Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В сосуде находится водяной пар, начальное давление ноторого равно О,! мм рт. ст. Оцените время, необходимое для уменьшения давления до 1О-в мм рт. ст., предполагая. что каждая молекула, ударившаяся об охлажденную поверхность, конденсируется на ней. 6.12. Разделение изотопов эдирузией. Сосуд имеет пористые стенки, содержащие большое число тонких щелей. Газ, проникающий через эти щели благодаря зффулнн, откачнвается н собирается в специальную камсру. Сосуд наполнен разреженным газом, состоящим из молекул с массами т, и т, (в зги молекулы входят два различных изотопа одного атома).
Обозначим через с, и сз концентрацию моле. кул первого и второго типов соответственно (концентрацией системы в данном случае мы называем отношение числа молекул типа 1 к полному числу молекул). Эти концентрации могут поддерживаться неизменными, для чего достаточно, например, осуществить приток в сосуд свежего газа в количестве, необходилюм для компенсации утечки из-за эффузии. а) Обозначим через ст и св концентрации молекул обоих типов в специальной камере. Чему равно отношение с,/с,? б) Используя газ Орв, можно сделать попытку отделить с)заь от ()звв.
Первый из этих изотопов используется в реакции ядерного деления. Газ в сосуде состоит из молекул Овзврвг~ и Озжува~ (концентрация этвх молекул соответствует естествеи- иой распространенности обоих изотопов урана и равна соответственно с,ы= 99,3% и охая=0,7%). Вычислите отношение с,аь/сяээ для молекул, собранных в камере по. еле эффузии.
Выразите зто отношение через начальное отношение концентраций. 6.13. Изменение концентро~!ии в результате кйфузии. Одна нз стенок сосуда заменена мембраной с большим количеством малых щелей. Если сосуд наполнен газом, находящимся при даилении р, та благодаря эффузин газ из сосуда будет проникать в окружающий сосуд вакуум. Опыт показывает, что если наполнить сосуд гелием при комнатной температуре и давлении р, то в течение часа давление в сосуде упадет до %э р. Предположим, что при комнатной температуре и полном давлении р акул наполнен смесью гелия (Нс) и неона (Ве).
Атомная концентрация обоих газов равна 50% (полавина агапов является атомами Не, потанина — атомами Ме). Чему будет равно отношение пм !пне атомных концентраций по истечении часа? Выразитеотвег через атомные веса гелия ры н неона рмь. 6.14. Вычисление розлинньгх средних для лгогекулы газа. Газ, состоящий из молекул с массой т, находится в равновесии при абсолютной температуре Т. Обозначим через ч сиорость молекулы, через ок, о н о,— саста вляюгцие скорости по координатным осям. Найдите следующие средние: а) о„, б) ох, в) о%„, г) охо „ д) (о„ + Ьо„)э, где Ь вЂ” постоянная. (У к а з а и и е. Соображения симметрии и теорема о равномериояг распределении дают возможность получить эти средние, иеприбегая к сложным вычислениям.) 6.16. Доллеровскае расширение соектрогьных линий.
Газ из атомов, имеющих массу т, находится внутри сосуда при абсолютнойтемпературе Т. Атомы испусхают свет, который выходит из сосуда (а направлении х) через окно в его стенке. Свет, испускаемый атомом, имеет определенную частоту тм Однако благодаря эффекту Лоплера частота спета, нспушенного азамом (скорасть которого имеет вдоль оси х составляющую о.), не равна частоте чь.
Приближенное значение частоты равно ч=э, (!+ — "), где с — скорость света. В результате спектрометр, анализирующей свет, обвару. жит вместо одной частоты ч, некоторое спектральное распределение! (ч)и'ч, которое дает часть световой энергии, заключенной в интервале частот ат ч до ч+цч, а) Вычислите среднюю «астату ч света, наблюдаемого спектрометром. б) Вычислите дисперсию (Ач)г частоты света, наблюдаемого спектрочеяром.
в) Пакзжите, каким образом измерения ширины Лч=-=((Лч)г) мспектральиой линии, наблюдаемой спектрамстром в излучении звезды, дают возможность определить ее температуру. 6.16. Удельная теплоемкость подвижного люногголекугярного слоя. Если поверхность твердого тела находится в достаточно хорошем вакууме, то на ней может образоваться одиночный слой молекул, толщина которого будет равна диаметру молекулы. (В этом случае говорят, что поверхность адсорбнровала молекулы.) Молекулы удерживаются ва поверхности силами притяжения, действующими со стороны атомов твердого тела, но могут перемещаться по ней, сохраняя свободу в двух измерениях.
Таким образам, ани образуют в хорошем приближении классический двумерный газ. Предположим, чта яюлехула одноатомна н абсолютная температура равна Т. Чему равна малярная теплоемкость молекул, адсорбированцых поверхностью? 6.17.
Зависимость электрического сопротивления мета?во от темтротуры. Электрическое сопротивление р металла пропорционально вероятности того, что электрон рассеивается колеблющимися атомами рештки. Эта вероятность в свою очередь пропорциональна средней квадратичной амплитуде колебаний атомов. Как зависит электрическое сопротивление р металла от его згясолютной температуры вблизи комнатной температуры нли выше, когда колебания атомов металла ыогут быть рассзготрены с помощью классической статистической меканпкн? 6.18. Теоретическая предельная точность езвеииюапия. Очень чувствительные пружинные весы состоят аз кварцевой пружины, закрепленной в неподвижной опоре.
Постоянная пружины ранна а (при растяжении прчжины на вели шну к возникает возвращающая сила — ах). Весы находятся при температуре Т в ыесте, где ускорение силы тяжести равно а. а) Каково среднее растяжение к пружины, к которой подиешен небольшой груз массой М? б) Чему равна величина (Лк)э=.-(к — х]з тепловой флуктуации груза около положения равновесия? в) Измерение в~ассы теряет смысл, если флуктуации настолько велики, что. гг (Лхх) ')к. Каково минимальное значение массы М, измеримой с похющью таких иесов? 6.19. Тепвощакекпш апгормопичеехоео оекилллпюри.
Рассчотрич одномерный осцнллятор (ие простои гармонический), описываемый координатой х и пчп)льсом р, энергия которого равна в= — о+бкз. ра (1) Первый член этого выражения соответствует кинетической, второй — потенцаальиой энергии. Величина т — масса осциллятора, Ь вЂ” некоторая постоянная. Осппллятор находится в равнонесни с тепловым резервуаром при течпературе Т, которая достаточно велика для того, чтобы мы могли применять законы классической механики.
а) Чему равна средняя кинетическая энергия осциллятора? б) Чему равна средняя потенциальная энергия? в) Чему равна средняя полная энергия? г) Рассмотрим ансамбль слабо взаимодейстиующих частип. каждая из которых совершает одночерные колебания, причем энергия колебаний определяется выражением (!). Че«у равна теплоеыкость ыатя таких часгиц при постоянном объеме? (У к а з а н и е.
Чтобы отвепшь на эти вопросы, нет необходиыости вычислять соответс вующне интегралы.) 6.20, Тепвоежкоепю твердого пыла, обладающего Попьигой апизоп1рапией. Расстготриы твердое тело, кристаллическая решетка которого обладает болыцой гнизотропией. Каждый атом п такой решетке совершает простые гармонические колебания в трех направлениях. Восстанавливающая сила в направлении, ппраллельном некоторому слою в кристалле, очень велика. Поэтому свободные частоты колебании н направлениях х и р, принадлежащих этому слою, одинаковы п равны величине ы „, которая настолько велика, чтп Фь з)~~300 ал где ЗОО й — теп.юная энергия прн комнатной температуре.
С другой стороны, в направлении, перпендикулярном к слою, пействует небольпшя восстанавливающая сила. Частота колебании ы „ а направлении г, перпендикулярном к плоскости слоя, настолько чала, что ?!ю (<ЗОО й. Вычислите на основании такой ыодели, чему равна полярная теплоемкосгь (прп постоянноы объеме) тела при ЗОО 'К. 6.21.
Кваппювал ?торил тепвоеикоети твердого тека. Чтобы облет ~г|ть квантовочеханическое рассмотрение атомных колеоаний твердого тела, ыы примеч упрощенную моделгн в которой каждый аточ твердого тела колебчется незавнсичо от остальных с частотой го, одинаковой для асах трех направлений. '1'вердое тело состоит из гч' атомов; оно эквивалентно, тяня образам, ансамб«ю из 3?? незгвиспмых одночерных осцилляторов, кштеблющихся с частотой ю. Возможные квантовые состояния ка кдого осииллятора ичеют энергию ,где квантовое число и может принимать значения О, 1, 2..., а) Допустим, что твераое тело находится в равновесии при абсолютной температуре Т.
Воспользовавшись формулой ()) и каноническим распределением (см. задачу 4.22), найдите среднюю энергию в осцилчятора и полную среднюю энергию колебания атомов твердого тела Е='г(в. б) Используйте полученный результат а) (см. задачу 5.20) для вычисления ьюлярной теплоемкости ск твердого тела. в) Покажите, что су можно выразить формулой сг — — З)7 (1 1) где йго () йТ 7' (П1) !Э=йыгй является температурным параметром, который был определен формулой (70), г) Покажите, что при Т~)0 формула (11) дает классический результат ск-— -ЗЯ. д) Покажите, что нз формулы (П) следует, что с~ стремится к нулю прн Т- О. е) Найдите приближенное значение сю следующее нз формулы (11) при Т((тд 'к) Изобразите иа графике характер завнскмостп ст ог абсолютной температуры Т.
з) Воспользовавшись критерием (!), определите температуру, ниже которой классяческое рассыотрение не может быть применимо. Сравните полученный результю с условием (69) применимости классической теории т*плоемкости. (!.1спользуя сделанные в этой задаче приближения, Эйнштейн а !907 г. впервые получил выражение (!1) для теплоемкости твердого тела, основанное на новых квантовых идеях, и объяснил экспериментальные данные о теплоемкости твердых тел, противоречащие классической теории.1 гллвл г ОБЩЕЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ До сих пор мы занимались главным образом тепловым взаимодействием. Чтобы достичь большей общности, следует несколько расширить рассмотрение, включив в него произвольные взаимодействия между микроскопическими системами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
