Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При этом дисперсиопное соотношение принимает вид ы 4лее'еее М т. е. Еид, подобный соотношению для плазменных колебаний, но отвечающей движению более тяжелой компоненты. ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМВ !62 1йЕ' — 4 Иа ( ')'!';г( ' — '! '1ег(ое) Здесь 1;, 1; — часть функции !распределения ионов и электронов, связанная с колебаниями плазмы, Е' †отвечающ колебаниям напряженность поля, ае, л †часто н волновой вектор колебаний, 1„ 11 — максвелловская функция распределения электронов и ионов, а„ и, — проекция екорости электронов и ионов на направление распространения волны, гп, М вЂ мас электрона и иона. Так как д1; МО, де; Т;'" д1е иеее то дисперсионное соотношение для обеих ветвей колебаний принимает внд ееее 1 т ( 'Отме~ ( М ! Ое1едве Ие 1, Т;,! ЕО1и — О! Те ) ОО1ее ееl (3,! !) Это днсперсионное соотношение может быть использовано для исследования плазменных колебаний и ионного звука. При рассмотрении низкочастотной ветви колебаний (ионного звука) будем считать йп;((ы((йп,.
Разлагая с учетом этих соотношений знаменатель в подынтегральном выражении, получим ЕОЧЕ ИЕ ° Еее ИЕ м, т Еео ИЕ ! = — — — — (л — — (и ! ) ' — !л — — (в 1.) ~ + —, — . ЛО Те атее Те е е 1О ОМ Ве Те е О ~ц еее ме М е Так как ло,((ы„'йто М О У 2ЛТ, Ь У 2ЛТ; ""', 2ЛОТ,1 (3.!2) Задача 3.7. Получить днсперсионное соотношение для ионного звука, исходя мз кинетического уравнения для электронов и ионов плазмы. Считать, что функция распределения электронов и ионов по скоростям максвелловская, и что температура электронов Т, значительно превышает температуру ионов Т;, а длина волны колебаний значительно больше радиуса Дебая — Гюккеля плазмы. Поскольку ионный звук представляет собой колебания ионной компоненты плазмы, то для его исследования наряду с движением электронов необходимо учесть движение ионов, Из кинетического уравнения для электронов и ионов и уравнения Пуассона получим вместо уравнений (3.4) и (3.5), учитывая гармоническую зависимость рассматриваемых характеристик плазмы от координаты и времени, следующие уравнения: еЕ' д1е .
. еЕ' д1е — 1(ы — Йп ) 1'.= — — ', — 1(ы — /го~)1'= — — — ', е е т дее' М де; ' МАЛЫЕ КОЛЕБАПИЯ В ПЛАЗМЕ 1бЗ Определим отношение коэффициента затухания б в частоте о>, счита я б (( о> и Т; ~- Т,. Имеем: но>я ° / т пме Г М г Мо>' > б = — — !у — + — )у — ехр, — —, 1 . (3.12а) 2й т 2пТ, 2й 1 2лТ, ', 2ггЯТ;,' б лм 1 ° лТ Те Отсюда (о> —.!г~ Т /М) получим — = ),' — + — )у — 'ехр' — — ') . е ' Вэг 2 У Т; ' 1, 2Тг~' Из этого выражения следует, что коэффициент затухания ионного звука б мал по сравнению с чае- д е„„„ случае, если температура элект- иойебан~я о>г=ойг Зйг<лг > ронов значительно превышает температуру ионов. Поэтому ионный о>, звук способен распространяться в ' плазме лишь при больших элект- ронных температурах по сравне.нию с ионными температурами.
Таким образом, в плазме в ~,дт, отсутствие внешних полей появ- 0 ляется два типа колебаний плаз- Рнс. 3.1. Колебания н плазме мы (рис. 3.!). Первая, высоко а отсутствие ане иннк полей. частотная ветвь носит название плазменных колебаний и обусловлена движением электронной компоненты плазмы. Вторая, низкочастотная ветвь, связана с движением ионной компоненты плазмы в самосогласованном поле электронов. Электроны, обладая большими скоростями, адиабатически приспосабливаются к перемещениям ионов и поэтому влияют на их движение. По этой причине частота ионного звука зависит от параметров электронной компоненты плазмы. Задача 3.8.
Получить из дисперсионного соотношения (3.11) де!- оаевское экранирование поля в плазме. Экранирование постоянного электрического поля, проникающего внутрь плазмы, определяется влиянием электронов и ионов, так что для определения его величины следует воспользоваться дисперсионным соотношением, учитывающим движение н электронной, и ионной компонент плазмы. Для этой цели мы используем соотношение (3.11), которое получено без предположений о малости волнового вектора. Зависимость поля в волне от времени и координаты имеет вид Š— Е,ее м"-'М1, а при о> = О это выражение переходит Е -- Е,е- "', lг =-1а.
Считая функцию распределения электронов и ионов по скоростям максвелловской, получим нз дисперсионного соотношения (3.!1) при о> =-- О: й*= — пкоа ~ — + т ) = — го, ~Т, ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ !Е4 где радиус Дебая — Гюккеля определяется формулой (2.?). Отсюда lг !Угр и Е=Е,ехР( — х)гр). 1 Задача 3.9. Получить дисперсионное соотношение для электромагнитной волны, распространяющейся в плазме. Воспользуемся уравнениями Максвелла, связывающими напряженности электрического Е и магнитного Н полей в электромагнитной волне: ! ди го1 Е= — — —, с д1' ! дЕ 4л го1 Н= — — + — ~, с д! где ! — ток частиц в плазме. Исключая из этих уравнений напряженность магнитного поля Н, приведем их к виду КЕ т?!1!у Е = + д! Амплитуда электромагнитной волны мала, и волна не изменяет характеристики плазмы.
Поэтому напряженность электрического поля можно представить в виде двух частей Е,+Е', так что первое слагаемое соответствует полю в отсутствие электромагнит- ных волн, а второе определяется наличием электромагнитной волны. Уравнение Максвелла (3.13) разбивается на два независи- мых уравнения, причем уравнение для напряженности поля элек- тромагнитной волны удовлетворяет уравнению (3.13), если вхо- дящий в это уравнение ток обусловлен электромагнитной волной.
Если пренебречь скоростью ионов по сравнению со скоростью электронов, то ток равен1 г= — А! еа!,', где А!, †плотнос электронов, е,' †час скорости электронов, обусловленная электромагнитной волной. Эту скорость можно определить из уравнения движения электрона т !(ю,')с(! — — еЕ', и с учетом этого уравнения для напряженности электромагнит- ного поля (3.13) принимает вид ! д2Е' 4лд!,,е' АЕ' — ягаб Йу Е' = — — + — ' Е'.
се дс2 тс~ Для плоской волны Е'=- Е;ехр(КФг — !сс(). Подставляя выражение в ранее полученное уравнение, получим дисперсионное соотношение, связывающее частоту электромагнитной волны св и величину волнового вектора я. При этом учитываем поперечность электромагнитной волны ЛЕ == О, что дает со'= сз~+й'с~, (3,!4) где ы, = (4ЛА!,е'!т) М' (3.15) $ Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМŠ— плазменная частота. Из дисперсионного,'соотношения (3.14) следует, что в плазме могут распространяться электромагнитные волны, частота которых больше плазменных частот.
При малой плотности заряженных частиц в плазме дисперсионное соотношение (3.14) совпадает с днсперсионным соотношением для электромагнитной волны в вакууме ы = йс. ! Задача 3.!О. Выяснить характер распространения электромагнитных волн в плазме при условиях, когда движением ионов можно пренебречь. Выведем при заданных условиях дисперсионное соотношение для электромагнитных волн, которое по своему характеру аналогично уравнению предыдущей задачи, но в которое мы включим затухание, обусловленное соударениями. Из уравнений Максвелла можно получйть уравнение (3.13) для напряженности электрического поля волны.
С учетом того, что зависимость характеристик волны от времени и координат имеет вид ехр( — 1ЫГ +(йг), перепишем это уравнение в виде: (3.16а) где г'=- — еЖ,е,— плотность электронного тока (и',— плотность электронов, е,— их средняя скорость в волне). Из поперечности электромагнитной волны следует йЕ О, т. е. б(ЕЕ=-О. Отсюда находим, что плазма остается квазинейтральной и возмущения под действием волны приводят к движению электронов.
Прн заданных условиях задачи мы можем пренебречь движением ионов, так что электрический ток, влияющий на распространение электромагнитной волны, обусловлен движением электронов. Определим его, исходя из кинетического уравнения для электронов, которое мы используем в т-приближении: — + ЕГР1 — — — =- — т (1 — 1 ) д( еЕ д) д1 ° ° Здесь 1,— равновесная функция распределения электронов по скоростям в плазме в отсутствие электромагнитной волны, Е— напряженность электрического поля волны, т — частота столкновений электронов с частицами газа. Представим функцию распределения электронов в виде ) = 1", + 1", где добавка г' обусловлена электромагнитной волной и ее зависимость от времени и координат задается в обычном виде 1' ехр(1)гг — 1ЫГ).
Учитывая это, приведем кинетическое уравнение к виду 1' ( — пв+1йг — т) — — — = О. еЕ д(а ла де ГЛ. В ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ Выбрав направление распространения 7е вдоль оси г, напряженноать поля электромагнитной волны †вдо оси х, получим = — — (со — Лпх+со) ', с еЕ д(а ~'х Согласно уравнению (3.16а) направления векторов напряженности электрического поля волны и электрического тока совпадают. Поэтому электрический ток направлен по Оси х и по определению равен д1а ; ъЕ е охд: ~х / =--ЕЛСа<О.>= — 1 . ° х а х ) Ао+. Здесь )у,— плотность электронов, угловые скобки означают усреднение по скоростям электронов.
Вычисляя интеграл по частям, получим (3.166) Подставляя это выражение в уравнение (3.16а), приходим к следующему дисперсионному соотношению: со — й е + сосоо ) 1 о1 с где оъ,— плазменная частота. При больших частотах полученноеадисперсионное соотношение переходит в соотношение задачи 3.9, но с учетом затухания: со' = лось+ со, "(1 — ~ ) . В другом предельном случае ы <' 'л)ГТ,(т (Т, — температура электронов), имеем, определив вычет подынтегральной функции: О=-/г с — с — ь' ъъ 4 ° Глт У 2та Отсюда находим .. Г2Т еъСсь со= — — с' у 'сос1 саа На основе полученнос о днсперсионнос.о соотношения вычислим глубину, на которую проникает поперечная волна малой частоты при прохождении в плазму.
Пусть ось г направлена перпендикулярно границе плазмы и вэтом направлении распространяется электромагнитная волна. Поскольку зависимость амплитуды волны от координаты имеет вид ес"', то волна затухает прн проникновении в плазму по закону ехр( — гсб), где 1/6=-1ш й. В случае волн малой частоты получаем для характерной глубины 6, на которой затухает волна: (3.!7) % Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Б ПЛАЗМЕ Как видно, для поперечной волны глубина проникновения волны в плазму 6 — оо в пределе малых частот сс. Характер проникновения поперечной волны в плазму носит название аномального скин-эффекта для продольной волны, рассмотренного в задаче 2.6. Задача 3.11. Получить дисперснонное соотношение для высокочастотных волн, распространяющихся в плазме в постоянном магнитном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
