Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Г25 25 х !О х 1, ! 5 ~ 5 1 <х'>1 (,12 3, 3 / ~18 12) 48! Вычисляя средние значения скоростей, представим эту систему уравнений в виде ао , а , Г Л4 з> <з> 3 !2 У 2Т' аа д 31 <з~> 4 а <зз> 0 12 24 Решая полученную систему уравнений, находим ,и 62 ц! 31 У' ЕМ аа -- бзоо 168 г' Т где индекс сверху означает номер приближения. Как видно, в рассматриваемом случае второе приближение Чепмена — Энскога приводит к результату, который отличается от результата первого приближения Чепмена — Энскога менее, чем на 2а~ь.
Это подтверждает хорошую сходимость метода Чепмена — Энскога. В соответствии с полученными результатами подвижность иона дВижение иОнОВ В Гхзе ВО Внешнем поле 229 во втором приближении Чепмена — Энскога равна еЛ а! 8! 1г' !! 0,327 Л! 168 г' ТМ ав ~ГТМ Л!Откк Задача 4.9. Для атомных ионов, движущихся в собственном газе в постоянном электрическом поле малой напряженности, определить неисчезающую поправку по полю к подвижности ионов. Представим функцию распределения ионов в виде разложения по малому параметру, который пропорционален напряженности поля. Поскольку малый параметр разложения является скалярной величиной, то в данном случае он содержит комбинацию Ет!, где Š— напряженность электрического поля, т! — скорость иона.
Учитывая это, представим функцию распределения ионов в виде Пп) = ф (О) 1+ Х 1" ".Х. (О) ° к 1 здесь !р(п) — максвелловская функция распределения ионов по скоростям, $ еЕЛ(Т вЂ безразмерн параметр, причем Л вЂ дли пробега ионов; гк — компонента скорости иона на направление поля.
Подставляя это разложение в кинетическое уравнение и выделяя в нем члены одинаковой степени по полю, мы получим систему уравнений, связывающих функции Х„с соседними значениями индекса. Последовательное решение этой системы уравнений позволяет определить значения функции Х„. При этом подвижность иона равна К-- ~ = ~ ~ <1 О' Хк(О)> — 7[<А!>+1 < кХк)+ . 1 т. е. разложение проводится по степеням параметра, пропорционального Е', где угловые скобки означают усреднение по скоростям иона и атома с максвелловскими функциями распределения. Вычислим первую поправку к подвижности иона при разложении по малой напряженности электрического поля в случае, когда атомный ион движется в собственном газе.
Производя разложение функции распределения ионов в уравнении (4.13) и приравнивая члены при степенях Е", получим ~ 8, Ы 'Х. — (О)!Р(ОН вЂ”вЂ” к = ) ( т! — ч!'1 Р (О) Р (О') МХ. (О') — О"Х. (О)1 (О'. Учитывая опыт предыдущей задачи, с хорошей точностью до не очень высоких степеней разложения можем считать, что функ- 51 ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 231 Задача 4.10.
Определить дрейфовую скорость ионов, масса которых много больше массы атомов газа. Ширина функции распределения ионов по скоростям определяется либо тепловой скоростью ионов, либо средним изменением скорости иона за одно столкновение с молекулой. Первая величина мала по сравнению с тепловой скоростью атомов, вторая имеет порядок тд!М, т. е. ширина функции распределения ионов всегда значительно меньше относительной скорости столкновения иона и атома. Поэтому в соотношении (!.22) функцию распределения можно заменить: !'(и) = 6(тà — тв), где та=- '! ! (тГ) е о(тГ— дрейфовая скорость иона.
В результате получим следующее соотношение для дрейфовой скорости: еЕ ( т 1 то (' то1 '1 — — ( ехр ( — — ~1 д„до* (и) о(п == ехр( оТ)( ) )ехр~ — -2Т)ао (а)йах о х ~ — ~сЬ вЂ” ~ — ЗЬ вЂ” а) . (4,16) Т Т Т При малых значениях дрейфовой скорости по сравнению с тепловой скоростью атомов газа это дает — и = ) е "*х'п*(х) о(х, х'= —, (4.16а) и*=- ~ (1 — соз6) йт. Этот результат совпадает с первым приближением Чепмена— Энскога, но справедлив в более широкой области скоростей (ш(< ~l Т)гп), чем применимо указанное приближение (и (<)~ Т!М), Следует заметить, что использованный метод, связанный с заменой функции распределения на дельта-функцию, применйм, если и!>)1l Т(М.
Однако, поскольку при ов(<У Т!М дрейфовая скорость пропорциональна напряженности электрического поля, причем коэффициент пропорциональности может быть найден на основании данного метода, то полученный результат справедлив при всех значениях дрейфовой скорости. При большой величине дрейфовой скорости ов>)УТ~М (ш))й) из соотношения (4.16а) получаем — = оа и* (оо) о тх Это соотношение непосредственно вытекает из уравнения движения иона, если учесть, что его импульс мало меняется при столкновении с атомами газа.
Действительно, уравнение движения иона 232 Гл Ф пРОцессы с учАстием зАРяжеиных чАстиц В ГАзе имеет вид —" = ЕŠ— ') 7АР„И юг(о =- еŠ— тйю'а' (в) -- О. 41 Здесь Є— проекция импульса иона иа направление поля, 7АР = = ттв (1 — соз Ь) — изменение импульса иона при столкновении с легким атомом малой скорости, д — угол рассеяния. Задача 4.11.
Сравнить подвижность электронов е газе при малых полях, найденную в приближении Чепмена — Энскога, с точным значением. Считать, что зависимость сечения упругого рассеяния электрона на.атоме от скорости столкновения имеет вид о = СЕ ". Согласно формуле (2.37) для подвижности электронов при малых напряженностях электрического поля имеем О ГГе-~ Е~ /т е з у/'дщ,) о где у — частота упругих соударений электрона с атомами газа. Сравнивая полученную формулу для подвижности электронов в газе К с первым приближением Чепмеага — Энскога (4.3) при заданной зависимости диффузионного сечения и' от скорости столкновения, получаем — = — Г(3 — — ) Г(2+ — ), Следует заметить, что практически реализуюшиеся значения й лежат в пределах О < е < 2. При кулоновском законе взаимодействия частиц (й= 4) столкновение носит многочастичпый характер, тогда как в основе используемых формул лежит двухчастичный характер столкновения.
Задача 4.!2. Определить зависимость дрейфовой скорости иона от напряженности поля при больших значениях напряженности поля. Считать, что ион рассеивается на атоме по классическому закону, а потенциал взаимодействия между этими частицами в рассматриваемой области энергий взаимодействия аппроксимируется зависимостью У )т-" (Й вЂ” расстояние между ядрами).
При большой напряженности электрического поля, когда скорость дрейфа ионов оказывается много больше тепловой скорости ионов и частиц газа. В этом случае относительная скорость столкновения иона и частицы газа совпадает со скоростью иона, $1 ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 233 и соотношение (1.22) принимает вид ~=1~(в) . *()~' им Поскольку в рассматриваемом предельном случае единственным параметром с размерностью скорости, от которого зависит функция распределения, является дрейфовая скорость, из последнего соотношения следует еЕ1р)у и'п*(ш).
Из зависимости потенциала взаимодействия частиц от расстояния между ними У-)т следует, что сечение столкновения этих частиц связано со скоростью соударения соотношением П -МАО-4!л (о- р*, У(р) — ро'). Таким образом, и )à —,„(М) Задача 4А3. Выразить подвижность иона в смеси газа прн' !. малых полях через подвижность иона в каждом из газов. Подвижность ионов в газе в первом приближении Чепмена— Энскога (4.З) удобно представить в виде 1~К = Ат,ьь. Здесь А — некоторая функция параметров газа, не зависящая от рода газа, т,ев — эффективная частота столкновений иона с частицей газа, которая для смеси газов является аддитивной функцией частот столкновений с частицами каждого из газов. Поскольку подвижность мы относим к постоянной полной плотности частиц и частота столкновений с частицами данного газа равна т~-- Ф;(Оа,>, У~ — — с,)у (с; — концентрация газа данного сорта), то т,ьь — — ~ ср,. Так как подвижность ионов в данном газе ( определяется соотношением 11К~ = Ато то подвижность иона в смеси газов выражается через подвижность в каждом из газов.
К; и концентрации газов с, следующим образом: К К Это соотношение носит название закона Бланка и, как следует из его вывода, оно справедливо лишь при малых напряженностях поля. При этих условиях точность закона та же, что и точность приближения Чепмена — Энскога. Задача 4.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
