Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 63
Текст из файла (страница 63)
7.3. Применения к идеальному газу Чтобы лучше понять результаты, полученные в предыдущем параграфе, мы применим их к простому случаю идеального газа. Такой газ, независимо от того, является ли ои одноатомным илп многоатомным, характеризуется следующими двумя свойствами: 1.
Уравнение состояния, связывающее среднее давление, температуру и объем, занимаемый г молями газа, имеет внд (4.93), т. е. р1~ = тКТ. (37) 2. При фиксированной температуре среднее значение Е внутренней энергии газа (см. (4.86) ) ие зависит от его объема: Е =Е(Т) независимо от (г. (38) Среднее значение внутренней энергии Е непосредственно связано с молярной теплоемкостью сг (при постоянном объеме). Действительно, из (5.23) следует Здесь индекс К указывает на то, что при дифференцировании объем )гсчитается постоянным.
Из (38) следует, что молярная теплоемкость также не зависит от объема Р газа, но может зависеть от его температуры Т. Если объем $' не меняется, то (39) позволяет нам написать следующее выражение для изменения средней энергии Е при изменении абсолютной температуры на величину г)Т: г(Е = тс„г(Т.
Из второго свойства идеального газа (38) следует, что приращение внутренней энергии идеального газа может возникнуть только от изменения температуры и не зависит от того, что происходит с объемом. Поэтому формула (40) имеет общее значение: она справедлива независимо от того, какими изменениями объема 4/ сопровождается изменение температуры г(Т. В специальном случае, когда с не зависит от Т, из (40) следует: если с„не зависит от Т, то Е=чс Т+сопз(.
(41) (43) Изменение энтропии газа в рассматриваемом пропессе равно, сс гласно (32), а5.= — '=-тс --+ ч)с' — ° то ит, л т тт (44) Энтропия идеального газа. Чему равна энтропия 5(Т, У) газа, находящегося в макросостоянии с температурой Т и объемом У, если мы знаем, что в другом макросостоянии с температурой Т, и объемом У„энт'ровня имеет значение 5(Т„У,)? Зля ответа на этот вопрос достаточно совершить квазистатический переход из началь- ного макросостояния (Т„ У,) в конечное макросостояние (Т, У), осуществив этот переход как последовательность почти равновесных макросостояний, в которых газ имеет температуру Т' и объем У'. Например, мы можем начать с того, что начальный объем У, остается неизменным, а температура меняется квазистатическн от Т, до Т.
Этого можно достичь, осуществляя тепловой контакт газа с после- довательностью тепловых резервуаров, температура которых отли- чается на бесконечно малую величину. Из (44) следует, что такой пропссс меняет энтропию газа на величину г 5(Т,1„) — 5(Т0,10)= ~ 7, П 'г, Лалее, поддерживая температуру Т газа постоянной и очень мед- ленно меняя его объем (передвигая, например, поршень), мы перей- дем из начального значения У, в конечное У.
Из (44) мы получаем, что в таком пропессе изменение энтропии газа равно 5 (Т У) — 5 (Т Уо) = тД ~ —, == тЯ ()п У вЂ” 1п Уо) (46) Складывая (45) и (4б), получаем полное изменение энтропии: (45) 5(Т, У) — 5(Т„У,) = 4'Ут (Т +К (п Ц. г, (47) Сделанные выше замечания позволяют написать общее выражение для тепла Щ, поглощенного идеальным газом при бесконечно малом квазистатическом изменении состояния, если температура газа изменяется на бТ, а объем — на г(У. Применяя выражение (5.14) для работы, произведенной над газом, мы имеем ~Й~ =йŠ— ЮФ =ЙЕ+рНУ.
(42) С помощью (40) и (37) отсюда следует Мы можем рассматривать макросостояние (Т„У,) как некоторое стандартное макросостояние нашего газа. Тогда выражение (47) дает нам зависимость энтропии 5 любого другого макросостояния газа от температуры Т н объема У, которую можно записать в следующем виде: (48) где константа является функцией фиксированных параметров Т, и У„стандартного макросостояния, а неопределенный интеграл является функпией температуры Т. Выражение (48) является интегральной формой равенства (44). Из формул (47) и (48) непосредственно следует, что число доступных газу состояний растет с увеличением абсолютной температуры (или энергии) и с увеличением объема, который могут занимать зюлекулы газа.
Особенно простым является случай, когда молярная теплоемкость с постоянна (т. е. не зависит от температуры) в представляющей интерес области температур. [Наприьгер, для одноатомного газа мы показали в (5.26), что су=з/згг.) В этом случае с можно вьшестп за знак интеграла, и, так как г[Т'[Т'=Й (!пТ'), выражения (47) и (48) принимают вид: если су не зависит от Т, то Я(Т, У) — 5(Т„У„)=ужасу!п — +)7!п — 1, (49) 7в в1 или Я Т, [') =- У [су!п Т+ 7зз [п У+ сопзЦ. (50) 3 а м е ч а н и е.
Отметим, что выражения (47) и (4а) для изменения энт. ронни зависят только от температуры и объелза [Тв, 1"„) начального макросостояния а и от температуры и объема (Т. 1'1 ко- У печного макросостоянпя Ь. С другой стороны, 3 полное количество поглощенного тепла 9 зависит от конкретного процесса, с помощью которого совершался переход от а к Ь. Рассмотрим, например, следующие два процесса, У вЂ” л 1 ! и каждый иэ которых переводит систему из манросостояния и в макросостоянпе Ь.
1 1. Сохраняя постоянным объем 1'„перейдем квазистатпчески нз аачальаоз о макро- состояния а [точка (Тв, 'уп) на рис. 7.5! в 7 Т промежуточное макросостояние а'(Т, Ув). Затем прц постоянной температуре Т осуществим квазистатическое увеличение объема и перейдем из этого макросостояння в конечное макросостоянис Ь [точка (Т, У)). Используя (43) и допуская, что малярная теплосмкость ст остается постоянной, мы найдем полное ковпчество тепла, поглощенное в процессе а а'-зЬ: Яз = усу (Т вЂ” ТД+ийТ 1п —, (51) 1'в ' Рвс. 7.З двв различных кввзвствтвчссквх прппсссв, псрсвпдвщвс свстсму вз нзчвльпогп ввкроссстовпв» а (температура Т„, объем ГИ в ксвсчвос мвкрпсостовввс Ь Пчмнсрв.
тура Т, объем У1. где первый член отвечает теплу, поглощенному на пути а-га', а второй член— теплу, поглощенному при переходе а' Ь. 2. Прн постоянной температуре Т, перейдем квазистатически из начального макРосостоанив (Т„)гэ) в пРомечгУточное макРосвстоание Ь'(Тэ, Рк Затем, сохраняя объем постоянным, совершим квазистатический переход из состояния Ь' в конечное макросостояние Ь(Т, Р). С помощью (43) мы теперь найдем, что полное количество тепла, поглощенного в процессе а- Ь'-эЬ, равно !)э = — тйТэ(п — + ясу (Т вЂ” Тэ). (52) 1'в Здесь первый член справа сггвечает теплу, поглощенному при переходе из а в Ь', а второй член — теплу, поглощенному прп переходе из Ь' в Ь.
Заметим, что ко.чичества тепла (51) н (52), поглощенные в процессах 1 и 2, не совпадают, так как коэффициент прп !п(Н(га) в первом процессе пропорционален Т, а во втором процессе Те. С другой стороны, изменение энтропии (49) в обоих процессах одинаково, в соответствии с общим выводом (36). е, г(Т+ — с()г=.О. , йТ (г Деля обе части равенства на )7Т, мы получаем г,дт, ДР— —,' — =- О.
)4 Т (53) Допустим, что теплоемкость с ие зависит от температуры, по крайней мере в ограниченном температурном интервале, соответствующем нашему процессу. В этом случае уравнение (53) можно сра-.у проинтегрировать и мы получаем $ !п Т + 1п и' = сопз! *). (54,' Таким образом, .1пТ'"'л '-)п )г= сспз(, !п '!Т"' )г! = — сопз(, или (55) Эта формула показывает, каким образом температура термически изолированного идеального газа зависит от объема. Если нас интересует зависимость давления газа от объема, то достаточно воспользоваться уравнением состояния (37), из которого *) Заметим, что (54) следует непосредственно из (50), если мы используем общий результат (18), согласно которому энтропия изолированной системы не меняетсв в любом квазистатическом процессе.
263 Адиабапшческое сжапше идм раешмрение. Рассмотрим адиабатнчески изолированный идеальный газ. Он не может поглощать тепло. Предположим, что объем этого газа меняется квазистатичсски. Прн этом должна меняться н температура газа. Действительно, равенство (43) должно выполняться на всех стадиях квазистатического процесса, для которого с((~=-0, так как поглощения тепла не происходит. Итак, следует, что ТсхрМ. Подставляя рг' вместо Т в (55), получим Возводя обе части равенства в степень /7/сю получим (56) где у ==- 1+ — = — ° к сг+Р сг сг (57) рР = соп51.
(58) Сравнение (56) и (58) показывает, что если газ термически изолирован, его давление падает с увеличением обьема более быстро, чем в том случае, когда температура газа поддерживается постоянной. Интересным приложением формулы (56) является задача о распространении звука в газе. Пусть частота звуковых колебаний равна ы; тогда интервал времени между последовательными сжатиями и разрежениями данного малого объема газа будет порядка т-1/а. Частота ы обычного звука достаточно велика и величина т соответственно мала. За время порядка т не успевает происходить обмен теплом между нашим малым объемом газа н окружающей газовой средой. Поэтому каждый малый элемент газа испытывает сжатие и расширение, которые являются адиабатнческими, н его упругие свойства описываются уравнением (56). В результате оказывается, что скорость распространения звука в газе зависит от константы 7, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
