Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В результате мы получим три уравнения для трех искомых параметров. Решение этих уравнений .позволит определить параметры функции распределения ионов. Далее для упрощения математических выкладок мы используем еще одно упрощающее предположение. В тех случаях, где скорость иона содержится в нечетной степени, мы проведем разложение скорости следующим образом: о = р ох+ о.~ = ох + 2, ох Тем самым мы будем считать, что кинетическая энергия продольного по палю движения иона значительно превышает кинетическую энергию поперечного движения. Полученный результат 244 ГЛ 4 ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Решение этой системы дает х:--1,15; у=0,555; а=0,294, т. е. искомые параметры равны ш= 1,07 )/ —, Т„=-0,555 еЕЪ., ТА= — 0,294 еЕХ.
Точное решение задачи дает Гв=!,14 ~/ —, Т„=-0,454еЕХ, ТА=0,293ЕЕХ. Степень совпадения результатов характеризует точность данного приближения метода. Заметим, что при подстановке точных значений искомых параметров в полученную систему уравнений значения правой и левой частей каждого из уравнений различаются не более чем на 5А4.
Задача 4.1Х Определить подвижность частицы аэрозоля или пылинки в газе. Частица имеет сферическую форму, ее радиус г, значительно превышает длину свободного пробега молекул в газе; заряд частицы равен д. В рассматриваемом случае сила дЕ, действующая на частицу со стороны электрического поля напряженностью Е, уравновешивается силой трения, которая дается формулой Стокса и равна Е =- бпг,чш. Здесь Ч вЂ” вязкость газа, Гв — скорость направленного движения частицы. Отсюда находим подвижность частицы; К = ю/Е = д/биготь Эта формула справедлива для макроскопической частицы, размер которой значительно больше длины свободного пробега молекулы в газе.
Отметим, что использованное выражение для дрейфовой скорости частицы справедливо при малых числах Рейнольдса движущейся частицы: К е = шг,р/11 (< 1, где р — массовая плотность газа. Отсюда получаем ограничение на напряженность электрического поля, для которого справедлива полученная формула: дЕ (( биЧ'/р. В правую часть соотношения вошли только параметры газа.
В частности, для воздуха при нормальных условиях этот критерий имеет вид дЕ((3 1О'эВ/см. $2 ДИФФУЗИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 2Е5 Э 2. Диффузия заряженных частиц в газе во внешнем поле ! Задача 4.20. Исходя из кинетического уравнения получить выражение для коэффициента диффузии заряженных частиц, движущихся в газе во внешних полях. Пусть в слабоионизованном газе плотность заряженных частиц меняется в пространстве, причем изменение плотности иа расстояниях порядка длины свободного пробега мало. Наличие градиента плотности заряженных частиц вызывает диффузионный поток заряженных частиц, который по определению равен .г'„„Ф .= — !2е 1е )У и (4.26) где Ж,— плотность заряженных частиц, которая мала по сравнению с плотностью нейтральных частиц, ~5 — коэффициент диффузии заряженных частиц в газе.
При нахождении выражения для коэффициента диффузии мы д 1пйе используем малый параметр Х ' (где е. †дли свободного дг пробега заряженных частиц в газе; плотность ионов меняется вдоль направления г). С учетом этого малого параметра мы проведем разложение кинетического уравнения Больцмана для ионов: д~ + е+ М дп ет®' д1 еЕ д( 7„— интеграл столкновений. Функция распределения заряженных частиц по скоростям пропорциональна плотности заряженных частиц Леи которая зависит от параметра г — тв( (здесь г — координата, чв — дрейфовая скорость заряженной частицы).
Учитывая, что зависимость функции распределения от координаты и времени содержится в плотности заряженных частиц, представим кинетическое уравнение в виде (- ) . -(+ — —..— -И д1п ече еЕ д( Представим функцию распределения в виде разложения по малому параметру, связанному с градиентом плотности: гд!и Уе направление г выбрано вдоль градиента плотности, функция ~"'(е) отвечает постоянной плотности ионов и является решением кинетического уравнения: При этом условие нормировки функций распределения ~(п) и )"'(че) требует выполнения следующего соотношения для искомой 246 гл 4 пгоцассы с участиям ззгяжаниых частиц в гззв функции Ф: (4 26а) Функция Ф удовлетворяет следующему уравнению: (.— ~.)7а = М д — 7.(Ф). еЕ деа (4,27) по теории возмущений, получим уравнение для са,; еЕ дара еЕс„ да = Т сра 7сс (оссрс).
Это уравнение прн Š— О совпадает с уравнением (4.27) с точностью до замены ер, на — 7,. Сравнивая дрейфовую скорость с выражением для коэффициента диффузии (4.28), находим й>=Тш1еЕ. Так (как ш= — КЕ, то отсюда следует, что подвиж. При этом мы учли, что плотность заряженных частиц мала и соударениями между ними можно пренебречь. Поэтому интеграл столкновений является линейным функционалом от функции рас- пределения заряженных частиц. Поток заряженных частиц по определению равен 7 = ~ е)е(те, причем диффузионный поток, обусловленный градиентом плотно- сти заряженных частиц, создается за счет поправки к функции распределения.
Сравнивая соответствующее выражение для диф- фузионного потока с его определением (4.26), получим выражение для коэффициента диффузии в виде Ю, —" д ) п,Ф(п)е(е, 1 г еде У,— плотность заряженных частиц и функция Ф(е) является решением уравнения (4.27). С учетом условия (4.26а) выражение для коэффициента диффузии удобно представить в виде сБ, = — — ~ (ас — ш) Ф (о) е(е. (4.28) 1 Задача 4.21. Вывести соотношение Эйнштейна для заряженных частиц из кинетического уравнения. При малых напряженностях электрического поля функция распределения заряженных частиц имеет вид )=сра+п„ср„где сра — максвелловская функция распределения; ось х направлена вдоль поля.
Раскладывая кинетическое уравнение д, 7сс (О еЕ д( $2. диФФузия 3АРяженных чхстиц ВО Внешнем поле 247 ность К и коэффициент диффузии ер заряженных частиц при малых полях связаны соотношением Эйнштейна (1.79); К= еЮ,Т. (4.29) ! Задача 4.22. Определить величину коэффициента диффузии для электронов, которые движутся в газе в направлении, перпендикулярном электрическому полю. Пусть электрическое поле направлено по оси х, и мы изучаем диффузию в направлении г, т. е. в этом направлении изменяется плотность электронов. Функция распределения электронов при постоянной плотности с учетом малого параметра (отношения массы электрона к массе частицы газа) имев~ вид 1"'(о) =1 (о)+о.1 (о) Подобным образом функция Ф(ее), характеризующая диффузион- ное движение электронов, также может быть представлена в виде разложения по плотностям относи1ельно оси, которая направлена вдоль градиента плотности электронов Ф (ее) = Фо (ее) + ооФо (о) Подставляя эти разложения в уравнение (4.27) для Ф (е), получим еЕ г„ЛФо еЕ о,оо Оео, (и — масса электрона).
При этом было использовано выражение для интеграла столкновений от несимметричной части функции распределения е'„[о,1(о)1= — уо,1(о), где у — частота столкновений электрона с частицами газа. Умножая полученное уравнение на о, и усредняя по углам, приходим к простому соотношению, 1„=УФ,. Используя его в выражении для коэффициента диффузии, находим (4.ЗО, скобки означают усреднение по скоростям электронов. Задача 4.23. В пределе малой напряженности электрического поля найти зависимость коэффициента диффузии ионов в газе от температуры, если рассеяние их на частицах газа происходит согласно классическим законам и потенциал взаимодействия пробной частицы с частицей газа в области расстояний )х между ними, где он порядка температуры, хорошо аппроксимируется зависимостью (7()7) — Сех Коэффициент диффузии частицы Ю - о), где о )е Т вЂ” характерная скорость частицы, длина свободного пробега 7 1/еро, )о' †плотнос атомов газа, о †сечен рассеяния пробной частицы тчз гл.
с пгоцвссы с гчхстивм зхгяжвнных чхстиц в г11зе 1 2 1 Ы вЂ” Т2 12" (4.31) Таким образом, коэффициент диффузии изменяется с температурой газа по закону 1 2 ГЬ2 Т2 л при постоянной плотности частиц газа и по закону 2 2 Ю т2 П при постоянном давлении газа. Задача 4.24. Получить соотношение между коэффициентом диффузии и подвижностью электронов в газе при произвольной напряженности электрического поля. Введем величину ть характеризующую отношение коэффициента диффузии Ю электронов в газе к подвижности электронов: еЕ2О „еЯ Тм ТК где Š— напряженность электрического поля, Т вЂ” температура газа.
Величина 21 называется энергетическим коэффициентом Таунсенда и при малых напряженностях электрического поля, согласно соотношению Эйнштейна (4.29), равна единице. Используя выражения для коэффициента диффузии (4.30) и дрейфовой скорости н2 (2.28а) электронов, имеем (4.32) Т ( —,„~ ( — ')) В частности, если частота упругих соударений электронов с атомами и не зависит от скорости, то отсюда следует 21 = <тс213Т>. В случае, когда функция распределения электронов по скоростям максвелловская, энергетический коэффициент Таунсенда равен ч= т.)т. В рассмотренных случаях энергетический коэффициент Таунсенда представляет собой отношение средней энергии электрона к средней кинетической энергии атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
