Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Получим др др Ргргр дгр — -(- о — -1- — = О, дг дх 2 дхг (3.39) Это уравнение получено Кортевегом и де Вризом в 1895 г. при анализе распространения волн на мелкой воде. Уравнение Кортевега — де Вриза одновременно учитывает нелинейность и дисперсию волн и поэтому является удобным модельным уравнением при исследовании нелинейных диссипативных процессов. При условии слабого нарушения нелинейности это уравнение описывает распространение ряда длинноволновых колебаний в плазме, дисперсионное соотношение для которых дается формулой (3,38). В частности, сюда относится ионный звук, для которого дисперсиопное соотношение (3.9) совпадает с (3.38) при замене параметра г, в формуле (3.38) на радиус Дебая — Гюккеля. 200 рз. НЕЛИНЕИНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Е ПЛАЗМЕ Задача 3.36. На основании уравнения Кортевега — де Бриза исследовать распространение отдельной волны в плазме.
Уравнение Кортевега — де Вриза имеет физически интересный класс решений, описывающий отдельные волны. Такие волны носят название уединенных волн илн солитонов, Особенность солитонов связана с тем, что отвечающие им возмущения не размываются в пространстве со временем, а сохраняют свою форму. Это определяется характером уравнения Кортевега — де Вриза. Дисперсия волн приводит к тому, что более короткие волны в соответствии с дисперсионным соотношением (3.38) распространяются с меньшей скоростью.
Поэтому в линейной среде всякое возмущение размывается из-за разных скоростей волн. Однако слабая нелинейность волны может скомпенсировать ее дисперсию и сохранить форму волны. Убедимся, что это имеет место для волн, описываемых уравнением Кортевега — де Вриза. Рассмотрим волну, распространяющуюся со скоростью и, так что зависимость скорости частиц в плазме от координаты и времени имеет вид о=) (х — и1). Отсюда др др — = — и —, дГ дх' так что уравнение Кортевега — де Вриза (3.39) приводится к виду др РррРр дРр (о — и) — -)- — —. = О. дх 2 ах' Считая, что вдали от волны возмущение отсутствует, т. е.
при х со имеем о=О, бри/Нх'=О, понизнм порядок уравнения: ррррр — — = ио —. 2 дхР 2 Нетрудно убедиться, что среди решений этого уравнения имеются решения о=асп *хх. Подставляя это решение в уравнение, находим входящие в него параметры. Это дает зи ив си'(х/га) ТГи!2р,р Как видно, с ростом амплитуды волна сужается, так что размер области, занятой возмущением, обратно пропорционален корню квадратному из амплитуды волны. Таким образом, существуют стационарные решения уравнения Кортевега — де Вриза, описывающие нерасплывающуюся уединенную волну — солнтон. Солитоны могут образовываться в процессе развития некоторого начального возмущения во времени, ГЛ.
3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ Соотношение между амплитудой а и размером 1!а солитона таково, что величина а1яе не зависит от его амплитуды. Если первоначальная амплитуда возмущения относительно мала, то это соотношение установится в процессе расплывания пакета и далее такое возмущение сведется в основном к одному соли- тону. Если первоначальная амплитуда возмущения относительно велика, то в процессе эволюции это возмущение распадается на несколько солитонов. Таким образом, солитоны являются не только устойчивыми стационарными возмущениями в системе, но и играют важную роль в процессе эволюции произвольных возмущений в нелинейной диспергирующей среде.
1 Задача 3.37. Исследовать распространение нелинейной ионнозвуковой волны. Для нахождения соотношений между параметрами, характе- ризующими ионный звук, мы должны использовать уравнения Эйлера, непрерывности и Пуассона, которые в линейном при- ближении привели к уравнениям (3.8) и к дисперсионному соот- ношению для ионного звука (3.9). Эти уравнения без неполь- зования линейного приближения можно записать в виде системы: дее дее е д(р =-О, д1 ' дх М дх Здесь о,— скорость ионов в волне, ~р — потенциал поля, 1У„Уев плотность электронов и ионов соответственно. Как и ранее, учтем высокую подвижность электронов, благодаря которой электроны находятся в равновесии с полем. Тогда в соответствии с формулой Больцмана й/е = Уе ехр (еЮ,~Т,), где 7е'е — средняя плотность заряженных частиц, Т,— температура электронов.
Рассмотрим движение ионов в виде установившейся волны, так что параметры плазмы и» й,, <р зависят от координаты и времени по закону )(х — и(), где й †скорос распространения волны. В этом случае искомая система уравнений приводится к виду де; дее е Йр — и — '-)-и, — '+ — — =О, дх дх М дх — ~М,(п; — и)1 =О, и Ге= 4ПЕ ~УеЕХР ® — У;]. за. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ 211 Считая, что вдали от волны возмущение отсутствует, так что М;=1ч'о, ос=0, ср=О при х оо, получим из первых двух уравнений *): е; еи — ио + — =О, 2 ' М Ц Лг — ~о и — из Первое уравнение дает и; = и ~)Г и' — 2еср/М.
На основе этого из второго уравнения имеем и 1= о рl из 2е,ргМ Подставляя это соотношение в последнее уравнение системы 'уравнений для ионного звука, получим Полученное уравнение описывает поведение потенциала электрического поля в нелинейной ионно-звуковой волне. По своей форме оно эквивалентно уравнению движения частицы, в котором роль координаты играет величина ср, а роль времени †величина х. Используя общие свойства этого уравнения, можно понизить его порядок, умножив это уравнение на дгрдтх и взяв интеграл.
Это дает 1 'й~ тз 2 ~,на! — ~ — ~ — 4нй1 Т ехр1 — 1 — 4пМ Ми ~' и' — — = сонары, ~Т~ " ~' М= 21 ~ +4ПИ~Т,~! — ехр(т )1+ + 4пМоМи (и — 1/ ио — — 'Р) = О. Это решение описывает уединенную волну, ибо в граничных условиях было использовано, что вдали от рассматриваемой области возмущение отсутствует. Полученное решение позволяет определить профиль солитона и связь между его параметрами о) Отметим, что из второго уравнения в силу условия Аг;>О следует, что о;<и. Использование этого обстоятельства в первом уравнении дает гр си О, т. е. потенциал электрического поля в рассматриваемой ионно.звуковой волне всегда полознителен.
Считая, что вдали от волны потенциал поля волны ср и напряженность электрического поля волны — сйр4х одновременно обращаются в нуль, получим 2!2 ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ при различных амплитудах волны. На основании этого уравнения установим, в частности, связь между максимальным потенциалом в волне <р,„и скоростью ее распространения и, Для этого положим в последнем уравнении й~!г(х=О, ~р=~р,„.
Для удобства введем безразмерные переменные э = ец„,„(Т„ = Ми' 2Т„с использованием которых искомое уравнение принимает вид 1 — е1 + 211 (! — Р 1 — $(8) = О. Проанализируем это уравнение в предельных случаях. При з -О, т. е. для ионно-звуковой волны малой амплитуды, имеем З1= 1!2, откуда получаем фазовую скорость ионно-звуковой волны малой амплитуды: и ='и Т,)М, что находится в полном соответствии с формулой (3.10), В другом предельном случае максимальной амплитуды имеем с = и. Это дает уравнение для $: 1 — еь+ 2$ =О.
Решая это уравнение, находим, что $=-1,26, т. е. Егр,„=!,28Т, и и = 1,58~/ Т,~М. При более высоких значениях амплитуды волны потенциал в центре волны становится слишком большим, так что ионы отражаются от горба волны. В результате волна опрокидывается и движение ионов распадается на отдельные потоки.
Таким образом, рассматриваемое волновое движение для ионного звука, распространяющееся с единой скоростью, существует при ограниченных значениях амплитуды волны и скорости ее распространения. Задача 3.38. Получить дисперсионное соотношение для плазменных волн в случае, когда плотность энергии, заключенной в плазменных колебаниях плазмы, заметна. Считать, что напряженность электрического поля, обусловленного плазменными колебаниями, мало изменяется на расстояниях горядка длины волны колебаний. В рассматриваемом случае колебания плазмы оказывают влияние на распределение электронов, что в конечном итоге отражается н на характере его колебаний.
Введем величину )Р'(г) = Е'~'8и — плотность энергии плазменных колебаний (Е(г) — напряженность электрического поля, обусловленного колебаниями). Полное давление электронной компоненты складывается из давления за счет теплового движения р= КТ, (У вЂ” плотность, Т вЂ” температура плазмы) и давления со стороны плазменных колебаний (Р'(г), оно постоянно во всем объеме плазмы. При этом постоянство полного давления электронов устанавливается со скоростью звука электронов, которая порядка их тепловой скорости. С такой 5З.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ 213 скоростью устанавливается равновесная плотность электронов йс(г), которая может быть найдена из соотношения УТ,+ се'(г)= И,Т,. Здесь йсе — плотность электронов на бесконечности, где в нашем предположении плазменные колебания отсутствуют; температуру электронов мы считаем неизменной в пространстве. Перейдем к исследованию дисперсионного соотношения для плазменных волн.
Мы можем его получить обычным образом (см. задачу 3.2), однако, применяя все операции к ограниченной области пространства, где плотность электронов мало меняется. В результате получим днсперсионное соотношение (3.7), со'(г) =со,'(г) — , '3 — ' йе, где плазменная частота сое(г) меняется в пространстве в соответствии с изменением плотности электронов. Используя соотношение для плотности электронов и вводя о4 при плотности электронов на бесконечности, получим о(г) сое ~) ()1+3 Те йе е 1 Учитывая, что первое слагаемое значительно больше двух других, перепишем это соотношение в виде со (г)=соо ~с Т +бгоее 1 е где гр —— (Т18псссее)с~о — радиус Дебая — Гюккеля для плазмы на бескойечности, причем полагаем, что температуры электронов и ионов равны.
Проанализируем полученное дисперсионное соотношение. Если плотность энергии, запасенная в плазменных колебаниях, достаточно велика, яе (г))~Т, > бгрйе, то колебания с данной частотой не могут уйти на бесконечность, ибо колебания с такой частотой там не могут существовать. Поэтому при больших плотностях энергии плазменные колебания могут сосредоточиться в ограниченной области пространства и оказаться связанными. Такие образования носят название солитонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
