Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Определить среднюю энергию иона при движении его в газе в постоянном электрическом поле при условии, что частота столкновения иона с частицами газа не зависит от скорости столкновения. Э34 ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Умножим кинетическое уравнение для ионов (1.5) на энергию иона Мп'~2 и проинтегрируем полученное соотношение по скоро г д) Г дР~ стям иона, Учитывая, что~ и' — Г(п= — — 2~ 1" — йп — — 2ш (ю— 3 'д„= 3 д'„. Средняя скорость иона), находим еЕГЕ = ') — (и' — и") ) (и) ~р (и,) )Уа Г(п Г1п Г1п,.
Здесь Ф, в' — скорости иона до и после соударения, э, — скорость частицы газа, д=- е — е, — относительная скорость соударения, Ф вЂ” плотность частиц газа, Г(а — дифференциальное сечение рассеяния, )(и) †функц распределения ионов,~р(п) — максвелловская функция распределения атомов, причем обе функции распределения нормированы на единицу () )(в) Г(ю ~ ~р(п)де=1).
Из полученного интегрального соотношения мы выведем соотношение для средней энергии ионов. Проинтегрируем сначала левую часть по углу рассеяния. Скорость иона равна П3 т+ Мй' здесь У вЂ” скорость центра инерции, и — масса частицы газа. Отсюда и' — "= м+ У (й' — а'), где д' — относительная скорость частиц после рассеяния. Далее, д'= — усов О+пдз1п О (Π— угол рассеяния, и — единичный вектор, перпендикулярный вектору й). Отсюда после усреднения по азимутальному углу рассеяния получаем, что ) (Я' — Я' ) Г(п = Я' ) (1 — соз О) пп = Яб* (й), о" (к) =- ~ (1 — созО)Г(п — 'диффузионное сечение упругого столкновения иона с частицей газа. С учетом этого первоначальное интегральное соотношение представим в виде еЕш= — р ') )(а) ~р(п,) Ъ'дтс1пГ(в,= +" <(Мп' — тп1)У>,(4.17) здесь р= тМ!(и+М) — приведенная масса иона и атома; У(д) = =- Л'дп'(д) — частота столкновения иона с частицей газа; угловые скобки означают усреднение по скоростям ионов и частиц Газа.
Полученное соотношение представляет собой уравнение баланса для энергии ионов, движущихся в газе в постоянном электрическом поле. Левая часть этого соотношения является энергией, которую ион в единицу времени получает от электрического поля. В правой части данного соотношения стоит энергия, которую ион $ Е ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 235 теряет в единицу времени в результате столкновения с частицами газа. Воспользуемся условием задачи, что частота столкновения т не зависит от скорости. В этом случае, учитывая формулу (4.7) и=еЕГрт, выражая отсюда частоту столкновений, получим "= ~ ~(е) Е(о) )~аг(еГ(е,=<)~а>.
Далее, $'= м ), и'=е — е„так что Ми+то, М т з М вЂ” т ю' = < Уй > = — <о'> — — <о,> + — <е> <е >. ГЕ+ М и+М ' М+АГ Принимая во внимание, что средняя скорость частиц газа равна нулю и вводя температуру газа Т= — <Гло,> и 'среднюю энергию 2 а =3 — с Мом ионов е =~ — ), получаем искомое соотношение 2 (т+М) в'+ 37, 2 2 (4.187 Задача 4.15. Определить среднюю поступательную энергию иона в направлении внешнего поля для иона, движущегося в газе в постоянном электрическом поле. Частоту соударения иона с частицами газа считать не зависящей от скорости соударения.
Эту задачу мы решим подобно предыдущей и определим величину средней энергии из интегрального соотношения. По аналогии с предыдущей задачей умножим кинетическое уравнение для функции распределения ионов на величину поступательной энергии иона в направлении поля Мо,'/2. Получим ЕЕи = — ') (о*„- о„') ) (е) ~р (о,) дГй йт Г(е Г(е,. е= У+ — й, ГЕ+ М Здесь е, е' — скорости иона до н после соударсиня, е, скорость частицы газа, и'= е — е, — относительная скорость иона и частицы газа, М вЂ” масса иона, и — средняя скорость ионов в направлении поля (причем электрическое поле направлено вдоль оси х), Г(и †дифференциальн сечение столкновения иона и частицы газа.
Функции распределения ионов 7'(е) и частиц газа е (е) по скоростям нормированы на единицу. Преобразуем выражение в правой части полученного соотношения. Представим скорость иона как ЭЗЗ ГЛ. 4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЯМ ЗАРЯЖЕННЪ|Х ЧАСТИЦ В ГАЗЕ где т — масса частицы газа, у — скорость центра инерции сталкиваю|цихся иона и частицы газа. Отсюда получаем хла / и| |е Пх Пх =Л,) М)'х(йх Йх)+ ~„~ М) (йх вх). Относительная скорость иона и частицы газа после соударения равна д"'=ехсовО+идв1пО, где Π— угол рассеяния в системе центра инерции, и — единичный вектор, направленный перпендикулярно вектору д'.
При этом все направления вектора и в плоскости, перпендикулярной вектору. й, равновероятны. Учитывая это, выполним интегрирование по углам рассеяния. Имеем .) (а, — а') ( = ~ (й' — а') а(п = =Ух ) (1 — сов О) г(о — пхх ) я)п О ||о= д„о', Здесь о*(д) = ~ (1 — соя 0) г(п — диффузионное сечение соударения иона и частицы газа, и было учтено, что среднее значение компоненты вектора п равно нулю. Лалее, введем угол О между век- Рис, 4.3. Геометрии векторов при усредиеиии по углам в за- даче 4.15. торами й и Е и угол |р, который характеризует положение проекции вектора и' в плоскости, перпендикулярной вектору й и отсчитанный от проекции вектора Е на эту плоскость (см. рис. 4.3).
Получим д„' = д (соз О сов О + в1п О в 1 и О сов |р) = Аг„соз О+ дА я 1п О соз |р, где иА — проекция относительной скорости й' на плоскость, перпендикулярную направлению электрического поля. Отсюда, усредняя по азимутальному углу, имеем =и„' — й,'сов'Π— а' в1п'Осов'|р — 2д„дАЗ1пОсовОсов|р=- =(йе — .|. ) Зщай=.. — ~ оа и — ) в|пеО 4 И ДВИЖЕНИЕ ИОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 237 где черта сверху означает усреднение по азимутальному углу и было использовано, что д,'+дА~= а'.
Это дает д, д„),(и (д~ ЬЗ ) О~м(д) где оси(д) --. ~ (1 — соз'О) ГЬ. Используя полученные результаты и подставляя их в начальное интегральное соотношение, имеем еЕГо= — (А<(Г„д„~,>+4 м" (( к„' — 3 ~ ч,), (4.19) где угловые скобки означают усреднение по скоростям ионов и частиц газа, т, == ЛГд о' (Аг) „т, ЛГд ам (д), )А = тМ)(т+ М) — приведенная масса иона и частицы газа. Воспользуемся теперь тем, что частоты столкновения иона с частицами газа т, и т, не зависят от скорости соударения.
Вынося их из-под знака усреднения и возвращаясь от относительной скорости и скорости центра инерций к скоростям иона и частицы газа, получим (<Мох) <то1х)) З)хттв еЕш = )Ат, +, + (о,' — — ). При этом мы учли, что средняя скорость частицы газа равна нулю (<о,„> = О) и что распределение частиц газа по скоростям изо тропно (<о'„) .=- '), <о,')). Воспользуемся теперь выражением для дрейфовой скорости иона (4.7): Го —.ЕЕдАЕО значением поступательной энергии атома <то'„>=--Т (где Т вЂ” температура газа) и полученным в задаче /Ми'1 4.15 выражением (4,18) для средней энергии иона ( — ) = 2 (М+т), 3 2 + Го'+ — Т. На основе этого получим следующее выражение для поступательной энергии в направлении поля: ( — )=— Мох~ Т + (М+т) т' ч,+тх,14М (4.
20а) 2 2 2 2 М1+Зтхь)4М Соответственно поступательная энергия в направлении, перпендикулярном электрическому полю, равна (Фу=(Ф) =-'((% — ' о"у) = Т + (М-)-т) т~ тми)4М (4.206) 2 2 т~+Зтх2!4М Проанализируем полученный результат. Если масса иона М много меньше массы частицы газа, то средние значения поступательной энергии в направлении поля и перпендикулярно ему совпадают. Этот случай соответствует движению электрона в газе во внешнем электрическом поле. Упругое рассеяние электро- эзв гл. ь пгоцвссы с гчлстивм зхеяжвнных частиц в глаз (4.22а) на на частице газа сопровождается малым изменением энергии при сильном изменении его импульса.
Поэтому функция распре- деления электронов по скоростям близка к сферически симметрич- ной, так что средние значения поступательной энергии для раз- ных направлений движения совпадают. В случае, если масса иона значительно превышает массу час- тицы газа, то энергия движения частиц поперек поля не зависит от напряженности поля, пока дрейфовая скорость иона много меньше тепловой скорости частиц газа. При высоких напряжен- ностях электрического поля средняя кинетическая энергия иона обусловлена его движением в направлении поля. ! Задача 4.16.
Определить функцию распределения ионов, движущихся в газе в постоянном электрическом поле, если масса иона много больше массы частицы газа. При движении тяжелых ионов в газе их скорость мало меня- ется в результате соударения с частицами газа. Отношение ха- рактерного изменения скорости к его среднему значению и яв- ляется малым параметром, позволяющим построить вид функции распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
