Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В общем случае это на частицах газа. Сечение упругого столкновения этих частиц найдем из соотношения а-р', У(р) — рс2, 12 — приведенная масса частиц. Используя данный потенциал взаимодействия„получаем а Т 2~", так что эг. диффэзия злгяжвнных члстиц во внешнем полк 24э соотношение выполняется приближенно. Так, при больших на- пряженностях поля, используя для распределения электронов по скоростям функцию Драйвейстейна, находим, что если сечение соударения электрона с частицами газа не зависит от скорости электрона (т. е. т- о), то энергетический коэффициент Таун- сенда равен г1= 1,14(,то",ЗТ>.
В случае, когда м — ог~', имеем для энергетического коэффициента Таунсенда ц=-1,07<тог(ЗТ>, а при он' эта величина равна Ч вЂ” 1,04(туг,'ЗТ>. Как видно, энер- гетический коэффициент Таунсенда в общем случае позволяет с приемлемой точностью определить среднюю энергию электрона, ! Задача 4.25. Определить коэффициент диффузии ионов в газе в случае, когда частота соударения ионов с частицами газа не зависит от скорости столкновения. Воспользуемся уравнением (4.27) для функции Ф, определяю- щей коэффициент диффузии ионов в газе. Умножим это уравнение на скорость иона в направлении градиента плотности о, и про- интегрируем по скоростям ионов. С учетом условия (4.2ба) полу- чим интегральное соотношение ((о,'> — шг) Мг =- — ~ о,р„(Ф) йо, где угловые скобки означают усреднение по скоростям ионов, Мг — плотность ионов.
Это соотношение и позволяет в конечном итоге получить выражение для коэффициента диффузии. Преобразуем правую часть соотношения: — '),7„(Ф),(~ = = ~ о,(Ф(о) р(о,) — Ф(о') ~р(о,"Я ~ гг — е, ~ йойо сИг, —-- = ~ (о, — о,') Ф (о) ~р (о,) ~ е — о, ~ йа г(о г(ен Здесь о, гг' — скорость иона до и после столкновения, он о,'-- скорость частицы газа до и после столкновения, йо — диффе ренцнальное сечение рассеяния. Подынтегральное соотношение было преобразовано при обращении времени и соответственно скоростей до н после столкновсния. При этом был использован принцип детального равновесия, согласно которому величина (о — о, ~ до при таком обращении сохраняется.
В полученном выражении выполним интегрирование по углам рассеяния. Эта операция неоднократно проделывалась ранее (см. например, задачу 1.10). В результате получим (о,— о,')с(о=, „д,о*, где М вЂ” масса иона, и — масса частицы газа, о* — диффузионное сечение столкновения иона и частицы газа, я — относительная скорость столкновения иона с частицей газа. Это позволяет 25о Гл г НРоцессы с ъчхстием 3АРяженных чАстиц В ГАзе привести первоначальное соотношение к виду (гхг> — цг) й11 .
~ Аг,Ф(е) ср (тгг) / тг — тгг / о" дт1 г(тгг. (4.33) Воспользуемся теперь тем, что частота столкновения иона частицами газа т — )Уао" (д) (л1 — плотность частиц газа) не зависит от скорости столкновения, Имеем ш*) 1Т = ч( - н ) (гг "ы)Ф(е) нет(тгг) "е' Переменные в правой части соотношения разделяются, причем для частиц газа по определению (гр(о,)г(тг,=)11 ~о„~р(ог)г(юг=О, где У вЂ” плотность частиц газа. Интеграл от искомой функции Ф в той же комбинации, что и в данном соотношении, входит в выражение (4.28) для коэффициента диффузии.
Воспользовавшись этим, получим для коэффициента диффузии у М ((гг) мг) (4.34) 1гэ где р=-гпМ1(т+М) — приведенная масса иона и частицы газа. Подобный результат получен в задаче 1.11 из аналогичных соображений. Используем соотношения (4.20) для средней энергий иона в рассматриваемых условиях. Получим для коэффициента диффузии иона в направлении поля г214 и в перпендикулярном к полю направлении ЮА: 1 2 4М 1гтг 1' 1 т — .г — .) ~ 1кг г = — Т + гпюг злг Ч,+ — Тг ) 4М 3 где частоты тг =- й1д ) (1 — соз О) Но и т, =. Уд ) (1 — соз' О) г(п характеризуются разным способом усреднения по углам рассеяния О; пг — дрейфовая скорость иона. ! Задача 4.26. Определить коэффициент продольной и поперечной диффузии тяжелых ионов в газе, Вычислим коэффициент диффузии в двух предельных случаях †одном из них дрейфовая скорость иона мала по сравнению с тепловой скоростью частиц газа, в другом выполняется обратное соотношение.
При этом мы воспользуемся тем, что ширина функпии распределения по скоростям мала по сравнению с характерными значениями скорости. Это позволит исполь- $2 диФФузия 3АРяженных чАстиц ВО Внешнем пОле ез~ зовать интегральное соотношение для функции Ф, определяющей величину коэффициента диффузии (4.28). Умножим уравнение (4.27) для искомой функции Ф на проекцию скорости в направлении диффузии сг и проинтегрируем по скоростям ионов. С учетом условия (4.26а) получим окончательное соотношение (4.33): (<о~~у — шг) гггг = — ~ гг Ф (и) гр (тг ) йог гИ) г(тгг, Здесь угловые скобки означают усреднение по скоростям ионов, Л', †плотнос ионов, и †скорос иона, тг, †скорос частицы газа, д= тг †тгг †относител скорость иона и частицы газа, ~р(егг) — максвелловская функция распределения частиц газа по скоростям, о †диффузионн сечение рассеяния при соударении иона с частицей газа, М вЂ мас иона, и †мас частицы газа. Представив д, = сг — и„ и учитывая, что остальная часть подынтегрального выражения является четной функцией Относительно вн приведем полученное соотношение к виду (<пг) еаг) йю „и ~ ВгФ(ег) гр (пг) Яо г(п ггегг Это соотношение и дает возможность определить коэффициент диффузии ионов, При этом мы воспользуемся тем, что искомая функция Ф является решением неоднородного интегро-дифференциального уравнения (4.27) того же типа, что и функция распределения ионов по скоростям ггг'.
Поэтому характерйая область скоростей иона, где значение этой функции окажется порядка максимальной величины, будет иметь ту же ширину, что и область распределения ионов по скоростям. Учитывая это, имеем, что интеграл в правой части полученного соотношения сходится в малой области скоростей, где функция Ф(ег) отлична от нуля. Это позволяет разложить остальную часть подынтегрального соотношения в этой области скоростей и получить результат.
Рассмотрим сначала поперечную диффузию ионов. В случае малой напряженности поля поперечная скорость ионов мала по сравнению со скоростями частиц газа, а при больших напряженностях поля — и по сравнению с дрейфовой скоростью. Это позволяет провести интегрирование по скоростям частиц газа и дает: <Ругу й'; =- — ~ ~ ВЕФ (ю) г(п», где ось у направлена перпендикулярно электрическому полю, м †часто столкновения иона с частицами газа, усредненная по скоростям иона и атома.
Если дрейфовая скорость иона мала Эвв ГЛ 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ по сравнению с тепловой скоростью частиц газа, то У = <гг Пгог (Пг)), (в — дрейфовая скорость иона). В любом случае величина ъ. не зависит от поперечной скорости иона из-за ее малости, что с учетом формулы (4.28) дает для коэффициента поперечной диффузии мт М <пгэ ТГ г21 ~ У щ 7 иъ где ТА — поперечная температура ионов (4.25), р — приведенная масса иона и частицы газа. Для коэффициента продольной диффузии в случае, когда дрейфовая скорость иона мала по сравнению с тепловой скоростью частиц газа, получим подобное соотношение, ибо и не зависит от продольной скорости ионов: 1пгл.м) (<и'-ъ п,г) Тг г пг 7 пъ' где продольная температура ионов Тг совпадает с температурой газа Т. В другом предельном случае, ш)~7 Т~т, имеем (<и'„) — ш') й'; = ) п„Ф (тг) Г(п у (тг), поскольку относительная скорость столкновения иона и частицы газа в данном случае совпадает со скоростью иона и, которая в свою очередь близка к дрейфовой скорости иона пг.
Проведем разложение величины п„т(п) по степеням и„— ап Пусть у пт, и'!и т ~ т. е. у= ~ . Имеем и' 1и п ~г=~ пг (~ 1 и ш)г 1 пг шг ~1; ~(пг и')~ так что у(п) = у(ю) ~1+у п„т (и) = шт (га) + (у+ 1) (и, — цг) т (ш), Это дает Первый член этого разложения при интегрировании дает нуль в силу условия (4.26а). Следовательно, с учетом определения где угловые скобки означают усреднение по скоростям частиц газа пг. В другом предельном случае т = гг'гпог (и), ЯХ4 ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕИНЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Константа С может быть найдена из условия (4.26а), которому удовлетворяет искомая функция: ) Ф(и)е(и=О.
Это дает С=2/и — 1/2, так что Ф(и) = — Ж Е-зп' 1Х вЂ” — 1, — и-(- — — ( и коэффициент диффузии ионов вдоль поля, согласно формуле (4.28), равен 1 Г 1 еЕА Ж> „= — ~ (о„— ш) Ф е(о„= — — ~ Ф (и) и е(и = е е Хш ( г ) О 137 Ы" (4'35) ! Задача 4.28. Определить коэффициент поперечной диффузии ионов в собственном газе в пределе большой напряженности электрического поля. Отделим поперечные компоненты скорости ионов и атомов в'выделенном направлении г и далее будем наблюдать только за поперечными г-компонентами скоростей иона и атома. Тогда интеграл столкновений от функции распределения ионов г"(гз) по поперечным компонентам скорости гз согласно результату задачи 4.7 имеет вид 7„(г) =Ф(гз) ~ <)те — и'1>о „г" (а',)еЬ;— — г (оз) ~ < ) те — те' ( > ор„Ф (о,') еЬ;, где усреднение выполнено по компонентам х, у скоростей ионов и атомов, Ф(о,) — максвелловская функция распределения по скоростям.
Учитывая, что скорость иона в направлении поля значительно превышает как характерную скорость атома, так и характерную поперечную скорость иона, находим, что <1о — с'1> = ш (ш — дрейфовая скорость иона). Отсюда 7сз(Л) Ф(оз) ЕЕЕОрю ~ Р(вз) Е4сз ~ (Ф Л Шпрез. Используя приведенный вид интеграла столкновений, для уравнения (4.27) в рассматриваемом случае имеем о,Ф(о,)=-)зешо „Ф(гз) — Ф(и,) шаре, ~ Ф(ез)е(о,. При этом последний интеграл согласно условию (4.2ба) равен нулю, так что решение данного уравнения дает Ф ( ) рзФ ("з) А зорез А 2. ДИФФУЗИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ РЗЗ Отсюда согласно формуле (4.28) получаем следующее выражение для коэффициента поперечной диффузии: ев е <р,'> т (4. 36) А'ееорее АФорее АТ Задача 4.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
