Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отсюда и амбиполярная диффузия имеет место, если размер плазмы Е значительно превышает радиус Дебая — Гюккеля для данной плазмы гр — 7 Т,(8лЛ)ее1 (2.12) Л~) 1р. Приведем числовой пример, соответствующий параметрам положительного столба разряда. Размер плазмы Л 1 см, Т, — 1 эВ.
В этом случае амбиполярная диффузия осуществляется, 4 1 сВОЙстВА сллБОиОкизОВАннОЙ пллзмы 9! если плотность плазмы превышает 3 1О' см '. Это Очень малая величина, ибо плотность молекул газа при нормальных условиях 2,7 10" см '. ! Задача 2.6. Исследовать проникновение медленно меняющихся внешних полей в плазму (скин-эффект). Для исследования поведения внешних полей внутри плазмы используем систему уравнений Максвелла: 4л ! '„дЕ го!'Н вЂ” —,/ — — "— с сд!' ! дН го1 Š— —— =с!' 6~~ Н вЂ” О, где Е, Н вЂ” напряженности электрического и магнитного полей, 7' — плотность тока. 1( этим уравнениям следует добавить закон Ома: 7' — АЕ (Х вЂ” проводимость плазмы).
При этом полагается, что магнитное поле в плазме не очень велико и проводимость можно считать скалярной величиной. Предположим, что характерная частота изменения внешних полей сс мала по сравнению с проводийостью плазмы Х. Тогда, используя в первом из уравнений Максвелла закон Ома н пренебрегая производной по времени, получим го! Н= 4ЙХЕ)с. Исключим с помощью этого уравнения из второго уравнения Максвелла напряженность электрического поля. На основе соотношения го! го! А = Ч с(1т А — ЛА с помощью третьего уравнения из системы уравнений Максвелла получим дН с'3 — = — ЛН.
д! 4лс Из этого уравнения следует, что характерный размер, на котором заметно изменяются поля, равен ( 4|оР') Эта величина носит название толщины скин-слоя. Рассмотрим, в частности, случай, когда плазма ограничена плоской стенкой, причем вне плазмы напряженность магнитного поля равна Н=-Н,е' '. Тогда уравнение для магнитного поля внутри плазмы принимает вид Р—., =Не'", , д'Н дгс (ось г направлена перпендикулярно границе). Решая данное уравнение с учетом граничного условия и физического требования, Гл. 2.
3АРяженные члстицы В ГАзе 92 чтобы поле не возрастало внутрь плазмы, получим 7 х е Н = Н,ехр ~1(ы~ — — ) — =1 . ()Т2 ) 1'г' 2 ' Как видно, переменные внешние поля малой частоты проникают в плазму на глубину порядка толщины скин-слоя. Данное явление носит название скин-эффекта. 9 2. Статистическая физика слабоионизованного газа ! Задача 2.7.
Установить связь между плотностью электронов, ионов и атомов в идеальной плазме при наличии термодинамического равновесия (распределение Саха). Распределение атомов по возбужденным состояниям опре. делается формулой Больцмана (1.10). При этом для состояний непрерывного спектра статистический вес равен ~ ((2 2л)з Ф др где д, — статистический вес иона, д„= 2 — статистический вес электрона, г, р — координата и импульс электрона. По порядку величины ~ г( — 1)А',— объем, приходящийся на один электрон (й(,— плотность свободных электронов), г(р — р,' — (глТ)м', где е — масса электрона, р,— характерный импульс свободного электрона. Таким образом, статистический вес непрерывного спектра равен д; (пт)м~ и для идеальной плазмы может оказаться весьма большой величиной даже при низких температурах.
В силу большого статистического веса непрерывного спектра степень ионизации газа становится заметной при температурах, при которых средняя кинетическая энергия электронов мала по сравнению с потенциалом ионизация атома. При этих температурах вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии мала. Определим иа основе закона Больцмана (1.1О) число свободных электронов в газе, находящемся в термодинамическом равновесии. Прн этом, как было показано, вероятность возбуждения атомов мала, так что атомы могут находиться только в основном или ионизованном состоянии. Пусть в объеме 11 имеется 1+а заряженных атомных остатков данного сорта и е+а электронов. Эти электроны могут быть как свободными, так и находиться в связанном состоянии с атомными остатками, причем, согласно проведенному ранее анализу, следует учитывать только ез СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА СЛАБОИОНИЗОВАИНОГО ГАЗА 9Т одно связанное состояние электрона и атомного остатка.
В результате столкновения частиц происходят переходы между свободными и связанными состояниями электронов и атомных остатков, и имеется отличная от нуля вероятность й' (а, е, () обнаружить в системе в данный момент времени а атомов, 1 ионов, е электронов. Пусть а, е, Т вЂ” равновесное число атомов, электронов н ионов, соответственно (а, е, 1))1). Тогда вероятность 1)Т обнаружить в системе данное число частиц данного сорта при их равновесных количествах как функция числа атомов а имеет максимум, и так как а, е, Т)) 1, то это условие удобно представить в виде В' (а, 7, е) = (ет (а — 1, Т+ 1, е+ 1).
(2.13) Будем считать, что вероятность нахождения данного электрона в свободном или связанном состоянии определяется законом Больцмаиа. Тогда вероятность обнаружить в рассматриваемой системе а атомов, ( ионов и е электронов дается выражением е Г1~Р, е Г Е(Т(а, 1, Е) - - А(дЕ)еС;„~П вЂ” — 'ЕАР( — — ' — — ) (П,)е(П.)'(Е]) -'(,=. (ы) =-":,",~-'(') (а) (а) ~а(,— „„"„)" ехр(--;.)1 Здесь А — нормировочный множитель, не зависящий от а прн данном полном числе атомных остатков а+( и электронов а+е, и,— статистический вес атома, находящегося в основном состоянии, д, — 2 — статистический вес электрона, де — статистический вес иона, 1' — номер свободного электрона. Далее, т' — потенциал ионизации атома, Т вЂ” температура электронов, С„'„— число способов, которыми выбираются атомные остатки, находящиеся в связанном состоянии с электронами (атомные остатки считаются неподвижными). Поскольку перестановка электронов не приводит к физически новому состоянию, мы должны выбрать фазовое пространство для импульсов электронов таким образом, чтобы импульс одного из пронумерованных электронов всегда был больше импульса другого из электронов.
В этом случае мы не учитываем много раз тождественных состояний, отличающихся перестановкой электронов. В приведенном выше выражении интегрирование проведено по всему пространству импульсов каждого из электронов, а для учета указанного обстоятельства статистический вес электронов делится на число перестановок между электронами. Введем Л~.
— а(й, Ж, -= Тц), У, — ед) — равновесные плотности атомов в основном состоянии, электронов и ионов, соответственно. Воспользовавшись соотношением (2.13), получим в случае термо- Гл. 2. 3АРяженные чАстицы в ГАзе динамического равновесия (а, е, Г)>1) (2. 14) Эта формула носит название распределения Саха.
Отсюда нетрудно вычислить статистический вес непрерывного спектра электрона, который равен (2.15) Задача 2.8. Получить соотношение между плотностью атомных ионов, молекулярных ионов и атомов в слабоионизованной плазме, если температура газа Т мала по сравнению с энергией диссоциации молекулярного иона В, но велика по сравнению с энергией возбуждения вращательного уровня, Равновесное расстояние между ядрами в молекулярном ионе равно г„энергия возбуждения колебательного уровня ЬАА. Равновесие между атомными и молекулярными ионами устанавливается в результате химической реакции А++В АВ+.
Эта реакция полностью эквивалентна рассмотренному в предыдущей задаче ионизационному равновесию Аэ+е, А. Поэтому соотношение между плотностью атомных ионов Ж2н атомов У, и молекулярных ионов Л'м аналогично распределению Саха (2.14) и имеет вид Здесь р — приведенная масса ядер, дм, и,— статистические веса атомного иона и атома, оии характеризуют число электронных состояний этих частиц; пм — число состояний молекулярного иона. Различие данного распределения по сравнению с распределением Саха в том, что при ионизационном равновесии практически все атомы находились в основном состоянии, ибо тепловая энергия электронов была мала по сравнению с энергией возбуждения атома. Теперь выполняется обратное соотношение, так что молекулярный ион с близкой вероятностью может находиться во многих вращательных, а возможно, и во многих колебательных состояниях.
Поэтому д„— среднее число состояний, в которых может находиться молекулярный ион. Энергия состояния молекулярного иона, находящегося на колебательном уровне о и обладающего моментом У, равна е =- Ьсво+ В/ (У + 1), $2. стлтистическля Физикл сллвоиоиизовлинОГО Глзл Яв где В =- йо!22 — вращательная постоянная (Ю =- рт,'— момент инерции молекулярного иона). Это дает следующее соотношение для среднего числа состояний, в которых может находиться молекулярный ион: дм =-дм,о ~,~(27+1) оУ ехр ~— где д„о — статистический вес молекулярного иона, отвечающий его электронному состоянию, (21+1) — статистический вес данного вращательного состояния молекулярного иона. Просуммировав по колебательному квантовому числу и и интегрируя по вращательному квантовому числу У, получим т йо2 Ьмоо В ! — о Используя это выражение, находим следующее соотношение между плотностями ионов и атомов: и да е отт ' 1тт Ф' (1 е-лелт) 1Чот Юмоа 2ято т 2лдо При этом мы считали, что ядра молекулярного иона не являются изотопами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
