Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(;3)) значительно больше частоты колебаний атомов меди в металле. Более точно, для алмаза (плотность р=3,52 г сл-з) оценка температурного параметра дает 0 =830' К. Таким образом, для алмаза прн комнатной температуре классическое приближение не может быть справедливым и нас не должно удивлять низкое значение гр для алмаза, прияедеиное в табл.
6.1, этот предельный результат. Если предположить, что каждыи атом твердого тела колеблется с частотой ш, то выполнить квантоволгеханический расчет удельной теплоемкости с весьма просто. Мы получаем при этом значение с, пригодное для любых температур. (Подробности этих вычислений см.
в задаче 6.21.) сводка определений Фазовое пространство. Многомерное простракство, оси которого соответствуют координатам н импульсал| системы. Точна в этом пространстве определяет все координаты и импульсы частиц системы. Максвслловское распределение скоростей. Выражение — р |по' ((ч) дзч гх е з Рч, дающее среднее число молекул, скорость которых лежит между ч и чзг-дч, для газа при абсол|отпой температуре Т. Эффузия.
Вытекание молекул из сосуда через небольшую щель, размеры которой значительно меньше средней длины пробега молекул. Основные формулы Если система, описываемая классически, находится в равновесии при абсолютной температуре Т, то каждому независилюму квадратичному члену е| в выраженик для энергии отвечзет среднее значение энергии в|= —, дТ. (1) 3 в д а ч и 6.!. Фпзоеое пространство классического гарионическоео оазиллятора, си|оргия одномерного гармонического осциллятора равна 1 ) Е = —, р~-Ь вЂ” ахй 2|п где х — смешение, р — импульс.
Первый член суммы соответствует кинетической второй — потенциальной энергии осцнллятора. Масса осциллпрующей частицы обозначена через т, козффициенг упругости для воссганавливающей силы, действую|цей на частицу, равен м. Рассмотрим ансамбль таких осцилляторов, об энергии которых изнестно, что она лежит между Е и Е+бЕ. Укажите (рассматривая задачу классически) на двумерной диаграмме хр часть фазового пространства, доступную осциллятору. 6.2.
Идеальпыг) еаз в поле силь| плчжести. идеальный газ, находяшиг|ся в равновесии при абсолютной температлре Т, испытываю аействпе силы гяжссги. Ускорш ние силы тяжести равно к и направлено вниз (в направлении — з). Масса молекллы равна т. а) Найдите вероятность ул (г, р)йзг дзр того, что координаты и импульс молекулы лежат в пределах от г до г+дг и от р до р+др соответственно. (Воспользуйтесь каноническим распределением в его нлассической трактовке.) б) Найдите (с точностью до постоянного множителя) вероятность того, что скорость молекулы лежит между ч и ч+дч независимо от псаожения молекулы в пространстве. Сравните полученный результат с соответствующей вероятностью врн отсутствии гравитационного полн.
в) Найдите (с точностью до п|ктоянного множителя) вероятность Ял'(з) дз того, что молекула находится в интервале высот от з до а + дз независимо от ев скорости и положения в горизонтальной плоскости. 6.3. Микроскопическое ригкмотреиие идеильиого гази в лоле шлы тяжести. Рассмотрим идеальный газ предыдущей задачи с полностью макраскопической точки зрения. найдем выражение для числа л (г) молекул в единице обьема иа высоте г. Для этого необходимо написать условие механического равновесия слоя газа в интервале высот от г до г+дг и воспользоваться уравнением состояния (4.92).
Сравните полученный результат с выражением для уэ (г)дг, выведенным в предыдущей задаче с помощью статистической механики. 6.4. Пространственное распределение электронов в цилиндрическая электрическом поле. Вдоль оси цилиндра с радиусом )? н длиной Г. натянута проволока, Г. зди)с которой гр. Потенциал проволоки по отношению к цилиндру составляет ед. СГСЗч. Вся система находится при абсолютной температурс Т, которая достаточно велика. В результате электроны, испускаемые нагретым л~сталлом, образу[от разреженный газ, наполняющий цилиндр и находящийся с иим в равновесии.
Г!лотиасть эве~сгрониого газа настолько мала, что взаимодействием электронов друг с другом можно пренебречь. з) Воспользовавшись теоремой Гаусса, получите выражение для электростатического поля и тачке, находищейся ца расстоянии г от оси цилиндра (го<г < )?). Длину цилиндра Г. можно считзть достаточно большой, чтобы не учитывать краевые эффекты. б) В тепловом равновесии электроны образуют газ перел~синай плотности, заполняющий пространство между нитью и цилиндром. Воспользовавшись результатом а], ~ айдите зависимость числа электронов в единице объема от радиального расстояния в) Укажите приблизительный критерий того, насколько лежалой должна быть температура Т (а значит, и платность электраннога газа), чтобы пренебрежение электростатическим взаимодействием между электронами было оправданоо.
6.5. Определение моггы болыиих молекул с помощью ультрицентрифуеи. Рассмотрим макромолекулу (т. с. очень большую молекулу, молекулярный вес кото. рой равен нескольким миллионам), находящуюся в несжимаемой жидкости с плотностью р при абсолютной температуре Т. Объем о, занимаемый одной такой молекулой, можно считать известным, например, нз измерений объема, занимаемого раствором таких макромолекул. Такой разбавленный раствор помещают в ультрапентрифугу, вращающуюся с большой угловой скоростью ы.
В системе координат, врзщзюшеися вместе с центрифугой, любая находящаяся в покое частица с ьюссой т испытывает действие центробежной силы гиывг, где г — расстояние частицы ат оси вращения. а) с1ему равна результиру|ощая сила, действующая в этой системе координат иа ~истицу с массой т, если принять во внимание подъемную силу, обусловленную окружающей жидкостью? б) Допустим, что система достигла равновесия и, таким образом, среднее число л(г)дг макромолекул (в единице объема), расположенных в интервале расстояний от г до г+дг от оси вращения, не зависит от времени.
Использовав каиовическов распределение, найдите (с точностью до постоянного множителя) зависимость л(г)дг от г. в) Чтобы измерить зависимость л (г), можно воспользоваться поглощением света в растворе. Покажите, как использовать такие измерения для определения массы т маиромолскулы. 6.6. Проеглраиепыеииое роэделеиие магнитных атомов в неоднородном могпитиом лоле. Водный раствор при комнатной температуре содержит в малой концентрации атомы, каждый из которых обладает спинам Уз и магнитным моментам рю Раствор помещен во внешнее неоднородное магнитное поле, г.компонента которого является линейно возрастающей функцией г. Значение В, в нижней части раствора (где г=г,) больше, чем Вз в верхней части (где г=г,). а) Пусть л+(г)дг обозначает среднее число атомов, магнитный момент каторык направлен вверх по аси г и расположенных между г и г+дг.
Чему равно аэношение л+(гз)/л+(г,)? Будет ли ано больше. меньше илн равно единице? б) Пусть и (г)дг — полное' число магнитных атомов (обоих направлений ориентации спина), расположенных между г н г+дг. Чему равно отношение а (гы/п (г,)? Будет ли оно больше,' меньше или равно единице? в) Воспользуйтесь условием рвВ(~Т длн упрощения ответов на предыдущие вопросы. г) Оцените численно величину отношения п (ггуп (г,) при комнатной температуре, если рвж10-зв эрг?гс (т.е. порядка боровского магнетона), В,=О и В;— 5 1Ов гс. 6.7. Наиболег вероятная энергия молекулы газа. Чему равна наиболее вероятная кинегическан энергия г лкхчекулы. описываемой максвелловским распределе нием скоростей? Равна ли оиа Уг тйв, где и — наиболее вероятная скорость молекулы? 6.8.
Температуонал лависилюсть з4кдузии (ипв кения), Молекулы заключенного в сосуд газа через небольшое отверстие а стенке вылетают в вакуум, окружающий сос) д. Предположим, что абсолют- е лад НаЯ тЕМПЕРатУРа Гаэа В СОСУДЕ УДВангается, тогда как дазленис остается постояннымм, — — — в „й а) Во окольно раз изменится число молекул, вылетающих в секунду из отверстия в стенке сосуда? рас. алз.
зффузяв иа иучок ива ет яа б) Во сколько Раэ изменится сивкова. ла, действующая на экран, располо- женный перед отверстием? 6.9. Средняя кинетичшкая энергия истекающих молекул. Молекулы одноатомного газа вылетают из щели в стшше сосуда, находящегося при абсолютной температуре Т. Укажитс физические причины (не прибегая к вычислениям), по которым средняя кннетяческая энергия гв вылетевших молекул будет больше (или меньше, или равна?) средней кинетической энергии ег молекул, находящихся внутри сосуда. 6.10.
Понижение дивленич газа в сосуде с небольшой течью. Тонкостенный сосуд объемом У, температура когорого поддерживается постоянной, наполнен газом, медленно вытекающим иэ сосуда через небольшое отверстие площадью А. Наружное давление настолько мало, что обратным током газа в сосуд можно пренебречь. Оценнте, за какое время данленне в сосуде уменьшится до половины первоначального. Выразите ответ через А, У и среднюю снорость молекул и.
6.!1. Криогеннал (т. е. низкотемпературная) откачка. Газ можно уяалвть из сосуда, охлаждая одну из его стенок. Этот метод часто используется в различных физических экспериментах, когда необходим хороший накуум. Чтобы поясшюь принцип такого метода, рассмотрим сферический сосуд радиусом 1О см, который находится при комнатной температуре (ЗОО' К), за исключением площадки в 1 си', температура которой равна температуре жидкого азота (77' К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
