Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 37
Текст из файла (страница 37)
дм о дД ' дее дае дЕ' При этом мы использовали, что — = — — . дк дЕ дк' Анализируя полученное днсперсионное соотношение, находим, что описываемые им волны распространяются с дрейфовой скоростью электронов. Если йю,'6Е ) О, то эти волны затухают, при обратном знаке производной длиниоволновые колебания раскачиваются, По мере развития такой неустойчивости возникают так называемые электрическис домены. ! Физическую природу рассматриваемой неустойчивости можно 1 ! понять из анализа рис. 3.5, где представлена зависимость дрей1ювой скорости от напряженно- Рис.
3,5. Зависимость дрейфовой ско- рости электронов от напряженности сти электрического поля. Пусть электрического поля при воэникновеплотность потока электронов нни электрического домена. равна 1, —. ш,й1е, где Аг„— средняя плотность электронов в плазме. Для простоты будем пренебрегать диффузией электронов, так что плотность потока электронов равна 1 = гпЛ',, При заданных условиях дрейфовая скорость электронов ш„может иметь место при напряженностях поля Е„Е„Е,. Если поле в промежутке равно Е, илн Е„то малое увелнченйе плотности электронов вызывает рост поля, а следовательно, и дрейфовой скорости.
Тем самым плотность потока электронов возрастает. Но поскольку это запрещено внешними условиями, то такое возмущение будет затухать. ГЛ. 3 ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ Другая ситуация имеет место, если напряженность поля равна Е,. Тогда рост плотности электронов в заданной области вызывает уменьшение поля, а следовательно, уменьшение дрейфовой скорости. Поэтому мы можем сконструировать решение, где электрическое поле возмущения сосредоточено в промежутке от Е, до Е„а плотность потока электронов равна заданной, ш,Ф,. Такое решение и описывает электрический домен.
Задача 3.31. Электронный пучок распространяется вдоль оси заземленного металлического цилиндра радиуса 1х и в конце своего пути проходит через заземленные сетки. Определить максимальный ток пучка, считая, что сечением пучка является окружность радиуса г, причем г < еА'. Данный способ движения электронного пучка является наиболее распространенным. Электроны создаются в электронной пушке и движутся в вакуумном пространстве, которое заключено в металлическую оболочку, Это препятствует накоплению зарядов на стенках, которое могло бы внести искажения в движения пучка. Обычно пучок помещается в продольное магнитное поле, что препятствует размыванию пучка. На выходе из Вакуумного промежутка пучок пересекает поверхность с потенциалом, равным потенциалу стенок.
Поскольку потенциал пучка отличается от потенциала стенок, это в конечном итоге может сказаться на характере прохождения электронов через такую эквипогенциальную поверхность. Если разность потенциалов достаточно велика, часть электронов должна отразиться назад. Таким образом, существует предельный ток, который в состоянии пропустить рассматриваемая система. Найдем его. Напряженность электрического поля, которое создается электронами пучка на расстоянии Р от центра пучка, согласно теореме Гаусса равна Апл 22 Е =- — = —, 2ЛЯ к ее' где п — число электронов, приходящихся на единицу длину пучка, 1 †т электронов в пучке, и †скорос электронов в пучке. Отсюда находим разность потенциалов между пучком и стенками (Š— — е1ф ~е1г); 2/ ф = — !н —. ее г' После прохождения заземленной сетки или поверхности с потенциалом стенок электроны теряют энергию еф.
Пусть энергия электронов при входе з вакуумный промежуток составляла е$'„ т, е, $',— потенциал, в котором были ускорены электроны при выходе из источника электронов. Тогда скорость электронов на $2. ЗАТУХАНЙЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 20! выходе составит =- 'р' — (!'.— р) ~2е Используя соотношение для величины тока, имеем у —.—., еер е Г' (2е!м) (Уо <Г) 'р 2 )и !д)е) 2 !и (д)е) Как видно, максимальное значение тока, который может пройти через систему, составляет н соответствует потенциалу пучка относительно стенок в области сетки или при прохождении пучком области с потенциалом стенок ер,е-= е/еУ„. Этот максимальный ток носит название предельного тока Бурсиана или порога неустойчивости Бурсиана. Проанализируем физический характер рассматриваемого эффекта.
Чем больший ток при заданной энергии электронов мы пытаемся пропустить в представленной системе, тем больший потенциал приобретает электронный пучок относительно стенок. По мере увеличения тока электронов мы доходим до предела, когда запирающий потенциал возвращает часть электронов назад и тем самым ограничивает ток электронов, прошедших через систему. Это имеет место, если ток системы превышает 1,„.
Поскольку ! = 1 ,„ соответствует р = ')еУ„ то отражение части электронов при ! > 1 ,„ отвечает возникновению неустойчивости, в резуль- татЕ КОтОРОй ЗаПИРаЮЩИй ПОтЕНЦИаЛ ВОЗРаСтаЕт СКаЧКОМ От е)е)Г, ДО 1~„ и отражает часть электронов. При этом мы неявно считали электроны моноэнергетическими, На самом деле имеется некоторый разброс по скоростям, и запирающий потенциал становится таким, что он отражает определенную часть электронов, ограничивая тем самым ток прошедших электронов. Задача 3.32. Показать, что при условиях предь!душей задачи при электронном токе пучка, равном предельному току Бурсиана, возникает неустойчивость.
Эта неустойчивость приводит к скачкообразному изменению запирающего потенциала. Используем установленную в предыдущей задаче связь между током электронов пучка и потенциалом пучка: 2пееер )п (Я)е) ' Допустим, что при данном токе пучка произошла флуктуация потенциала пучка относительно потенциала стенки — произошло увеличение этой величины на бер. Проследим, к каким последствиям это приведет. Увеличение запирающего потенциала ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 2Ог вызовет уменьшение скорости электронов: бе=в 6е(р =— 2м (Ур — рр) 2 (Ур — Чр) Поскольку плотность тока в пучке, остается постоянной, то уменьшение скорости электронов в пучке приведет к увеличению плотности электронов п, в пучке: Ьрре бр брр ле В 2 (Ур — рр) ' Возрастание плотности электронов в пучке вызовет увеличение разности потенциалов брр между пучком и стенками: бр'=ер — "'= % бер.
ае 2 (Ур рГ) Нетрудно видеть, что неустойчивость имеет место при бе(р' > б~р, когда первоначальная флуктуация потенциала приводит к дальнейшему его нарастанию. Это имеет место при Я~ 2 2 (Ур<р) — ) 1, или рр) — )е. 3 Развитие этой неустойчивости приводит к возникновению на выходе пучка виртуального катода с потенциалом У„который отражает часть электронов и тем самым ограничивает ток электронов на выходе. 5 3. Нелинейные явления в плазме Развитие неустойчивостей в плазме приводит к нарастанию определенных видов колебаний, пока на этих колебаниях не сосредоточится заметная энергия.
Дальнейшая судьба развития этих колебаний определяется процессами взаимодействия их с плазмой. Интенсивносзь этих процессов существенно зависит от амплитуды волн, так что при исследовании задач такого типа мы сталкиваемся с нелинейными явлениями в плазме. Важную роль нелинейные явления играют и в процессах распространения волн. Нелинейные явления влияют на профиль распространяющейся волны и определяют характер ее эволюции.
Задача З.ЗЗ. Исследовать распад плазменного колебания с частотой Рвр и волновым вектоРом й, на плазменное колебание меньшей частоты и ионный звук. ,Рассмотрим развитие ионного звука и плазменного колебания пю фоне исследуемого плазменного колебания. Пусть напряженность электрического поля начального плазменного колебания равна Е = Е, соз Я х — ВрД, 53. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ причем в нулевом приближении мы считаем амплитуду колебания напряженности электрического поля Е„ и другие характеристики рассматриваемой волны действительными величинами. При этом скорость эе электрона под действием рассматриваемой волны, как дее это следует из уравнения движения т — = — еЕ, равна л о, — и, ебп (и,х — ел,)), где и, = — „.
еЕе Пусть одновременно с рассматриваемым плазменным колебанием в системе возбуждается другое плазменное колебание и ионный звук, причем амплитуды этих колебаний малы по сравнению с амплитудой первоначального плазменного колебания. Исследуем их развитие во времени, учитывая взаимодействие этих колебаний друг с другом и с первоначальным плазменным ' колебанием.
При этом мы учтем, что скорость движения ионов значительно меньше скорости движения электронов, что позволит' нам разделить эти движения. Имеем уравнения движения и уравнение непрерывности для' ионов: где М вЂ мас иона, о, †скорос ионов, )у, †равновесн плотность заряженных частиц, У, †связанн с колебаниями часть плотности ионов, Š†напряженнос электрического поля, которое создается за счет рассматриваемых колебаний плазмы.
Исключая из этих уравнений скорость ионов, получим д', еЛ'е дЕ (3.32) Напряженность электрического поля найдем из уравнения движения электронов, усредняя его по быстрым осцилляциям. Одномерное уравнение Эйлера (1.18) для электронов имеет вид — '+о — '+ — — '+ — = О. дее дее ! дРе ед дЕ 'дх тУ дх ле (3.33) Давление электрошюго газа равно р,=г)Т, (Т,— температура электронов, )У вЂ” плотность электронов). При усреднении по быстрым осцилляциям первое слагаемое в представленном уравнении дает нуль.
Представив скорость электрона в виде пе ое+ Ое где о,' — скорость электрона под действием слабой плазменной волны; мы оставим во втором слагаемом после усреднения по. ГЛ, 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 204 быстрым осцилляциям лишь перекрестный член дее ! д0'р ! д д —, о — = — — = — — (о +о)'= — оо' дх 2 дх 2дх ' ' д здесь черта сверху означает усреднение по быстрым осцилляциям.
В третьем слагаемом мы будем считать, что Т, - сопз1 (быстрый обмен энергией в ионном звуке), При этом за время движения ионов электроны успевают перераспределяться, поддерживая квазинейтральность плазмы. Поэтому при усреднении по быстрым осцилляциям отклонение плотности электронов от равновесной такое же, как и у ионов, и третье слагаемое в уравнении Эйлера равно (лр = Л!,). Таким образом, усредненное по быстрым осцилляциям уравнение Эйлера (3.33) принимает вид д Те дАР! еЕ дх 'е тАРе дх т — (о о') + — ' — р+ — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
