — Планка (1.67) для пробной частицы. Так как направленное движение пробной частицы в газе отсутствует, то уравнение для вероятности В'(», 1) нахождения частицы в точке Г в момент времени 1 имеет вид При этом по определению Т~О Т Т О т О~О где х, у, г — координаты пробной частицы в начальный момент времени, х', у', г' — в момент времени т, черта сверху означает усреднение по всем возможным перемещениям частицы. Поскольку при условиях задачи нет выделенного направления в системе, то все коэффициенты в уравнении равны: т О вт Заметим, что это справедливо, если неоднородности в газе малы, так что рассматриваемые коэффициенты мало изменяются на расстоянии порядка длины свободного пробега частиц. Прн этом уравнение Фоккера — Планка принимает вид дГ В том с,чучае, когда коэффициент диффузии Ю не зависит от координаты, рассматриваемое уравнение переходит в уравнение ГЛ.
!. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА то диффузии При этом вероятность нахождения частицы в данной точке в рассматриваемый момент времени нормирована на единицу: ~ (зг (к, 1) й' = 1. Задача 1.40. Определить средний квадрат расстояния, кото- 1 рос броуновская частица проходит за время й Вероятность (зг(г, 1) для рассматриваемой частицы в момент времени ! оказаться в точке г удовлетворяет уравнению диффузии (1.78), Ю ЛЖ' = —, где !А) — коэффициент диффузии. дог При этом в начальный момент времени частица находилась в начале координат.
Учитывая, что в силу симметрии задачи вероятность (зг не зависит от углов, представим уравнение диффузии в виде ~> 1 1дз(гаг) д~ г дгз дг ' Далее воспользуемся условием нормировки, согласно которому полная вероятность частицы находиться в пространстве равна зз единице. Имеем ~ (у'4пгзо(г=-,1. Взяв этот интеграл дважды по о частям, приведем его к виду зз 4пгз !1г = 1 1 Р дз (г!У) о Отсюда с помощью уравнения диффузии получим Ю О 1 Г дз(~Ф') з 1 Гдкг з ! дгз 4пгз г(г ~ — 4пгз Ь'= — — „= 1. 63 дг' 6Я,) д! 6Я Ш о о Здесь гз — средний квадрат расстояния. Интегрируя данное уравнение при начальном условии гз(0)=0 (в начальный момент времени частица находится в начале координат), находим гз = ба!.
Задача 1.41. Вывести соотношение (соотношение Эйнштейна), которое устанавливает связь между коэффициентом диффузии Ю пробной частицы в газе и подвижностью К ча тицы при малых внешних полях. $5. диФФузия и нлпглвленное движение члстиц В глзе 71 Плотность пробных частиц, которые находятся в термодинамическом равновесии с газом, в данной точке пространства определяется распределением Больцмана (1.10) М=л1,е-ц~т, где (7— потенциальная энергия внешнего поля, 7 — температура газа. Внешнее поле создает отличный от нуля градиент плотности пробных частиц РЖ =- — РМ (Г= — т(7), что приводит к появле- 1 — т нию диффузионного потока частиц.
При этом полный поток пробных частиц 7=)(Р = (е т) в условиях равновесия равен нулю. Отсюда получаем связь между подви)кностью и коэффициентом диффузии, которая носит название соотношения Эйнштейна: й'=+~. (!.79) Это соотношение справедливо при слабых внешних полях, при. которых изменение потенциала внешнего поля на расстояниях порядка длины свободного пробега много меньше характерной кинетической энергии молекул газа.
В этом случае внешнее поле не нарушает термодинамического равновесия рассматриваемых частиц со средой, в которой они находятся, что и было принято за основу при выводе соотношения Эйнштейна. Задача 1.42. Найти решение уравнения диффузии (1.78) для частицы, движущейся в бесконечной среде, при начальном условии )Р'(г, О) — (Р',(г). Решим сначала уравнение диффузии (1.78) при начальном условии )Р',(г)=б(г). В силу симметрии задачи вероятность )(Г не зависит от углов, так что уравнение (1.78) в рассматриваемом случае преобразуется к виду дг % ~> д г в' (1.807 Уравнение (1.80) допускает так называемое автомодельное решение.
Из соображений размерности можно считать, что решение уравнения (1,80) зависит только от одной переменной г'/1, Введем новую переменную $=г',~Ю1. Из условия нормировки ~ ЯГ 4нг'юг=1 следует, что В' можно представить в виде )Р -- —,„, ~'(В). При этом уравнение для у' имеет вид 4а11" + 6Г'+ У/'+ — Р = О. 72Д ГЛ.
«, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬЦМАНА Его решение, конечное на бесконечности, с учетом нормировки функции дает ()Г= Се-ио) Это решение можно распространить на случай произвольного начального условия. Если при (= оо частица находится в точке гм так что 1(«г=6(г — г,), то с помощью (1.8!) для вероятности нахождения частицы в точке г в момент времени «находим: Ы(го оо«го 1) = 14пй «(о ооИ ~ ехр ~ 4 г — « ~ . (1.82) Если в начальный момент времени 1=-1, распределение частицы в пространстве определяется функцией «Р', (г), то вероятность "«у" (г, г) равна И'(г, г) = ~ Ж;(г') у(г', г„г, г) Иг'. Это решение следует непосредственно из линейности уравнения.
Функция у, определяемая соотношением (1,82), является функцией Грина для уравнения (1.78). Следует заметить, что рассматриваемые здесь решения относятся к случаю бесконечной среды, когда условия на границе среды не влияют на вероятность нахождения частицы внутри нее. Функция Грина (1.82) — вероятность перехода частицы за время т= г — г, на РасстоЯние «г — го( — зависит только от Разности начального и конечного моментов времени и от расстояния между рассматриваемыми точками. Она разбивается на произведение трех независимых функций, характеризующих перемещение в каждом из направлений: д(г — г„т) = д(х — х„т) д (у — у„т) д (г — го, т), (1.83) где у (х — х„т) = (4НЮт) - но ех р 1 — ( [ 4Ят Такой же вид имеют две другие функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
