Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если фазовое простраиетзо разделить иа малые ячейки бх бр=-й„то заштрихозапиая область будет содержать большое число таких ячеек, предстазлающпх собой доступные состояния нашей сиеземы. Доп>егцщ что частвца заходится в равновесии. Тогда иа осиокзиии статистического постулата можно > тверждатгз что координата х и импульс частицы р принимают тл- ьие зиачения, что частица с равной я роятцогтью может быть обияружена в любой из ячеек заштрихозаи юй области. Это озкачает, что с рззпой вероятпоеть>о чаепща будет иметь гышульс, лежащий в йизерззг~е ор вблизи значения чр )У'ЬПЕ И В таКОМ жв Икто ЮаЛЕ лгЕ 21У 1 гГр вблиая — )' 2шЕ.
Это та~еже г'кг г з Клхгсхчецкое Эх» кце прцсхг и тко ч»цткцы. цккжуцгеацк в окнам юмерекки а озизчзег, что е равной> вероятяогт' ю хцоже ццкаоа Х Сосгцякке чйсткцы »»пакте. коордииата частицы Х прицичаег рк»уетея коорцкк;ооп х к импульсом р; ее любое зиачеиие в пределах от о то»к Ргкх»егккт»м»,цу ь' к абак сацпгххкх. цццгупхые чхцткц», сцо~хетсгвуют »»»аккы, кем.
Например, вероятность того, что хцдящкмця в хаштркхокккхых областкк. частица заходится в левой трети ящика, равна 113, так как число доступных состопипй, для которых 0<х<г!з Е. составляет одну треть полного числа доегупиых состояшш. Из замечаний, сделанных 'вьппе, становится ясно, чтб все общие соображения, основанные на статистических постулатах и на подсчете числа соатояиий, в равной степени применимы и при классическом описании. В частности, остается справедливым Н вывод канонического распределения, выполненный в п. 4.5. Если описываемая классическая система А находится в равновесии с тепловым резервуаром прп абсолютной температуре Т=(ар) ', то вероятность обнаружить эту систему в данном состоянии «с энергией Е, согласно (4.49) — (у) Здесь состояние «означает определенную ячейку фазового пространства, для которой координаты н импульсы системы имеют заданное значение (ды...д, ры...,р ).
Соответственно энергия системы А, когда координаты и импульсы частиц принимают указанные значения, равна Е,=-Е(д„де, ...,, дА ры,р„..., ру), (8). так как энергия системы А завнсит от координат и импульсов. Обычно каноническое распределение (7) удобно выражать через плотность вероятности. Это можно сделать тем же способом, что и в п. 2.6. Постараемся найти значение следующей вероятности: й (Чг ° ° ° Чуч Рт ° ° Ру) гГЧг. ° 4(ЧуггР гУРу= = ===.вероятность того, что у системы А, находящейся в контакте с тепловым резервуаром, первая координата лежит в интервале от 7, до Чг+б(Чг, ..., 7-я коордииата лежит в интеРвале от Чу до Чу+ггЧ; пеРвый импУльс лежит в интервале от Р, до Р, +4(Р„... и )-й4 импульс лежит в интерва,те от Р, до Ру+ЙРР В этой формуле интервалы г(Ч4 н ггрг малы в том смысле, что энергия Е системы А незначительно меняется, если Ч; и р изменяются в пределах этих интервалов.
Эти интервалы, однако, велики по сравнению с интервалами, разделяющими фазовое пространство, т. е. 4(Ч;>)6Ч4 и др~~бр,. Поэтому элемент объема (г(Чг...г(Чу ИР,...с(Ру) фазового пространства содержит много элементарных ячеек объема (бЧт...бЧубрт...бру) -Щ (рис. 6А). В каждой из этих ячеек энергия Рнс. 6.4. Промер двумерного фатовато пространства, раэделеоного на малые «неона ранного «объема» бобр=бе. Звштрнло.
ваннвн область соответствует элементу объема велннноод Лндр. содержащему много ннее». системы А, а следовательно, и вероятность (7) имеют приблизительно одинаковое значение. Поэтому, чтобы найти искомую вероятность (9), следует умножить вероятность (7) нахождения системы А в данной Ячейке фазового пРостРанства на полное число (дЧт..л(Р Щ таких л!В ячеек, т. е. ля~ ° нпт у(д, ..., р )ЙЧ,...НР сее-вв ° ЬЦ, илн (1О) где С вЂ” коэффициент пропорциональности (включающпй в себя посзоянпую й().
Значение этого коэффициента определяется пз условия нормировки, которое заключается в том, что сумма всех вероятностей (10) по всем доступным значениям координат и импульсов системы А равна едпшще: )з И . Рт)й) Ю Здесь интегрирование производится по всей области фазового пространства, доступного системе А. Отсюда непосредственно следует: С ' = ~ е "и и ° " РМ гй), ... г(Р . (11) В следукнцем параграфе мы применим развитые здесь общие соображения к имеющему большое значение простому сл) чаю одиночной молекулы в трехмерном пространстве. 6.2. Максвелловское распределение скоростей Рассмотрим идеальный газ, помещенный в сосуд объемом )г и находящийся в равновесии при абсолютной температуре Т.
Этот газ может состоять нз молекул различных тшгов. Допустим, что условия, в которых находится газ, таковы, что классическое рассмотрение возможно. В конце нашего рассмотрения мы выясщни в чем онп заключаются, а пока будем рассуждать в терминах классической механики и сосредоточим внимание на одной пз газовых молекул. Такую молекулу можно считать малой системой, находящейся в термическом контакте с тепловым резервуаром, который образован остальньиш молекулами газа и находится при температуре Т.
К такому случаю монино сразу же применить каноническое распределение. Допустим для начала, что мы имеем дело с одноатомной молекулой. Еслн пренебречь всеми внешними сплазш (например, силой тяжести), то вся энергия этой молекулы является кинетической энергией: с ~ Р" е= — шч'== — —. 2 2 т ' (12) Здесь ч — скорость, т — масса и р=глч — импульс молекулы. Мы считаем, что газ достаточно разрежен, чтобы его можно было считать идеальным; тогда потенциальной энергией взаимодействия с другими молекулами можно пренебречь.
В этих условиях энергия г(>г =-::: Йх г(р»(г 6(>р ' — =- »(р„»(рг»>р» для элемента объема реального пространства н для элемента объема пространстна импульсов соответственно. Используя каноническое распределение(!О), мы немедленно получим интересующую нас вероятностьтого, что положение молекулы находится в пределах между г н г+пг, а ее импульс находится в пределах между р и р+йр: 5>(г, р) б»гд»р х е-в м""ч г(»гг(»р, (14) где ()=-(йТ) '. Мы воспользовались здесь выражением (12) для энергии молекулы, имея в виду, что р'=р'. Полученный результат можно выразить и через скорость молекулы > =р/гп. В этом случае мы получим вероятность того, что положение молекулы заключено в пределах от г до г+дг, а ее скорость — в пределах от ч до ч+сЬ. Имеем ! — — вт>' бн(г, е) УгРч ссе ' 6»гг(»ч, (15) где грч=г(о„й„дв» и п>»-к>, Выражение (15) представляет собой весьма общий результат, ч котором заключена подробная информация о положении и скорост» любой молекулы газа.
Из формулы (15) следует большое количество более частных результатов. Например, с помощью (!5) можно узнать, какое количество молекул имеют скорость, лежащую в данном интервале, или, если газ состоит из молекул различного типа (например, из молекул аргона и гелия); какое количество молекул данного типа имеют скорость, лежащую в данном интервале. Рассматривая только молекулы определенного типа, мы можем 220 молекулы не зависит от положения молекулы в сосуде, описываемого вектором г. Классическое описание молекулы означает описание с помощью трех координат, х, у н г, определяющих положение молекулы в пространстве, и трех соответствующих составляющих импульса р„, р, р,. Нас будет интересовать вероятность того, что положение молекулы заключено в интервале от г до г -'; дг(это означает, что координата х лежит в интервале от х до х+ пх, координата у — в интервале от д до д+ Ыр и координата г — в интервале от г до г+ Иг) и что одновременно ее импульс лежит в интервале от р до р — '.- г(р (т, е.
что составляющая импульса р„лежит в интервале от р» до р»+ г(р», составляющая р, — в интервале от р, дор +»(р и составляющая р,— в интервале от р, до р»+(р»). Эта область изменения координат и импульсов соответствует «объему> фазового пространства, равному (дх г(у >(г»(р» др> др»)>=-УгРр. Здесь мы используем обычные сокращения: Вычислить ) (у) г(зу == среднее число молекул (данного типа) в единице объе,иа, скорость которых за- (16) ключена между тг и и'+(7к.
Так как У молекул нашего идеального газа движутся независимо, без заметного взаимодействия, то газ представляет собой статистический ансамбль, часть которого, определяемая вероятностью (15), имеет положение, заключенное в интервале от г до г+г(г, и скорости, лежащие в интервале от чг до (г-(-г(ч. Среднее число ((и)гтзн мы получим, умножив вероятность (15) на полное число У молекул данного типа и разделив ее на элемент объема дх г(у г(г. Имеем Л"9м (г, ч) Лзг г(зч 7(н) г(."и = — — '' !зг или (17) где С вЂ” коэффициент пропорциональности и (з=.м((гТ) '.
Этот результат известен как жаксвелловское распределение скоростсг). Впервые его получил Максвелл в 1859 г. (на основании соображений менее общего характера). Заметим, что вероятность дм (формула (15)1 илп среднее число 7 1(форл(ула (17)) не зависитотположения г молекулы. Этот результаг подтверждается и сообрагкенняаги симметрии, так как в отсутстние ' внешних полей молекула не может иметь преиму(цественного,па.аожения в пространстве.
Залгетим также, что ""-' (или 1) зависит только Ом ь мтер лъ, Р ("((г) =-.) (н), (18) где н=(чг(. Это также следствие симметрии, так как в условиях, когда сосуд как целое покоится (при этом неподвижен и центр масс всего газа), преимущественное направление скорости отсутствует. О п р е д ел е н и е п о с то я н н о й С. Постоянная С может быть получена нз условия, что сумма (17) по всем возможным значениям скорости долзкна дюь полное среднее число и молекул (данного типа) в единнне объема. Таьнч образом.
! — — ргич' С ') е з и'ач=и, С ) ) ) е г(о„г(о озг= —..п. Разлагая зкспоненту на множители, имеем Б- — амг„— дижт — — дти* 6.3. Свойства максвелловского распределения Максвелловское распределение позволит нам немедленно получить некоторые связанныес нцм распределения, например, распределение скоростей газовых молекул. Мы увидим позже, что некоторые иэ этих результатов могут быть непосредственно проверены на опыте. Рассмотрим некоторые следствия максвелловского распределения и выясним, при каких условиях это распределение будет справедливо. Распределение «омпоненты с«орос)па.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
