Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Функция распределения ионов по скоростям в нулевом приближении в масштабах скоростей частиц газа явля- ется дельта-функцией. Ширина ее порядка тепловой скорости иона, которой он обладает в отсутствие электрического поля. Учитывая наличие малого параметра, в следующем приближении функцию распределения ионов по скоростям мы можем представить в виде распределения Гаусса, так что она с точностью до норми- ровочного множителя дается выражением 2 1 1(в) = сопз( ехр — " — — ~. (4.21) Л4 1, а4и Мв ь1 2Тн 2Т~) Здесь и„, пь †компонен скорости иона иа направление элек- трического поля и перпендикулярно ему, и — дрейфовая скорость иона, М вЂ” масса иона, параметры Т „, Т~ совпадают с темпера- турой газа Т в отсутствие поля.
Устремив Тх, Т„ к нулю, по- лучаем, что функция распределения ионов принимает вид 6-фун- кции, ~ (п) =- 6 (о — ш) . Параметры полученной функции распределения ионов по скорос- тям можно получить, используя средние значения поступательной энергии в продольном и поперечном направлениях. В частности, если частота столкновения иона с частицей газа не зависит от скорости соударения, то, используя резулшаты предыдущей зада. чи, имеем с точностью до первого члена разложения по степеням т(М Т „= <М (п„— ш)'> =- Т + тш' (1 — ' ), ву,~' ". " 4 * + 4 (4.22б) $1.
ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕ1ННЕМ ПОЛЕ 239 Как следует из полученного результата, если дрейфовая скорость иона мала по сравнению с тепловой скоростью частиц газа, функция распределения ионов является максвелловской функцией со сме1ценным центром, причем температура ионов совпадает с температурой газа; )(е1) =сонэ( ехр~— (4.23) Поскольку скорость иона мало изменяется прн однократном соударении с частицей газа, то функция распределения ионов по скоростям имеет вид распределения Гаусса (4.21). При этом скорости иона сосредоточены в узком интервале скоростей, близких к дрейфовой скорости иона.
Наша задача определить параметры Т„н Те в выражении для функции распределения (4.21), которые характеризуют ширину функции распределения. Для этой цели воспользуемся интегральными соотношениями (4,6), (4.17), (4.19), которые при произвольной зависимости частот столкновения от относительной скорости имеют вид ЕЕ = р (о„ч1>, еЕа ((МО11~ > <тпот >) (4.24) Первое из этих соотношений выражает равенство между импульсами, которые нон в единицу времени получает от электрическо го поля и отдает частицам газа; второе соотношение устанавливает подобное равенство для кинетической энергии, а третье — равенство для кинетической энергии в направлении поля.
В этих соотношениях М, и, 11 — соответственно масса иона, частицы газа и приведенная масса иона и частицы газа, т„тз — частоты столкновения иона с частицами газа, отвечающие разным способам усреднения сечения по углам рассеяния, е, т11 — скорости иона и частицы газа, тв — дрейфовая скорость иона, ось х выбрана й направлении электрического поля, и угловые скобки в представленных выражениях означают усреднение по скоростям ионов и частиц газа. При обратном соотношении между указанными скоростями продольная Т, и поперечная Т1 температуры в Общем случае различаются.
Задача 4.17. Определить продольную и поперечную темпера туры, отвечающие функции распределения ионов по скоростям при движении ионов с большой массой в газе в электрическом поле. Дрейфовая скорость иона значительно превышает тепловую скорость частиц газа. 249 ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ В рассматриваемом случае, когда дрейфовая скорость иона много больше тепловой скорости частиц газа, температуры ионов Т„, ТА значительно превышают температуру газа. Поэтому тепловым движением частиц газа при нахождении искомых характеристик можно пренебречь. С учетом этого, вычитая из второго уравнения третье, получим <МоАт > =- — ~ о — — 1 у ), з Зи l /, и-' 4~1, ~ Зу где оА — компонента скорости в направлении, перпендикулярном полю.
Заменяя в нулевом приближении функцию распределения ионов б-функцией, т, е. считая, что скорость ионов совпадает с дрейфовой, получим отсюда шю~ тз <МЕА> = — —, 2 где частоты столкновений берутся при относительной скорости столкновения иона и частицы газа, равной дрейфовой скорости ионов. Отсюда для поперечной температуры получаем 1 2 Аче ту Т, = <Мо,'> = <Мо,'> = — <Мо,> = — — '. (4.25а) У~ Для определения продольной температуры представим первое уравнение (4.24) в виде еЕ = р <о„т,> =- ри <т,> + р <(о„— и) т,> = =.- ри <т,>+ р <(о,— и)'; — „' ~ В правой части второго уравнения с точностью до первого члена разложения по параметрам — — имеем т„ ТА Мв' Ми~ <Мо'т,> —.= = <Ми*У,>+2Ми <(о„— и) у,>+ <М (о„— и)' у,>+ <Мо~ »,> = =..
(МыР-)-Те+2ТА) <т,>+2и҄— „' ~ Заменим напряженность электрического поля в левой части второго уравнения на основе ранее полученного соотношения из первого уравнения (4.24). Используя проведенные выкладки, находим нз второго уравнения (4.24): ри'<у,> + — и —, ~ 11 Tу Лю оо .=~ — — '1 (Ми*+ Т „+2Т,) <.,>+2Т „и" — '* ~ 1 М+тг ЙО ь=в 1 Это дает " Е1оо и=и з ь движение ионов в гхзв во внешнем пола 24! Или, используя ранее полученное выражение для величины Т„, находим продольную температуру: Т„= тюбе ™ Л1пт~) (4.
25б) Й1п г )~=~ Как видно, продольная и поперечная температуры, характеризующие распределение ионов по скоростям, порядка ппе'. В рассматриваемом случае дрейфовая скорость иона значительно превышает тепловую скорость частицы газа, которая порядка 7 Т)гл (Т вЂ” температура газа). Отсюда следует, что продольная и поперечная температуры ионов значительно превышают температуру газа. Формула (4.25а) для поперечной температуры, полученная для произвольной зависимости частоты столкновения от скорости, совпадает с формулой (4,22б), представленной в пределе больших напряженностей поля.
Поэтому, хотя формула (4.22б) для поперечной температуры ионов получена в предположении постоянной частоты столкновения ионов с частицами газа, эта формула справедлива и в более общем случае. Что касается формулы (4.25б) для продольной температуры, то она совпадает с аналогичной формулой (4.22а) только в случае, когда частота столкновения т, не зависит от относительной скорости столкновения, т.
е. при выполнении условия применимости формулы (4.22а). Согласно формуле (4.22б) продольная температура ионов зависит от характера изменения частоты столкновения с изменением относительной скорости соударения. Задача 4.18. Ионы, масса которых совпадает с массой частиц газа, движутся в сильном электрическом поле, так что дрейфовая скорость иона значительно превышает тепловую скорость частиц газа.
Определить дрейфовую скорость ионов в случае, когда сечение рассеяния иона на частице газа не зависит от скорости столкновения, а само рассеяние изотропно в системе центра инерции. Рассматриваемый закон рассеяния имеет место для так называемой модели твердых сфер и реализуется в случае, когда потенциал взаимодействия частиц резко изменяется в области расстояний между частипами, ответственной за рассеяние.
Этот закон рассеяния описывает реальную ситуацию. При решении данной задачи с целью упрощения выкладок используем приближенный метод. Именно, зададим функцию распределения ионов в разумном виде, а параметры, входящие в выражение для функции распределения, найдем из интегральных соотношений для средних характеристик иона. Очевидно, приемлемое выражение для функции распределения ионов по скоростям дается формулой (4.21), ибо эта формула правильно отражает характер 242 гл. з пгоцпссы с очхстивм зхояжвнных члстиц в глав распределения ионов по скоростям в области скоростей, где они в основном сосредоточены.
Таким образом, зададим функцию распределения ионов по скоростям в виде М (о — м)~ ЛееЗ 1 1(о) =- Сехр — — "— 2Т „2Т где С вЂ” константа нормировки, а параметры (ш — дрейфовая ско- рость чона, Та, Ть — продольная и поперечная температуры) под- лежат определению. Искомые параметры определим из интегральных соотношений (4.24). При этом в силу изотропного характера рассеяния иона 2 е 2 на частице газа осп — = ( (1 — соз'О) еЬ = — ~ йо = — ~ (1 — сов О) до= з3 з„ = — о*, где 9 — угол рассеяния.
о' — диффузионное сечение рас- 3 сеяния. Поэтому в рассматриваемом случае не зависящего от ско- рости сечения соударения т,==й(оп*=--о/), т,=.= /ет,='/,о!Х, где о — скорость иона, 1=1)Фо* — длина пробега иона в газе. С уче- том этого равенства масс иона и частицы газа, а также пренебре- гая скоростью частицы газа по сравнению со скоростью иона, перепишем интегральные соотношения (4.24) в следующем виде: еЕ =- 2х <о„о>, еЕш =- — <о'>, и 4Х еЕю -- — <о'о>+ — ( ~1ол — — ~ оу, . Здесь, как и ранее, угловые скобки означают усреднение по скоростям ионов, и — масса частицы газа, которая в данном случае совпадает с массой иона. Проведем усреднение по скоростям ионов с помощью введенной функции распределения ионов по скоростям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
