Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Плазму считать холодной, т. е. давление газа мало по сравнению с магнитным давлением. Получим общую систему уравнений для волн, распространяющихся в плазме при наличии магнитного поля. Для этой цели используем уравнение Максвелла и уравнения движения заряженных частиц. Исключив из уравнений Максвелла 1 деГ' 1дЕ 4Л го1 Е= — — —, го1 Н' — — + — / с дс сдГ с магнитное поле волны Н' н учитывая гармоническую зависимость напряженности электрического поля Е и тока частиц 1 от координаты и времени ( ехр[~'(Йг — ссГ)1), получим следующее уравнение: й'Š— Ф(ФЕ) = —, Е+г —,, г.
(3.18а) Другое уравнение, связывающее величины Е и /, вытекает из уравнения движения частиц. При этом для холодной плазмы мы можем пренебречь тепловым движением частиц, так что их поведение определяется только внешними полями: и —,'= — е ( Е+ — [О,Н1), две М вЂ”,' = е (Е+ —,[е,Н~) . Здесь п„п; — скорость электрона и иона соответственно, Н— напряженность внешнего магнитного поля; магнитным полем волны пренебрегаем.
Ток заряженных частиц 4'= Фе(пс — и,), где Ж вЂ” их плотность, скорость центра инерции к = (тп, +Мыс)(М. Учитывая гармоническую зависимость характеристик волны от ВРЕМЕНИ И КООрдИНат Ексе "", а таКжЕ УСЛОВИЕ М>)т, Прнведем уравнение движения к виду ~=м— .'м,[ Н~ ~~с 4 (Е+ — [1гН]) — — [Щ, где в,'=4ЛУе'1т — плазменная частота (3.3). Исключая нз этих уравнений величину )с, получим (ш сеенсссн)е' + шенссгнез (еее)+(ыесен [ей1 — 1 4 Е=О. (3.18б) ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 168 Отсюда получаем дисперсионное соотношение для продольной волны (Ф'1 Е) ас-.-ас„ а для поперечной электромагнитной волны (Й ~ Е) ы' =:ос',+Фас'.
Это согласуется с ранее полученными результатами (см. задачи 3.2, 3.9). Используя уравнения (3.18) при выводе дисперсионных соотношений для высокочастотных волн, будем считать ьс, ~ас,л, так что членами, содержащими ионную ларморовскую частоту ысл, будем пренебрегать. При этом уравнение (3.18б) принимает внд ьса~+ йа са,ц [ Р41 — с ~ Е = О.
Для волн, поляризованных рдоль магнитного поля (Е11Н), зависимость характеристик от магнитного поля исключается, ибо Усс).=О. В этом случае получаем две волны: продольную (ьс =-ьса) и поперечную (ас' =- ь4+йаса) электромагнитные волны. Рассмотрим случай, когда волна поляризована перпендикулярно магнитному полю и распространяется в перпендикулярном ему направлении.
Выберем направление магнитного поля за ось х, направление распространения волны й — за ось у. Тогда система уравнений (3.18), записанная в компонентах векторов, принимает вид са')а+ с'гасо,сг),— с — '" Е, а . асмуса ьс 1 — сомо „с)', — с' — Е 4п ма . 4ссΠ— Е +с — 1 с а а (аса 1 .4пм . ( са ,с ' са — — на~ Е +с — 1 =О, =О, .= О Эта система уравнений приводит к следующему дисперсионному соотношению; (ас' — са„') (ас' — /г'с' — ас,-') — (зс' — Iг'с') ас,'~ =- О. (3.19) Полученное уравнение описывает два типа волн: продольные плазменные и поперечные электромагнитные волны. Если частоты этих волн сильно различаются, то они становятся независимыми.
Здесь й — единичный вектор, направленный вдоль магнитного полЯ О, ьс;л =- еН)спс, ьссгг = еН)Мс — лаРмоРовскаЯ частота длв электрона и иона соответственно. Система уравнений (3,18) позволяет получить дисперсионные соотношения для волн, распространяющихся в холодной плазме. В частности, при отсутствии магнитного поля (ас„ -- сося .- - О) эта система уравнений сводится к уравнению а й'Š— й (саЕ) = —,' Е. 4 Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ РŠ— я (ФЕ) =! —,/, злы;нУ Ь(1ФН+~ — ' Е=О. (3.20а) (3.20б) Как следует из системы уравнений (3.20), возможно существование двух типов низкочастотных волн в магнитном поле. 1) Магнитогидродинамические волны. Эти волны распространяются вдоль магнитного поля (2~1 Н) и поляризованы в перпендикулярном магнитному полю направлении (Е 1 Н). Система уравнений (3.!8) приводит к следующему дисперсионному соотношению для магнитогидродинамических) волн: (3.21) (ео г' 4ЕММ 2) Магнитный 1звук.
Это поперечные волны (Ф 1 Е), которые распространяются перпендикулярно магнитному полю (Й 1 Н) и поляризованы также в перпендикулярном магнитному полю направлении (Е ! Н). Дисперсионное соотношение для магнитного звука также описывается формулой (3.21). Хотя магнитогидродинамические волны и магнитный звук имеют разнудз физическую природу, при не очень коротких длинах волн (ы ~~(4з; ) они распространяются с одинаковой скоростью и им соответствует одинаковое дисперсионное соотношение (3.21). Магнитогидродинамические волны часто называют альфвеновскимн волнами по имени открывшего их шведского физика Х.
Альфвена. Фазовая скорость обоих типов волн (магнитогндро. динамических и магнитного звука), которая равна м Н г' 4пМЛ/ носит название альфвеновской скорости. Это справедливо прн я'с'))Бз'„, причем дисперсионное соотношение для электромагнитных волн, как зто следует из уравнения (3.19), принимает виды' = й'с' +ы'„ а для плазменных Бз4=оР +аз',и. Задача 3.12. Получить дисперсионное соотношени.
для низко- ! частотных волн, распространяющихся в холодной плазме в постоянном магнитном поле. Для нахождения дисперснонного соотношения воспользуемся системой уравнений (3.18). Частота рассматриваемых волн мала, ы ((о;и. Кроме того, чтобы рассматриваемые колебания плазмы могли бызь четко отделены от электромагнитных волн, будем считать йс ))ез. Из полученного результата будет видно, что это условие (скорость распространения волн мала по сравнению со скоростью света) всегда выполняется. Прн использовании вышеуказанных соотношений система уравнений (3.18) приводится к виду ГЛ.
3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 170 Можно составить простую физическую модель для обоих типов колебаний. При рассматриваемых условиях выполняются условия магнитной гидродинамики (см. задачу 2.44), когда плазма обладает бесконечной проводимостью, и поэтому магнитные силовые линии вморожены в плазму. Тогда всякое смещение магнитных силовых линий вызывает смещение плазмы н в силу упругости плазмы это движение носит волновой характер. Определим скорость распространения рассматриваемых упругих колебаний, которая по определению равна с = )~ др!др, где р †давлен, р =МУ вЂ плотнос в плазме.
Давление холодной плазмы совпадает с магнитным давлением р = Н'~8п, так что скорость распространенна волн равна ( 4ЛМ дй) Далее, поскольку магнитные силовые линии вморожены в плазму, то дН/дФ=Н/У. Таким образом, получаем, что скорость распространения рассматриваемых колебаний совпадает с альфвеиовской скоростью: Н С=СА= 7 4ЛМУ Сами колебания могут быть двух типов в зависимости от направления их распространения. Если колебание магнитной силовой линии распространяется вдоль магнитной силовой линии, т.
е. параллельно магнитному полю, то мы имеем дело с альфвеновской волной. Она аналогична волне, бегущей вдоль упругой струны. Колебание данной магнитной силовой линии через плазму может вызывать колебание соседних силовых линий, т. е. вызывать волну, распространяющуюся перпендикулярно магнитному полю. В этом случае мы имеем дело с магнитным звуком.
Задача 3.13. Рассмотреть распространение волн в замагниченной холодной плазме с частотой, много меньшей ларморовской частоты электронов, но много большей ларморовской частоты ионов. Для получения дисперсионного соотношения воспользуемся ранее полученными уравнениями для параметров волны. Первое из уравнений вытекает из системы уравнений Максвелла и имеет вид уравнения (3.13).
Полагая в этом уравнении частоту малой, в(<йс, представим его в виде РŠ— я (ФЕ) — 1 —,,~ = О. (3.22а) Здесь Ф вЂ” волновой вектор волны, Š— напряженность электрического поля волны, ы †часто, с †скорос света, у †плотнос $ Е МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ тока. В рассматриваемом случае ток обусловлен движением элект- ронов, так что~= — е)т',ц„где М,— плотность электронов, се — ско. рость электронов в волне. Используем уравнение движения для электронов Ла~е е т — ' = — мŠ— ("зг )т1, щ а е где )т †напряженнос внешнего магнитного поля.
Подставляя зависимость скорости электронов в волне от времени е, ехр(ФŠ†(в1) и вводя ларморовскую частоту электронов вн= = ЕН/ес, приведем это уравнение к виду еŠ— иае,+ын (пел1 + — О. Ь вЂ” единичный вектор, направленный вдоль магнитного поля. Используя малость частоты волны по сравнению с ларморовской частотой электронов и вводя плазменную частоту электронов (З.З) преобразуем последнее уравнение к виду Е = — ван [Щ, (3.22б) где / — ток электронов.
Это уравнение непосредственно вытекает из уравнения (3.20б), если в указанном уравнении в соответствии с используемыми здевь предположениями оставить только два последних члена. Подставляя напряженность электрического поля волны из уравнения (3.22б) в уравнение (3.22а), получим следующее уравнение: тй1 — й(й У — ( — а/=0, (3.23) Распишем это уравнение в компонентах.
Выберем в качестве оси г направление внешнего магнитного поля (единичный вектор й направлен вдоль оси г), а волновой вектор поместим в плоскости хг. Тогда компоненты данного уравнения в направлении х и у будут иметь вид вва (й' — Ц) у — ( „— ', („== О, внес авва — й |„— ' 1„=0. Из условия обращения детерминанта этого уравнения в нуль получаем следующее дисперсионное соотношение: Вне' Внаааа в = — а Йле а — соз О. (3.24) а а 172 Гл. 3 Волны В пллзмв Здесь 8 †уг между направлением распространения волны и направлением внешнего магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
