Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 42
Текст из файла (страница 42)
о с(тссс(г =- а+ (тссо,1, а = еЕс'М, осо = еттсМГ, где М вЂ мас иона. Это уравнение в компонентах имеет внд ссу„ сСоо сс~ к — =-а+и ос, — '= — о ос, — =О. Ш о о СС А о Щ Определим скорость иона к моменту времени Г после очеред ной перезарядки.
Направим напряженность электрического поля Е по осн х, магнитного поля Н вЂ” по оси г. Получим уравнение движения иона 224 ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Решая данную систему уравнений при начальном условии о=О при (=О, получим А в и„= — з!Пв,1, в,=-- — — (! — Созв,!), п,=О, в, '' Р О во Отсюда получаем для функции распределения ионов, учитывая, что частота ларморовской прецессии велика: !'(У) ГЬ вЂ”. е Г У 'у, Л, где У, — 4а/лЬо,. С помощью этого выражения находим дрейфовую скорость иона (т„((в,) 2 В, —.
ат,лов П, = — аГВМ Дрейфовая скорость иона велика по сравнению с тепловой скоростью атомов, т, е. ~~в ))р 7)М, Задача 4.7. Найти функцию распределения ионов по поперечным компонентам скорости по отношению к направлению электрического поля в случае, когда рассеяние ионов на атомах газа обусловлено резонансной перезарядкой и упругое рассеяние при соударении иона и атома несущественно. В рассматриваемом случае резонансная перезарядка при соударении иона со скоростью тГ и атома со скоростью и' приводит к тому, что после соударения ион обладает скоростью п', а атом— скоростью тГ.
Будем считать, что функция распределения ионов по скоростям может быть представлена в виде произведения функции распределения ((и„.) по продольной и Р(вх) по поперечной компонентам скорости, Здесь и, — компонента скорости иона в направлении электрического поля, а пх — компонента скорости иона в перпендикулярном к полю направлении.
Используя характер рассеяния иона на атоме, имеем следующее уравнение баланса для функции распределения ионов по поперечным компонентам скорости: Р(ЕА) ~ оР„() и — е')) (и — и' (((и,) ф(п'„) ср(п'„) сЬ„Г(ту' =— =- ГР (и „) ) о,, (( и — и' !) ! и — и' ( ~ (в',.) г (и'г ) ф (о„) й „ГКе'. Здесь ор„— сечение резонансной перезарядки иона на атоме, зависящее только от относительной скорости соударения, ~р(ук), ~р (ЕА) — максвелловские функции распределения ионов или атомов по продольной и поперечной к полю компонентам скорости. Данное соотношение выражает равенство между числом ионов с данным значением поперечной компоненты скорости, которые унич- $ Ь ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 225 тожаются в результате резонансной перезарядки (левая часть) и которые образуются в результате этого процесса (правая часть соотношения).
Нетрудно видеть, что решением полученного уравнения является максвелловская функция распределения ионов по скоростям: "("-~)='Р('-~)= — т ехр~ — 2т ) где Т вЂ” температура газа, М вЂ” масса иона или атома. Проанализируем физический смысл этого решения. Единственное предположение, которое при этом использовалось, — функция распределения ионов по скоростям может быть представлена в виде произведения функции распределения от продольной компоненты скорости на функцию распределения от поперечной компоненты скорости. Тем самым мы считали, что поперечное движение ионов не зависит от их продольного движения, иоо поперечная скорость образующегося иона не зависит от его продольной скорости.
Поскольку внешнее поле действует только на продольное движение ионов, то поперечное движение ионов при рассматриваемых условиях не зависит от напряженности поля и функция распределения ионов по поперечным компонензам скорости совпадает с соответствующей функцией распределения атомов, нз которых ионы образовались.
Поэтому функция распределения ионов по поперечной компоненте скорости является максвелловской, причем это имеет место для любой напряженности электрического поля, ! Задача 4.8. В пределе малых напряженностей электрического поля вычислить подвижность ионов, движущихся в собственном газе, во втором приближении Чепмена — Энскога. В рассматриваемом случае рассеяние иона на атоме приводит к обмену скоростями между ними. Поэтому кинетическое уравнение для функции распределения ионов имеет относительно простой вид, что делает разложения Чепмена — Энскога менее громоздким. Далее мы проведем это разложение во втором приближении.
Кинетическое уравнение для функции распределения ионов по скоростям имеет следующий вид: — + = ~ ~~(п') Гр (о) — 1(п) ~р (п))1п — и' (О„,М йю'. (4. 13) Здесь внешнее поле Е направлено вдоль оси х, 1(п) — функция распределения ионов по скоростям, гр(п) — максвелловская функция распределения атомов, причем обе функции нормированы на единицу; У вЂ” плотность атомов, а„, — сечение резонансной перезарядки иона на атоме, которое далее мы будем считать не зависящим от относительной скорости соударения.
225 ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Представим функцию распределения ионов в виде разложения по малому параметру ЕЕЛ/Т, где А=(йГп „) ' — длина пробега ионов в атомном газе, Т вЂ” температура газа: В первом приближении при разложении по рассматриваемому малому параметру кинетическое уравнение преобразуется к виду о„~р(о) = ~ ~ о — о' (~р(о) е (о )(оф(о) — оф(о)1йо'. (4.14) При этом было использовано, что — = — —" ~р (о). Далее д'Р (") 'и ох дт„Т наша задача состоит в определении функции ф(о).
В соответствии с приближением Чепмена — Энскога представим эту функцию в виде разложения по полиномам Сонина: ф (о) = ~ а„~",„ ( †,, 1 е О При этом Ям=-1, Вел=5(2 — х. С учетом такого представления функции распределения ионов определим подвижность иона: <о,) 1 Г еЕЛ Е Е ) " Т <О Э 2ГЛ Г 2 т е „ „ еь = — ~ х = х'ле " Йх ~Ч а 57л (х) == — а„ о е=е Ае,.е где х= —. 2т Таким образом, подвижность иона выражается через коэффи- циент при первом члене разложения функции по полиномам Сонина, В общем случае, используя приближение Чепмена — Энскога, мы будем умножать левую и правую части уравнения (4.14) на величину — "Я,(х) и интегрировать по скоростям ионов. В ре- зультате получим систему уравнений для коэффициентов а„, кото- рую мы обрезаем определенным числом членов, в зависимости от выбранного приближения.
Решение системы уравнений для выбранного приближения позволяет определить в этом приближе. нии искомые величины. Проделаем выкладки в левой части уравнения. Имеем О~ ф Г(,О т ~ем(Х) . 2~ З х ~ Е Г(Х~~ (Х) 6 о 5 Ь ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 227 где, как и ранее, х==-Мох(2Т, был использован явный вид максвелловской функции распределения ф(О) и символ Кронекера б, 1, если пт=-0 н 6,,=0, если ЛГ~О.
С учетом используемого разложения и данйого результата, представляем уравнение (4.14) в виде следующей системы уравнений для коэффициентов разложения а„: хи ) Т Вх( 2Т ) ~ )ф( )Р( )х "[" '~'( 2Т) "~~~( хт )1 х Представляя подынтегральное выражение в симметричном виде, имеем для полученной системы уравнений (заметим, что коэффициенты а„имеют размерность )х М,~Т): и 2Т~~хЗйх( 2Т ) хЗма( 2ТВ )1М х х ~О„Яф, ~ —,) — ОЩ, ( ) ~ ! Π— О' ( Гр (о) <р (о') Г(О ав' = б„,. Далее мы решим эту систему уравнений во втором приближении Чепмена — Энскога, т. е.
ограничимся двумя членами разложения функции распределения по полиномам Сонина и двумя уравнениями из представленной системы уравнений. Введем безразмерные скорости иона и =7 Ъ~~2Т тГ и атома и' = ~lй~2Т ту'. Получим с учетом первых двух членов разложения: а, <(и — их)') и — И'()+а, ((и„— и'„) ~и„( — — и')— ° (~ ~м)1) ~() У М "<Г" (-'-")-'(-'-"Л "- ')~ -')>+ + а, Г ( и, à — — и'~ — их ( — — и' ) 1 ~ и — и' 3) = О. Здесь угловые скобки отвечают усреднению с максвелловской функцией распределения частиц по скоростям.
Введем безразмерную относительную скорость а=.и — и' и безразмерную скорость центра инерции О = '/, (и+и'). Получаем их(2 ий) их(2 и ) з (2 6 — 4 з) — 2668, 228 ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ так что искомая система уравнений приводится к виду а <з з>+а <з з !Гз ( — — 6 — — з ) — 26 63! ) = у'— х Г У5 х 1 М В х ГАх ( х(2 по(зхз [Зх ( 2 — 6 — 4 3 ) — 26х68~ ) + +ПГ (з ) зх (2 — 6 — 4 ) — 26хбв1 ) = О. В частности, если мы ограничимся первым приближением Чепмена — Энскога (т.
е, в первом уравнении положим а,=-0), то получим а, <зх>(3='У' М 127. Отсюда 3 „/И зр М <Я~> !' 2Т 16 ~/'Т ' Это дает для подвижности ахах 3 У пяА 16 Г' ТМ что в соответствии с использованным приближением совпадает с результатом (4.4). Производя усреднение по углам, преобразуем полученную систему уравнений к виду а — +а — <з'> — — <з'> <6'> — — ~ = 'ь а ( — <з'> — — <3'> <6'> — — ) + /5, 5, х <а>! а(, 6 9 ° 12,) +а ~<У> ( — — <6'>+ — <6'> +<з'> — <6'> — — )+ 1=-0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
