Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Задача 2.19, Получить интегральные соотношения для среднего импульса и средней энергии в случае электронов, движущихся в постоянном электрическом поле в молекулярном газе. Константа упругого столкновения электронов с молекулами значительно превышает константу возбуждения колебательных уровней, а потеря энергии электронов обусловлена возбуждением колебательных уровней молекул, причем прн рассматриваемых условиях тушение возбуждения молекул не связано с электронными столкновениями. При заданных условиях изменение импульса электронов определяется упругими соударениями с молекулами, так что уравнение для изменения среднего импульса имеет тот же вид, что и в задаче (!.!О) (см.
формулу (!.22)): еЕ = гп)т' <О„оо' (и)). Здесь Š— напряженность электрического поля, и — масса электрона, Л! †плотнос молекул, о †скорос электрона, равная в данном случае относительной скорости соударения электрона и молекулы, и* †диффузионн сечение рассеяния электрона на молекуле. В частности, если 'частота столкновения электрона с молекулой не зависит от скорости электрона (т = й!Оо*(О) =- сопз!), то средняя скорость электрона равна еЕ О=в МР Уравнение для средней энергии определяется в рассматриваемом случае возбуждением колебательных уровней молекулы. В общем случае при учете только колебательных переходов в молекуле под действием соударений с электронами это уравнение имеет вид еЕШ = ~ фш (и — !) Иг„Х, — гиэ(п — !) й„гй) „1. Левая часть уравнения представляет собой энергию, получаемую электроном от поля, правая часть — энергию, затрачиваемую гл..
зхгяженнын частицы в глзе на возбуждение колебательных уровней. Здесь Ж~ — плотность молекул на соответствующем колебательном уровне, Ьа — разность энергий для соседних колебательных уровней, Аы =- (пп,.„>— константа перехода молекулы из колебательного состояния в колебательное состояние и в результате соударения с электроном.
Если число молекул в возбужденных колебательных состояниях малб и эффективное возбуждение молекул осуществляется на первый колебательиый уровень, то уравнение баланса для средней энергии электрона преобразуется к виду еЕш = 7ивй' йм. Уравнения баланса для среднего импульса и средней энергии электронов, вообще говоря, позволяют восстановить среднюю энергию электрона как функцию параметра еЕ!Ф. Задача 2.20. Найти функцию распределения по энергиям для электронов, движущихся в газе в постоянном электрическом поле, учитывая возбуждение электронных состояний атомов.
Считать, что средняя энергия электронов много меньше энергии возбуждения атомов. Используем предположение о малости средней трона по сравнению с энергией возбуждения. уравнение квазиклассическим методом, считая пЮ/~Ь)~ 1 и 5 †плавн функция скорости Получим: энергии элекРешим данное 7, -- ез, причем (Ф) с>~З"!). (2. 27) При данных условиях задачи имеется мало быстрых электронов, способных возбудить или нонизовать атом, так что потеря энергии этими электронами после возбуждения атомов не изменит функции распределения медленных электронов. При этом предположении интеграл столкновений для сферически симметричной части функции распределения имеет впд 7„()',) = — Здесь частота иеупругого столкновения электрона с атомами т„ ---.
Ф,по„(г), где Ж, †плотнос атомов, о †скорость электрона, а„ вЂ полн сечение возбуждения и ионизации атома электронным ударом. Мы считаем, что плотность электронов мала, так что возбужденный атом успевает вернуться в основное состояние или уйти на стенки до следующего столкновения с электроном. При этом уравнение для сферически симметричной части функции распределения принимает вид ул движшГИЕ ЭЛНКп онов в глзв во внешнем поле где т — ) е~ т„, лтп";12 — энергия возбуждения атома, коэффициент Л получаем при сшивании функций распределения (2.24) и (2.27) при энергиях, когда т„(т1М) чг Эти энергии находятся вблизи порога возбуждения, ибо характерные частоты возбуждения практически всегда удовлетворяют соотношению М ту4т„<ту. При этом соотношении между частотами функции распределения (2.24) и (2.27) практически можно сшивать у самого порога.
Формула (2.27) справедлива, если выполняется условие применимости квазиклассического приближения п5'~~1, т, е. еŠ— ~~)/т т . селе ! Задача 2.21. Оценить, через какое время после включения постоянного электрического поля устанавливаются равновесная дрейфовая скорость электрона и равновесная средняя энергия. Умножим кинетическое уравнение — + — — =1 (1) д1 еЕ д1 де ее де ст на те и проинтегрируем по скоростям электрона.
Получим ( де Г дГ Ш д1 д дев еЕ П д1 еЕ П еŠ— ~ тà — Г(тГ = — — ) 1Г(тГ= — —, т ~ де т,) т где тв — дрейфовая скорость электрона. Отсюда — „, = — + ) 1„(1) те Г(тГ. дев еЕ Поскольку частота упругого столкновения электрона с частицами газа превышает частоты других процессов соударения, получим 1,. (О =-1,. О.) — пА (и) з ) 'тп 1 "и (а — единичный вектор, направленный по Е). Отсюда дее еЕ 1 à — = — — — ) ч П'1 ГГ'В. ш т з3г' Поскольку дрейфовая скорость Гн=- ) и„) е(в = — ) и Г,е(в, последнее слагаемое в полученном уравнении порядка т,.Гн. Отсюда ГЛ.
З. ЗАРЯЖЕННЫВ ЧАСТИЦЫ В ГАЗЕ 112 следует, что равновесная дрейфовая скорость устанавливается за время -)пэ и оказывается порядка сЕттт . Уравнение для средней энергии электрона е получаем, умножив кинетическое уравнение на птпв)2 н проинтегрировав его по скорости электрона. Имеем твв д) д стев „. де — — е1ве = — ) —,ее1Г1 =— 2 дг дг,) 2 ' дГ ' те еЕ д) еŠ— ' — — е)п = — — ) то) е)гт = — еЕтп. 2тдет1 В результате получаем де г тев — „, =еЕГп+~ — 1„0,)е)тт, 2 ее© = — — тавот ( — + — )).
тв С в гв д!в М д Т,е тде Как видно, последний член порядка (ттМ)т„з, т. е. равновесная энергия устанавливается за времена порядка Мт„)пт. Таким обра- зом, время установления равновесной энергии значительно больше времени установления равновесной дрейфовой скорости. Поэтому в процессе движения электрона в газе при каждом значении его энергии устанавливается дрейфовая скорость ш(п), отвечающая данной энергии.
Дрейфовая скорость направленного движения в каждый момент времени однозначно определяется энергией электРона и Равна 'тво п)Д„Т. е. значительно меньше скоРости электрона. Описанная ситуация возникает и в случае, если потеря энергии электроном определяется неупругими процессами столкновения электрона с частицами газа.
При этом частота установления равновесной энергии порядка или меньше частоты неупругого соударения электрона и частиц газа т„, что всегда значительно меньше частоты упругих соударений. Поэтому скорость направ- ленного движения электрона в каждый момент времени одно- значно определяется его энергией, Задача 2.22. Определить дрейфовую скорость и среднюю энергию электронов при учете упругого соударения электронов с атомами газа, если время передачи энергии при столкновении двух электронов меньше, чем при столкновении электронов с атомами газа. Рассмотреть случаи ч ==сонэ), ч =-сш Имеем систему уравнений для 1„ Г,: еЕ 4еев д)в ) 1 ) в зт еде - - т $3.
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ((3 где 1„— интеграл межэлектронных столкновений, 1„— интеграл столкйовений электронов с атомами. В рассматриваемом случае т„1„~~1„—, т„. Умножим первое уравнение на )лпе12 и проинтегрируем по скоростям электронов, учитывая, что, согласно соотношению (!.15) '( 1„В'еЬ==О. Получим еЕш= ( — '1„е(О, еа где еа — дрейфовая скорость электрона. Как видно отсюда, член в левой части первого уравнения порядка 1„, т. е. значительно меньше 1„. Поэтому в нулевом приближении из этого уравнения получаем 1„ †- О. Решением этого уравнения является максвелловская функция распределения ~,= (2 — Т)"'екР~ — 2ТР'). Из этого уравнения следует 1, = — , так что еЕ1е ~тТе ,' тее ' иы В рассматриваемом случае, когда т =тг ' 1, имеем (,2Т,1 2еЕ Г 4 ае 4 еЕ /5 — иь Ш = — ~ = Е "*Х' " е(Х = = — Г (: Зтиг3 угп З)ТН ттг (, 2 о где х=-7 та')2Т,.
Далее, Г 1 1') т, 4 т Г5+и'~ = 2Т Т( — — — ) — <х' > = = — (Т вЂ” Т),Г ( — ) е (,Т Те1 М т угиА4 е 2 ) те' Так как ЕЕш= — ( — 1„), то Т,— Т=М вЂ”, ееяе Г ((5 — и))2) Зтетг~ Г ((Зти))2) при П=О Т,— Т= М Зт'тг при в=1 Т,— Т=М вЂ”, ееееЕе Зт' тг 114 гл.
2 ЗАРЯЖСПНЫВ Ч4СТ!ЩЬ! В ГАЗВ Получим эти зависимости для больших напряженностей поля из простых оценок. Изменение скорости электрона за время между двумя соударениями с атомом равно Ло еЕЛэ!ч. Функция распределения электронов по скоростям сферически симметрична, так что среднее изменение энергии электрона между двумя соударениями за счет внешнего поля лгЛо' оказывается порядка — гп(еЕ(л!т)'. Эта энергия передается атомам газа, причем за каждое соударерение атому отдается энергия порядка л!е'М, где е †средн энергия электрона. Отсюда находим, что средняя энергия электрона -М( Е)', причем это выполняется при больших напряженностях электрического поля, когда средняя энергия электронов значительно превышает тепловую энергию частиц газа.
Задача 2.23. Оценить среднюю энергию электронов, движущихся в одноатомном газе в переменном электрическом поле и перпендикулярном к нему постоянном магнитном поле. Считать, что средняя энергия электронов значительно превышает 'тепловую энергию атомов газа и пренебречь неупругнми процессами соударения электронов с атомами газа.
Оценим сначала среднюю энергию электрона, движущегося в газе в постоянном электрическом поле. Для этого энергию, которую электрон в единицу времени забирает от электрического поля, следует приравнять к энергии, которую электрон в единицу времени теряет в результате парных соударений с атомами газа. Определим среднюю энергию, которую электрон теряет, а атом приобретает при их упругом соударении (Р+ЛРУ! Р' РЛР ЛР' РЛР Лрэ Ле =- в — = — + М=- — — 1+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
