Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 52
Текст из файла (страница 52)
а) Получите выражение для ядерного вклада в среднюю внутрению~а энергию маля твердого тела. Как этот вклад зависит от абсолютной температуры? б) Нарисуйте примерную кривую зависимости от температуры ядерной части малярной удельной теплоемкости твердого тела. Произведите точное вычислениа этой зависимости и найдите предельное значение для больших Т.
Обсуждаемый нами эффект весьма невелик. Он может, однако, оказаться важным при изчерсниях теплоемкости некоторых вещестн при очень низких температурах (например, для металлического индия, так как ядра !пм* заметно отклонюотся от сферической симметрии). 5.14. Тепловое взаииодействие лгвжду двумя системами. Рассмотрим систему А (например, кусок лебеди) и снсгелО' В (например, сосуд с водой), которые вначале находились в равновесии при телшературах Тл и Тв соответг«асино. В интересуюшей нас области температур объем системы остается неизменным н соответствующие теплоемкости Сл и Св ие зависят от температуры.
Зателл между системами устанавливается тепловой нонтакт и оии достигают кгнечного равновесного состояния при некоторой абсолютной температуре Т. в) Воспользуптссь условием сохранения энергии для определения конечной температуры 7. Выразите ваш ответ через Тл, Тн, Сл и Св. б) Воспользуйтесь равенством (31), чтобы вычислить изменения энтропии Л5л системы А и Л5н системы В. Используите полученный результат для нычисления полного изменения энтропии Л5=Л5,л+Л5н составной системы при переходе из начального состояния (системы в отдечьцости находятся в равновесии) в конечное (обе системы иаходятсп в равновесии друг с другам).
в) Докажите, что Л5 не может быть отрицательным и что Л5=0, только сели ТА= Тв. [У к а з а н и е. Вы можете воспользоваться неравенством 1п «=х — 1, доказанныл~ в (М.!5) илн, что эквивалентно, неравенствол~ !п (х — л)~ — х+1.! 5.15. Изменения энтропии нри раз«и ииэх способах передачи телла.
Удельная теплоемкость воды равна 4лй дж г-'врад-'. а) Килограмм воды при 0'С приведен в контакт с большим тепловым резервуаром с температурой 100'С. Как изменится энтропия воды после достижения температуры резернуара? Как изченшсн энтропия теплового резервуара? Энтро. пня полйой системы, состоящей нз воды и резервуара? б) Чему раино изаеиение энтропии составной системы, если вода вагревнегся от 0 до 1ООъС след]тощим образом: сначала вода приводится в контакт с резервуаром прп температуре 50'С, н затем — с резервуаром, находящимся прн температуре !00' С? в) Покажите, что вода может быть нагрета оч 0 дп !00' С без изменения энтропии полной системы. 5.16. Изэннение энн ронин нри нлнэленнн.
Лед п иода находятся и равновесии прн температуре 0'С (273' К). Чтобы расплавить ! мшш льда при этой температуре, нсооходнчо количество тепла в 0000 дж. а) Вычвслпте разность энтропии 1 л~оля волы и ! моля льда прн температуре О'С. б) Найдите отношение числа состояний, доступных воде, к числу состоиний, доступных льду, прн этой температуре. 5.17.
Проннгггчгскня работа ло налойшлетргги. Рассмотрнч колорнметр (прибор для измерения тепла], главной частью которого является л~едный сосуд весом 750 г. Этот сосуд содержит 200 г иоды, и весь калориметр находится в равновесии прп 20'С. Пги~естгьч н калорнметр 30 г льда при 0'С и закшочим весь калорнметр в тсплоызолир]тощую оболочку. Удельная теплоемкость воды равна 4,!8 дж г-'-елад-', а удельная теплосмкость льда 0,418 дж.г-г эрад-х. Скрытая теплота плавления льда (т. е. колгшсство тепла, необходимое для превращение грамма льда в воду при 0' С) равна 333 дж н-'. а) Какой станет темг1ература воды после то~чэ как лед растает и установится равновесие? б) Вычислите полное изменение энтропии н этом процессе.
в) Какую работу надо совершить иад системой после плавления льда (напри. мер, с помощью перемещающегося стержня], чтобы снова довести температуру воды до 20' С? 5.18. Сногюдное рисшнрение гнзн. На рис. 5. !9 схематически показана эхсперилн нта.п ная установка, примененная Дмгоулем для изучения зависимости внутрен. ней энергии Е газа от занимаемого нч объ. гн1а. т!нетью установки является система А, сосчоящая из закрытого сосуда, разде2Ьууе ленного на дна объема, в одном из которых Лу lГртк М?о'?ту находится газ. Опыт закшочастся н том, что кран, соединяющий оба объема, открывается, и газ занимает весь обьем сосуда, постепенно п рнкодя и состояние равновесия.
Допустим, что температура воды в результате пронесся пе измегшлась. а) Чему равна сонершенная над системой А рабош' (Стенкп сосуда жесткие и объем сосуда, следова сельпо, не меняется.) б) Чему равно количество тепла, порно, а.!3. Прибор ллн ннтченнЯ оно- сношенного системой .4? боаного рнсшнроннн ганн в) Чему равно изл~енепие внутренней энергии системы А? г) Имея в виду, что темпера~ура газа не нзченилась, какой нывод вы можете сделат~ из этого опыта о зависимости внутреннсн энергии газа от обьема при фиксированной температуре? 5.19. Понятие энтропии н применении н тенлоеэжости снгдхнронодящсл! лгетилла. Теплоемкость обычных металлпв при очень низкой абсал|отной температуре выражается формулон Сн=-?Т, где у — постоянная, характеризующая металл.
Если ниже критической температуры Т, мегалл является сверхпроводником, то в интервале телшератур О~Т =Тн сверхпроводящего состояния теплоемкость ОНИСЫяаЕГСЯ ПРНбпнжЕННОй фОРМУЛай Сл=иТЗ. ГДЕ и — НЕКОтОРан ПОСтОЯННая. 210 Переход металла нз обычного в сверхпронодящее состояние при критической температуре Тв не сопровождается погтощением или отдачей тепла, Отсюда следует, что при этой температуре 5„==5„где 5п и5 — энтропии металла в обычноы и сверхпроводящем состояниях соответственно. а) Что можно сказать об энтропиях 5п н 5, в пределе Т вЂ” сй) б) Воспользуйтесь отаеюм на вопрос а) и связью между теплосмкостью и энтропией, чтобы найти соотношение макну С, и Сп прн критической теьгпературе Т,. 5.20. Тгпгогжкоспм внсошблл гврссоничсвксск огс(ссхояторов. Рэссьсотрисс айсамбль пз йс слабо азеимодействующнх лростых гармонических осцилляторов при абсолютной температуре 72 (Лнсамбль таких осцилллторов лвллется приближен.
иой моделью атомов твердого тела.) Пусть ш — классическая круговая частота каждого осцнллятора. л) Воспользованшлсь значением средней энергии, вычисленным в задаче 4.22, найдите теплоемкость С (при фиксированных внешних параметрах) ансачоля таких осцилляторов. б) 1-!арнсунте график зависимости теплоемкости С от абсолютной температуры Т. н) Чему равна теплоемкость прн высоких температурах, удонлегворясощнх неравенству йТ."Р)ггв) 5.21. Удг.сьйпя тгпгоглкогть двухассголснолс гата. Рассмо~рим идеальный дв) хатомный газ (напрвмер, Хэ) прп абсолютной температуре Т, близкой к комнатной. Эта температура доствто ьпо низка, чтобы молекула почти всегда находилась в низшем колебательном состоянии, но достаточно высона для возбунсдг~сня большого числа вращательных состояний, л) Воспользовавшись результатом задачи 4.23, вьпишите выражение для средней энергии двухатомной молекулы газа.
Эта энергия состоит пз кинетической энермш дппженил центра масс н энергии вращения молекулы вокр)т центра масс. б) Воспопьзовавншсь ответоч иа задание а), найдите полярную теплоенкость сг, прц постоянном объеме хпя идеального двухатомного газа. Чему рвано численное значение сгр 5.22. дьсуксссуапия энергии в сссгтгссг, находящейся в контпктг с спгплассссгс резервуаров. Рассмотрим пронзвольн)то систему, находящуюся н нонтакге с тепло.
вым резервуаром при абсолютной температуре Т=(йй)-Ч В задаче 4.18 бсыло показано, исходя из канолического распределения, что Е= — (д 1п 2(дй), где 2 ~я~~ г-йк, (1) является сутшой по ноем состояниям системы. а) Выразите Ез через 2, точнее, через )п Е б) дисперсия энсргии (йЕ)'=(Š— Е)' равна Ес — Еэ (см. задачу 2.8). Используя это равенство и ответ на пункт а), покажите, что — дл )п 7. дЕ (йЕ)а =- , й с д() в) Покажите, что стандартное отклонение ВЕ энергии можно весьма общим образом выразить через теплоетскость С системы (при фиксирояанных внешних параметрах): ЬЕ =-Т (йС)'с '.
(1П) г) Пусть рассматрнваеьсая система является пдеальнылс одноатомным газом, состоящим из Лl атомов. Воспользуйтесь (П1), чтобы выразить йЕ/Е через сУ. гллвл в КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В КЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ Каношщеское распределение (4.49) имеет фундаментальное значение и огромную область практического применения. Как было показано в главе 4, его можно использовать для непосредственного вычисления равновесных свойств большого числа различных систем.
В качестве примера, с помощью этого распределения, мы вычислили магнитные свойства системы, состошцей из спинов, а также давление и теплоемкость идеального газа. Задачи к главе 4 также содержат несколько интересных применений канонического распределения. Обсуждение широкой области применений канонического распределения могло бы заполнить не одну книгу. В этой главе мы ограничимся тем, что покажем, как непосредственно из канонического распределения, в приближении классической механики, можно получить простые, но имеющие огромное значение результаты.
6.1. Классическое приближение Мы знаем, что в определенных условиях квантовомеханическое описание системы частик можно заменить приближенным описанием в терминах классической механики. В этом разделе мы постараемся получить ответ на два следующих вопроса: 1) при каких условиях статистическая теория, покоящаяся на классических представлениях, может быть хорошим приближением> 2) Если такое приближение допустимо, то как можно сформулировать статистическую теорию в классическом приближении? Пригодность классического приближения.
Классическое приближение совершенно непригодно при достаточно низких температурах. Действительно, допустим, что характеристическая тепловая энергия нТ меньше, чем среднее значение ЬЕ между уровнями энергии системы (или сравнима с ним). В этом случае квантование возможных значений энергии системы весьма существенно определяет ее поведение. Например, из канонического распределения (4.49) следует, что вероятность нахождения системы в двух состоЯниях с энергией Е и Е+АЕ (где ЬŠ— квант энергии) в случае ЬЕ .АТ весьма различна. С другой стороны, если АТАКЕ, то вероятности очень мало.
меняются при переходе от данного к ближайшему состоянию. В этом случае дискретность состояний перестает быть существенной и классическое приближение становится оправданным. Из этих замечаний вытекает следующее утверждение: ( Это описание справедливо, однако, в тех случаях, когда квантовомсханнческиеэффекты имеют пренебрежимо малое значение. Принцип неопределенности Гейзенберга указывает нам квантовомеханический предел применимости классических концепций. Из принципа неопределенности следует, что одновременное определение координаты д и соответствующего ей импульса р ие может быть сколь угодно точным и что прп измерениях этих величин существуют минимальные погрешности Лд и Ьр, связанные между собой соотношением бдйр~Ь, (2) где й==(1/2л представляет собой постоянную Планка, деленную па 2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
