Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Повторяя выкладки, проделанные в задаче 3.13, и учитывая еилу трения, приведем уравнение движения электрона к виду ГЛ 3 ВОЛНЫ В ПЛЛЗМЕ Распишем это уравнение в компонентах. Вводя систему координат, как и в задаче 3.13, имеем (: — ~ Используя условие обращения в нуль детерминанта данного уравнения и учитывая в полученном дисперсиониом соотношении слабость затухания (т((ын), получим окончательно ы =- — ',~ сЧг' соз 0 ( 1 — 1 ы', х мл е~' (З.ЗО) где 0 — угол между векторами Н и й.
Как видно, затухание в рассматриваемой волне слабее для замагннченных электронов, когда частота столкновения электронов с частицами газа много меньше ларморовской частоты электронов, ч ~(ын. Поэтому рассматриваемые волны могут существовать даже в случае, когда их частота значительно меньше частоты соударений электронов с частицами газа. Задача 3.25. Исследовать распространение и затухание циклотронных волн в холодной замагниченной плазме. Эти волны движутся в направлении магнитного поля и имеют частоту, близкую к ларморовской частоте — частоте вращения электронов в постоянном магнитном поле. Выведем дисперсионное соотношение для поперечных волн в холодной плазме, которые распространяются вдоль магнитного поля и определяются движением электронов.
Будем считать, что эти волны создаются вращением электронов в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Тогда оии поляризованы в плоскости, перпендикулярной постоянному магнитному полю, т. е. векторы электрического поля волны и скорости электронов лежат в этой плоскости, Воспользуемся ранее полученными уравнениями. Одно из них уравнение (3.16а), в котором использованы уравнения Максвелла для полей волны.
Учитывая, что волновой вектор волны й перпендикулярен напряженности электрического поля в волне Е, представим зто уравнение в виде (ьУ вЂ” Ис ) Е+ 4п(ыг' =. О. (3.31а) Здесь плотность тока г создается электронами, так что г'-. = — ей,п„ где 1У„ — плотность электронов, и, — их средняя скорость. ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ радиуса столба бг, соотношением ~~т гф Далее, полный ток, протекающий через плазму, не изменяется при рассматриваемых искажениях. Он равен Р-- — 'Н, где Нф— напряженность магнитного поля, создаваемого током. Отсюда находим, что изменение радиуса столба и напряженности магнитного поля связаны соотношением ьнф ь, — + — =- О.
Цф га При изменении радиуса столба внутри плазменного столба возникает дополнительное магнитное давление 6 — = — бН . Ог Оф Зп 4Л изменение магнитного давления вне плазмы составляет — ЬН . н, 4п В частности, если радиус столба уменьшается, то внутреннее и внешнее магнитные давления положительны и плазменный столб устойчив.
Это имеет место, если внутреннее давление превышает внешнее магнитное давление, т. е. Н,бН, ) Н бН . В этом случае магнитное давление стремится вернуть плазменный столб к начальному состоянию. Выполнение этого же соотношения требуется в случае увеличения радиуса плазменного столба. Используя соотношение между изменениями внутреннего и внеш- бН» боф него магнитных полей, которое имеет вид †' = 2 — , получим о, н, следующее условие устойчивости плазменного столба: Как видно, действуя внешним магнитным полем на плазменный шнур, возникающий под действием прямого тока, можно сделать этот шнур устойчивым относительно искажений типа перетяжки.
При нарушении данного условия может произойти разрыв плазменного шнура в некотором месте. Такая неустойчивость развивается за время перемещения плазмы на расетояние порядка радиуса шнура и относится к быстрым гидродинамическим неустойчивостям. 5 К ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 191 Задача 3.27. Электрический ток протекает через слабоионизованный одноатомный газ, находящийся в промежутке между двумя параллельными бесконечными электродами.
Функция распределения электронов по скоростям максвелловская, температура электронов значительно превышает температуру газа и частота упругого соударения электрона с атомами не зависит от скорости электрона. Выяснить устойчивость тока относительно изменений плотности электронов.
При рассматриваемых условиях напряженность электрического поля, определяемая разностью потенциалов между электродами, НЕИЗМЕННа. ПОЭтОМу дрЕйфОВая СКОрОСтЬ ЭЛЕКтрОНОВ це= ЕЕ(тУ также не меняется при случайных изменениях плотности тока. Следовательно, величинами, которые могут отклоняться от своего равновесного значения, являются только плотность и температура электронов. Эти величины связаны формулой Саха или подобным соотношением, т. е. У, — ехр( — 3)Т,), где Ж„ Т, †равновесн плотность и температура электронов, 7 †потенци ионизации атомов.
Отсюда находим, что отклонение плотности электронов Ж; и температуры электронов Т; от равновесных значений Ж, и Т, связаны соотношением Уе 1 Те Уе Те те и так как температура электронов (много меньше потенциала ионизации атома (Т, л./), то Теперь проследим за изменением выделения и поглощения энергии электронной компоненты при случайном изменении плотности электронов.
Если увеличение плотности электронов сопровождается ростом энергии, заключенной в электронной компоненте, то равномерное распределение тока по сечению неустойчиво. При этом случайное увеличение плотности электронов в некоторой области Вызовет дальнейшее ее увеличение. При обратном соотношении равномерное распределение тока устойчиво.
Напишем уравнение баланса для изменения энергии, заключенной в электронной компоненте. Энергия, приходящаяся на единицу объема и содержащаяся в электронной компоненте, равна е),У,Т,. Отсюда получаем уравнение баланса для изменения энергии, содержащейся в единице объема электронной компоненты: — „„( ~ Х Т,) =Х,еЕш — ЗУ, — УТ,. ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 192 Первый член в правой части представляет собой энергию, забираемую от поля электронами в единицу времени в единице объема, второй — энергию, отдаваемую газу в единицу времени в единице объема.
Эти выражения для случая ч = сопз1 получены в задаче 2.18. В равновесии производная от средней энергии электронов по времени равна нулю, так что еЕи †.- 3 — чТ, 1см. задачу 2.19). Это выражение и определяет температуру электронов. Обозначив через %', величину Л1,еЕНА напишем уравнение для изменения параметров электронной компоненты при малом отклонении их от равновесия.
На основе вышеприведенного уравнения балаяса для энергии электронов имеем е е Поскольку Т;~Т,((Ж;!Ж„можно пренебречь производной от температуры электронов. Йспользуя связь между возмущениями температуры и плотности элекгронов, получим еде, Т, 1те,, т Яг, Решив это уравнение, находим, что равномерное распределение тока при рассматриваемых условиях устойчиво.
Всякое случайное отклонение плотности электронов от равновесного значения затухает по закону Лп, — е т', где показатель затухания равен Те УееЕее 2еЕее Г е~еА'ет, З.Г Задача 3.28. Слабоионнзованный газ находится в промежутке между двумя бесконечными электродами, параллельно которым включено постоянное магнитное поле. Между электродами поддерживается постоянная разность потенциалов и протекает электрический ток. Используя условия предыдущей задачи, выяснить возможность возникновения ионизационной неустойчивости, которая связана с развитием ионизации в отдельных областях плазмы. Рассмотрим сначала характер движения электронов в слабоионизованном газе, которыми, как обычно, определяются возникающие в нем токи.
Геометрия рассматриваемой системы, которая характерна для магнитогидродннамического генератора, представлена на рис. 3.4. Плазменный слой ограничен по координате х, в этом направлении протекает электрический ток Г, =- — еЛ'етпе 1Л'е — равновесная плотность электронов, тв,— их средняя скорость). Направление напряженности электрического поля оказывается расположенным в плоскости хд. При этом уравнение движения для электронов 42. ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 193 имеет вид лва е т — = — еŠ— — (ЕПН1 — тспу, щ где Е, Н вЂ” напряженность электрического и магнитного поля соответственно, тп — средняя скорость электронов, т — частота столкновения электронов с атомами, которая при заданных усло- виях не зависит от температуры элек- ,улее»,ееЛН тронов.
Расписывая это уравнение в стационарном случае для компонент х и у, получим — — еŠ— тазнсп — ств х — О, — ЕЕ + нш — --О, В Н х и еН озн — — — ларморовская частота элекП1е трона. Решая эту систему уравнений, находим е (Ех Ев'янН тч (1+ сай!хл) е (Ехше„,~с+ Еа) сох и т (1+ мее(мх) Рис. 3.4. Конфигурация полей в плазме прн появлении иониаационной неустой. чивости. Используем тот факт, что ток в направлении оси у отсутствует, т. е средняя скорость электронов вдоль оси у равна нулю. Это приводит к следующей величине напряженности электрического поля, возникающего в направлении оси у; азн Е ( лианах в х " е где вектор взн —...
еН!тс. Поскольку средняя скорость электронов и напряженность электрического поля однозначно связаны, то имеет смысл решить систему уравнений относительно напряженности электрического поля. Из этой системы уравнений получим ту Ш Е= — — — — )гпн 1.
е е Теперь проанализируем возможность возникновения ионизапионной неустойчивости. Она носит следующий характер. Пусть в некоторой области плазмы увеличилась плотность электронов. Решение рассматриваемого уравнения удобно записать в векторном виде еЕУ е(Есан) тс) -.—.— т (мн+ т') + т (ми-(- ха)' ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ В результате процессов, связанных с протеканием тока в плазме, в этой области изменяется выделение и поглощение тепла. Пусть увеличение энергии превышает передачу энергии от электронов газу. Тогда в силу связи между температурой н плотностью электронов плотность электронов будет далее возрастать.
В таком случае рассматриваемый процесс неустойчив, так что случайное изменение плотности электронов в некоторой области плазмы приводит к существенному изменению этой величины. Это и есть ионизационная неустойчивость. Заметим, что развитие ионизационной неустойчивости происходит за времена порядка времени ионнзации, т. е. медленно по сравнению с временами движения электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
