Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Рассмотрим теперь, при каких условиях будет допустимо классическое описание системы, находящейся при определенной температуре. Чтобы такое описание имело смысл, оно должно позволить локализовать любую принадлежащую системе частицу с неко|орой точностью, которую мы обозначим через з,.
Обозначим через р, импульс этой частицы. Если а. и р„настолько велики, что з„р„)) Ь, то ограничения, накладываемые принципом неопределенности, становятся несущественными и классическое приближение будет справедливым. Мы приходим поэтому к следующему выводу: (За) (Зб) Мы ввели здесь длину к„: Ь ~ а "О— л„ил представляющую собой дебройлевскую д,пшу волны, деленную на 2п. Неравенство (Зб) равносильно утверждению, что квантовомеханическнми эффектами можно пренебречь, если минимальные классические расстояния велики по сравнению с дебройлевской длиной волны для частицы. В этом случае волновые свойства частицы перестают быть существенными.
Классическое описание. Допустим, что классическое описание системы частиц возможно. В этом случае возникает тот же основной вопрос, который является исходным пунктом квантовотеоретичес- гц3 кого подхода, выполненного в начале главы 3. Он занлючается в следукнпем: как указать микросостояние системы, описываемой с помон(ью классической механики? Начнем с очень простого случая системы, образованной единственной частицей, движущейся в одном измерении. Положение такой частппы задается единственной координатой, которую мы обозначим через г!. Полное описание нашей системы с точки зрения классической механики закл1очается в указании координаты г) и импульса рв) частицы.
(В классической механике возможно точное измерение координаты и импульса в любой Рнс. 6.1 Класспчсснос фазонг» прострвнстно лля часгнпы, полознспнс позоров заявятся оы|он 11омент Времени. Законы ме. ханпки дают также возможность однозначно предсказать значения 1( и р в любой последуюший ьюмент времени. В этом п заключается полное описание поведения системы, которое дает Р '! Если мы нспользуем обычную декартову координату н если магннтное поле отсутствует импульс р следующнм образом связан со скоростью н массой частнпы: р=пю. В обгнем случае более удобно попользовать для описания частипы ее нмпульс, а гы скорость. классическая механика.) Рассматриваемая стггуация допускает геометрическое истолкование. Для э~ого следует воспользоваться декартовьпш координатами р и г) (рпс.
6.!). Задание величин р и д эквивалентно заданию точки в двумерном пространстве (пространство координат д и р называется фазовын прослтрангтчволе). Переменные с) и р принимают непрерывные значения, н нам следует найти способ сделать возможные состояния системы счетными. Лля этого мы можем использовать метод, примененный в п. 2.6: разобьем область изменения Рнс. б.я. двумерное Вазонов пространство прсЛылупыго рисунка разделено на ячвяня равного « в » ьаьг =а„. переменных д и р на произвольно малые дискретные интервалы.
Например, ось г) мы разобьем на интервалы 6г), а ось р — на интервалы бр. Таким образом, все фазовое пространство окажется разбитым на элементарные ячейки, «обьем» (т. е. площадь) которых равен бббр=й«, где г>э — небольшая постоянная величина (она имеет размерность момента количества движения). Теперь для полного описания состояния частицы достаточно указать, что ее координата лежит в некоторой ячейке ые>кду гг и г)трбгг, а ее импульс — в интервале от р до р+бр, т. е. пара чисел (г(, р) лежит в некотором определенном интервале. Геох|етрически это означает, что точка, соответствующая коорд1шатам (и, р), лежит в определенной ячейке фазового пространства. 3 а меч а пи е о вел и ч и и е и .
Описание состояиия системы будет тем более точиыть чем мсиьшс размеры ячеек, йа которые разбита фазовое простраиство, т. е. чем меньше величина !гч. При классическом описаиии эта величина мажет быть пропзвольио малой. [(ваитовомехаиггческое описвиие устаиавливает, однако, опреде. леииыи предел для точности одновременного измереиия коордииаты и импульса частицы: предельиые точности измсрсиия этих величии. Ло и Лр,связаны принципом иеопределеииости Гейзсиберга. Ло Лр>й» Поэтому разделение фазового пространства иа ячейки, объем кошрых мспьше йьй физически бесс»па«левис, ДсйствитеЛЫ1О, вЫбор Ла <Ф означая бы, что состояние системы может быть задаио более точно, чем это возможно в квантовой теории.
Приведенные выше рассуждения легко обобщить на произвольно сложную систему. Такая система может быть описана с помощью набора координат д„...,г)у и соответствующих импульсов р„...,р, т. е. с помощью 2( чисел. (Как обычно, число независимых ксюрдйнат (, необходимых для описания системы, называется числши ее сглеиснесг свободы.) Чтобы сделать возможные состояния системы счетными, несмотря на непрерывный характер переменных пл и р„мы опять разделим возможную область значений каждой координаты дг на интервалы бд, и каждого импульса р, — на интервалы бро Для каждого г величина интервалов может быть сделана такой, что бд, бр, =-lг«, (5) где гга — фиксированная, произвольно малая величина, не зависящая от т'.
Теперь, чтобы задать состояние системы, достаточно указать, что переменные (г) г(а ° ° г)у' р р ° ° ру) лежат в определенных интервалах. В обычной геометрической интерпретации этим переменным опять соответствует' «точка» в 2)- мерном фазоеолт пространстве, каждая ось которого отвечает определенной координате г)г или импульсу р,*). Разделяя координаты на ') Это йрмериое фазовое пространство совершенно аиалопгчио рассмотреииому в и.
6.х двумерному пространству, хотя, привыкнув к простраиству трех измереипй, иам трудно зто представить. интервалы, мы тем самым делим все фазовое пространство на равные и малые ячейки, объем которых равен (бдт бда банг бр, бр, ...Ьр )=Ь/.Теперьсостояниесистемы будет задано, если мы укажем, в каком из возможным наборов интервалов (т. е.
в какой ячейке фазового пространства) лежат коордвнаты ан д„..., о и импульсы р„ рю...,рг системы. Для удобства каждый такой набор интервалов (или каждую ячейку фазового пространства) можно обозначить некоторым индексом г, так что все доступные системы ячейки могут быть пронумерованы и подсчитаны с помощью этого индекса г-: — -1, 2, 3,... Мы можем следующим образом подвести итог нашим рассуждениях>. В классической механике состояние системьг можно задать, указав номер г ячейки в фазовом пространстве, в которой находятся координаты и импульсы системы.
(6) Таким образом, указание состояния систем>я в классической механике происходит так же, как в квантовой механике: ячейка фазового пространства прп классическом описании аналогична квантовому состоянию при квантовомеханическом описании. Однако следует обратить вшипание на важное различие. В классическом случае имеет место элемент произвола, а именно, размер ячеек в фазовом пространстве (т. е. величина постоянной йч) может быть выбран по желанию; при квантовом же рассмотрении квантовое состояние определяется однозначно (это связано с тем, что квантовая теория имеет делос постоянной й, имеющей определенное значение). Классическая статг>стгогеская механика.
После введения ячеек в фазовом пространстве статистическое описание системы в терминах классической механики становится аналогичныл> квантовомеханическому описанию. Различие заключается в интерпретации; в каантовой теории микросостояние означает некоторое квантовое состояние системы, тогда как при классическом рассмотрении под микросостоянием понимают определенную ячейку в фазовом пространстве.
Основные постулаты классической теории для статистического ансамбля систем совпадают с соответствующими постулатами (3.17) и (3.18) квантовой теории. В частности, утверждение (3.19) в классическом случае принимает следующий вид; Находящаяся в равновесии изолированная система с равной вероятностью может быть обнаружена в любом из своих доступных состояний, т. е. в любой из доступных ячеек фазового пространства. П р и м е р. В качестве простого примера илассичесного рассмотрения ста-. тистической задачи обратимся к частице, находящейся в ящике длиной Е, движение которой ограничено одним измерением. Если обозначить координату частицы через л, то ее движение ограничено условием 0<х(Ь.
Пусть иа частицу не действуют никакие силы и воя ее зиергия всчерпываетея кииетичеекой энергией: 1, 1р' Е= — тиа= — —, 2 2т' где о — скоросггч т — масса и р=гпп — илшульс частицы. Предположнм, что чаппща изолирована; тогда оиз обладает постоянной эиергией, лежащей в узком иитерззле между Е и Е+ЙЕ, а ее импульс должеи лежать в малом интервале импУльсон г1Р вблизи значений Р = с )У дтЕ. Достчпиза дла частицы часть фазового пространства показана загптриховаииой областью иа рис. 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
