Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 57
Текст из файла (страница 57)
лы на стороне приборл, противоположной источнику. Магниты А н В создают неоююродное магнитное поле, и в *юч поле малые мапгнтнзге моменты мог скул испытывают силу, вызывающую искривление их траекторий. В опыте изучается влияние радночастопюго излучения в области магнита С иа двизкенне пучка молекул вакуум. С течением времени благодаря эффузии относительная концентрация тяжелого изотопа в сосуде будет расти, а газ, откачпваемый из окружающего сосуд вакуума, будет обогащен легким изотопом. Такой метод разделении изотопов имеет практическое значение скорее, чем эффузия тяжелых молекул.
Это свойство эффузии можно использовать для получения практического способа разделения изотопов. Представим себе сосуд, закрытый мембраной с большим числом узких щелей, через которые может происходить эффузия молекул. Пусть наш сосуд наполнен смесью двух изотопов и помещен в прн получении урана, обогащенного изотопом Б'". Этот изотоп легко делится тепловыми нейтронами и имеет поэтому большое значение для работы ядерных реакторов (и для изготовления ядерного оружия). Естественный уран содержит главным образом изотоп 1!'-"". Для разделения изотопов урана используют шестифтористый уран (1)Р,) — химическое соединение, представляющее собой при комнатной температуре газ. При эффузии этого газа можно отделить несколько более легкие молекулы 1)ьм от значительно более распространенных и немного более тяжелых молекул сР:".
Так как различие в массах этих молекул очень невелико, то, чтобы получить заметную концентрацию изотопа 1)'-'"', процесс эффузин нужно многократно повторять. 6.5, Теорема о равномерном распределении В своей классической форме (!О) каноническое распределение зависит от координат и импульсов, которые являются непрерывными переменными. Поэтому вычисление любых средних величин сводится к вычислению интегралов, а не сумм.
При некоторых условиях вычисление средней энергии системы может быть выполнено особенно просто. Рассмотрим любую систему, описываемую классически с помощью ) координат д„...д и соответствующих импульсов р„...,пг Энергия системы Е зависит от этих переменных, т. е. Е=--ЕЦь...,г)т ',)т„",рг). Эта зависимость часто имеет следующий вид: Е=е;(р;)+Е'(д„..., рг). (43) Здесь е, зависит только от данного импульса рп а Е' может зависезь от всех координат и импульсов, кроме импульса р,. (Зависимость типа (43) может возникнуть, например, в том случае, если кинетическая энергия частицы зависит только от составляющих ее импульса, а потенциальная энергия зависит только от координат.] Допустим, что рассматриваемая система находится в термическом равновесии с тепловым резервуаром при абсолютной температуре Т.
Каково среднее значение вклада в энергию от члена е; в формуле (43)? Вероятность того, что координаты и импульсы системы находятся вблизи значений (д„..., дт., рь..., рл), определяется каноническим распределением (10). Постоянная С этого распределения дается формулой (1!).
По определению, мы найдем среднее значение, если вычислим соответствующую сумму (нли интеграл) по всем возможным состояниям системы, т. е. е зз(ч~. ' Рр . 1Ч нр в;-- (44) вв ы пп лч ! ' / где интеграл берется по всем возможным значениям всех координат дь..., д и импульсов р„...,рг. С помощью (43) выражение (44) принимает такой вид: е В~ееелче;щ ... дрт ~е змееар, ) е ааее Нр е.— -З (ее~ аз а е ~ е-Вм ~ ~ е — Зе'е ер Здесь мы использовали мультиплпкативиые свойства экспоненциальной функции. Штрих над последним интегралом указывает на то, что интегрирование производится по всем координатам д и импульсам р, за искшочением импульса р;.
Штрихованные интегралы в числителе и знаменателе одинаковы, поэтому, сокращая на них, получаем следующий простой результат: ) е "е'е;ер; е=-" е ее~ лр, (45) ') е ""дре или (45) Указанные пределы интегрирования означают, что импульс р,. может принимать все возможные значения между — ао н +со, Рассмотрим теперь специальный случай, когда е; является квадратичной функцией р„как это и должно быть, если е, соответствует кинетической энергий. допустим, что е; имеет вид е; =- Ьр,'., (47) где Ь вЂ” некоторая постоянная. Тогда интеграл в (46) принимает вид Ф е ) е — ае; )р ~ е-аее,' (р ()-ме ~ е-ее (р где мы ввели переменную у==К"р;.
Теперь мы можем написать: который означает, что если е; зависит от ро то прн вычислении среднего все другие переменные не играют роли. Вычисление (45) можно упростить, выразив интеграл в знаменателе через числитель. Тогда Но интеграл„стоящий справа, вообще не зависит от р, и дифференцируя (46), мы получаем аг е = — — ~ — — !п~)=— дй'х 2 ) 28 или (48) Отметим, что хотя в начале вычислений мы имели дело с многократным интегралом, окончательный результат получен вообще без всякого интегрнрования.
Если в функциях (43) н (47) импульс р; заменить на координату ап все предыдущие рассуждения не изменятся, н мы опять получим результат (48). Таким образом, мы пришли к выводу, известному под названием теоремы о равномерном росорсделении энергии. Если описываемая классической статистической механикой система находится в равновесии при абсолютной температуре Т, то каждому независимому квадратичному члену в выражении для энергии соответствует среднее значение, равное '(ь йТ.
(48а) 6.6. Приложения теоремы о равномерном распределении Удельная теллогмкость одноатол~ного идеального газа. Полная энергия молекулы такого газа просто равна кинетической энергии: (49) Из теоремы о равномерном распределении следует, что среднее значение каждого из трех членов (49) равно '(, йТ. Отсюда следует, что 2 3 (50) Так как моль газа содержит М, молекул, то средняя энергия газа равна Е йг ~ йт)= КТ (5! ) (52) где )с=У,Й вЂ” газовая постоянная.
На основании (5.23) мы ролучаем следующее значение удгаьной теплоемкости с при постоянном объеме: з 2т ' 2 " 2 — р' =- —, ию' = —,— 'нТ, (53) пли ч о'=— ) (54) Так как о„=О, из соображений симметрии, как это было показано в (26), результат (54) даег также дисперсию (Ло„)з компоненты скорости оч. Так же как в случае олноатомного газа, три квадратичных члена в выражении лля соз приводят к следующему значению средней кннегической энергии движения центра масс молекулы: еоо =- — ''аТ. (55) Броуновское движение. Рассмотрим макроскопическую частицу с массой гп (размером порядка микрона), взвешенную в жидкости при абсолютной температуре Т. Энергия этой частицы опять может быть записана в виде (Р +Р +р)+е Здесь первый член отвечает кинетической энергии и зависит от скорости движения и или импульса р центра масс частицы, тогда как член е'соответствует энергии, связанной с движением атомов, составляющих частицу, относительно ее центра масс.
Теорема о равномерном распределении опять приводит к результату (53) и (54): — йт о'-— (56) к *) В соответствии с (37) лли достзточно рззрсжснного газа квинтовые аффекты действительно ие имеют зввчснии, н' в этом случае следует ожидвть согласия между квантовым и классическим рзссмотрснием задачи. 237 Это значение совпадает с результатом, полученным в (5.26) с помощью квантовомеханических соображений для газа, достаточно разреженного, чтобы его можно было считать идеальным и невырожденным*). Кинетическая энергия молекулы любого гола.
Рассмотрим любой газ, не обязательно идеальный. Энергия любой люлекулы с массой лг может быть записана в виде в = еоо+ е', где воо =- — (р„*+ р„'+ р,'). 2лг к Первый член равен кинетической энергии движения центра масс молекулы; он зависит от составляющих импульса центра масс. Член г' может зависеть от положения центра масс молекулы (если молекула находится во внещнем силовом поле или если она заметным образом взаимодействует с другими молекулами), а также от координат и импульсов, описывающих вращение и колебание атомов молекулы относительно ее центра масс (еслп молекула не является одноатомной); но он не заисит от импульса центра масс р.
Из теоремы о равномерном распределении энергии немедленно следует, что И в этом случае:среднее'значение'а„=О из соображения симметрии, н (56) непосредственно равно дисперсии составлявшей скорости о,. Из формулы (56) сразу следует; что частица не остается в покое, а 'обладает флуктуирующей скоростью. Таким образом, существование броуновского движения, рассматривавшегося в п.1,4, является простым следствием нашей теории. Из формулы (56) следует также, что если масса частицы достаточно велика, флуктуации становятся столь малыми, что перестают быть практически' наблюдаемыми.
Гпрл1оничгский осцилллтор. Рассмотрим частицу с массой т, совершающую одномерное гармоническое колебательное движение. Ее энергия равна 1, ! а =- — р""+ — их'. 2т " 2 (57) Здесь первый член равен кинетической энергии частицы, импульс которой равен р, а второй член равен потенциальной энергии частицы, на которую действует восстанавливающая сила — ах, пропорциональная смещению х. Постоянная а называется коэффициентом упругости (или постоянной пружины). Предположим, что осциллитор находится в равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т, достаточно высокой для того, чтобы можно было использовать классическое описание. Тогда, применяя теорему о равномерном распределении (48) к выражению (17), содержащему квадратичные члены, мы сразу получаем среднюю энергию осциллятора: й= 2 йт+-, 'йт=йт.
(56) 6.7. Удельная теплоемкость твердых тел В качестве последнего приложения теоремы о равномерном распределении мы рассмотрим удельную теплоемкость твердых тел при температурах, достаточно высоких для того, чтобы классическое описание было справедливым. Рассмотрим любое твердое тело, состоящее из М атомов, например, медь, золото, алюминий, алмаз. Благодаря внутренним силам, действующим между соседними атомами, в состоянии стабильного механического равновесия твердого тела его атомы занимают определенное положение в кристаллической решетке. Каждый атом может, однако, испытывать небольшое смен1ение из положения равновесия. Восстанавливающая сила, действующая со стороны соседних атомов на такой смещенный атом, стремится вернуть его в положение равновесия и исчезает, когда атом займет это-положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
