Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В этом случае результирующее изменение энтропии системы согласно (28) равно и~ с,(т) нт (29) Т Т В этой формуле мы использовали определение теплоемкости С„, следующее из (23). Теперь допустим, что мы хотим сравнить энтропию системы для двух различных макросостояннй а и Ь с одинаковыми значениями внешних параметров. Пусть абсолютные температуры для обоих макроскопических состояний будут Т, н Т, соответственно. В пер- вом макросостоянии система имеет определенное значение энтропии С„===Я(Т,) и во втором состоянии Яа:— :-=Я(Т). Разность энтропий 5ь — 5, можно вычислить, если предположйть, что система пересодптся из начального состояния с температурой Т, в конечное состояние с температурой Т, последовательными бесконечно малыми шагами.
Это можно осуществить, приведя систему в контакт с рядом тепловых резервуаров, телгпература которых последовательно возрастает на бесконечно малую величину. На всех ступенях процесса система будет бесконечно близка к состоянию равновесия и ее состояние всегда можно будет характеризовать определенным аначением температуры Т. Таким образом, используя результат (29), мы получаем (30) Если в интервале температур от Та до Т, теплоемкость Са не зависит от температуры, из (30) следует: Ьь — ߄— -С,()п Т,— !и Т„).=С„!и =а.
(31) Формула (30) позволяет вычислить разность энтропий. Чтобы получить абсолютную величину энтропии, нам нужно рассмотреть предельный случай Т,— «О. Рйы знаем (см. формулу (11)1, что в этом случае энтропия 5,=-0 (или значению 5.=-5„определяеьгому ориентапией спинов согласно (12)!. Формула (30) позволяет получить интересное предельное свойство теплоемкости. Заметны, что разность энтропий в левой части (30) всегда является определенным конечным числом, так как чиг ю доступных состояний всегда конечно. Поэтому интеграл в правой части не может быть бесконечно большим, несмотря на то, что знаменатель подынтегрального выражения равен нулю.
Чтобы обеспечить такое поведение интеграла, температурная зависимость удельной теплоемкости должна обладать следующим свойством: (32) Это — обшее свойство теплоемкости любого вещества*). Выражение (30) имеет большое значение, так как оно описывает внутреннюю связь, сугцествующую между двумя различными типами информации о рассматриваемой системе. С одной стороны, в *) Выражение (26) для теплоемкостн ндеального газа этому не прогяноречпт, так как оно получено для.
неныроягденного газа. Прн достаточно ннзкнх телюературах это предположение перестает быть спрааедлнзым. Для разреженного газа соответстаующне температуры чрезвычайна малы. (30) входит теплоемкость С„(Т), которая получается из чисто макроскопических измерений тепла и температуры. С другой стороны, выражение (30) содержит энтропию Я==)г )п (г, которая следует из рассмотрения квантовых микросостояний системы.
Таким образом, энтропия может быть вычислена из макроскопических измерений либо на основании спектроскопических данных, даюших возможность определить энергетические уровни системы. П р н м е р. В качестве простой иллюстрации рассмотрим систему пз йг магнитных атомов, каждый из которых имеет спин )'.
Предположим, что при достаточно низкой температуре эта система станоннтся ферромагнитной. Это означает такое взаимодействие между спинами, благодаря которому они устанавливаются параллельно друг другу, ориентируясь в одном направлении. Такое вещество обладает свойствами постоянного магнита. При Т-ло системе доступно, таким образом, единственное состояние, отвечающее одинаковой направленности всех спппов; поэтому (2-л ! и )п 0-ло. Однако при достаточно высокой температуре мы будем наблюдать полностью случайную ориентацию спинов, Так как у каждого спина, равного И, возможны две ориентации, то вся система буде г власть 0=-220 доступных состояний, поэтому 5=йМ )п 2.
Отсюда следует, что со спинами нашей системы связана теплоемкость С (Т), которая, согласно (30), определяется, уравнением С(Т) г(Т й-йм )п 2. Это уравнение будет справедливо всегда, независимо от частных особенностей вэаи. модействия, обеспечивающего ферромагнитное поведение рассматриваемой сисгемы, и от характера тслшературиой зависимости С (Т). 5.6. Интенсивные и экстенсивные параметры Прежде чем закончить эту главу, полезно кратко рассмотреть зависимость различных макроскопических параметров от размеров системы.
Эти параметры можно разделить на две группы: 1) параметры, не зависяшис ! от размеров системы (они называются интенсивнылги), и 2) параметры, пропорш!опальные размерам системы (экстенсивные параметры). Чтобы определить эти параметры более точно, вообразим, что мы разделили ! находяшуюся в равновесии однородную маРкс, ь щ Р*эхккккк акко. кроскопическую систему на две части (нааолно~1 кккпоскккк егкоа ск- прил!ар с помопп»ю перегородки). Предпосгеки кв аке чкстк ложпм, что макроскопический параметр у, характеризуюший всю систему„принимает для подсистем 1 н 2 значения у, и ук Тогда 1) параметр называется интенсивным, если У=Уз =Уз 2) параметр называется экстенсивным, если У=Уз+Уз Например, среднее давление в системе является интенсивным параметром, так как обе части разделенной системы имеют то же давление, что и до разделения.
Аналогично, интенсивным параметром является и температура системы. С другой стороны, объем )7 системы, так же как. и ее масса М, являются экстенсивными параметрами. Однако плотность вещества в системс р=-М/)7 представляет собой интенсивный параметр. Очевидно, что отношение двух экстенсивных параметров является интенсивным параметром. Внутренняя энергия Е системы является экстенсивным параметром. Действительно, чтобы разделить систему на две части, ненужно совершать работу, если пренебречь работой, затрачиваемой на образование двух новых поверхностей 1для большой системы этой работой можно пренебречь, если число частиц вблизи поверхности раздела очень малб по сравненшо с полным числом частиц в системс).
Поэтому раздел системы на две подсистемы не меняет се полной энергии, т. е. Е= Е, + Ев. Теплоемкость С, представляющая собой отношение возрастания энергии к возрастанию температуры, также буде~ экстенсивным параметром. С другой стороны, молярная теплоемкость, равная по определению С(ч (где и — число молей в системе), является интенсивным параметром. Энтропия представляет собой другой пример экстенсивной величины. Это следует из ес определения: Л5=. ~ гЦ,'Т„так как поглогценное тепло су(,г=С«)Т вЂ” величина экстенсивная.
Тот же вывод следует и из статистического определения энтропии о'=.й)п О, так как число Ы доступных состояний полной снстелгы равно произведению О,Ол, числа доступных состояний двух ее частей. Имея дело с экстенсивным параметром, часто бывает удобно ввести понятие о величине параметра, приходящегося на один моль. Этот параметр будет интенсивным, независимо от величины системы. В этом, например, удобство понятия об удельной теплоемкосзгг.
Сводка определений Тройная точка. Макрасосгояние вещества, при когорои его гаюобразная, жидкая нди твердая фориа находится в равновесии. Кальвина телтеротура. Абсолютная температура Т, выраженная в такой шкале, где температура тройной гочки воды имеет значение 273,16 градуса. Лбсолютный нуль. Дбсоаюгная температура, равная нулю. Це«гасил температура.
Температура по шкале Цельс«гя, следующий образом связанная с абсолютной температурой по шкале Кечьвина: б< = Т вЂ” 273,15. Каоаистагпичеслпй прочего, Процесс, протекающий настолько медленно, что систему в каждый л«ол~ент времени можно считать находящейся в равновесном состоянии. Теплаемкость. Пусть система поглощает бесконечно малое количество тепла «ГО и ее температура возрасгаег при этом на «7Т. Если некоторые макроскопические' дбб параметры системы остаются постоянными, то тсплоеикостью Св (при постоянных параметрах у) называется отношение Малярная пгеплое»!<оста, Удельная »еплосмкость одного маля ланпого вецгества.
Ннтенсивнмй пара»!е<ггр. Макроскопический пзраиетр находящейся н равнонесии системы, значение которого для любой часп! системы одинаково. Энстенсавнагй паране~ну. Макроскопнческий парачетр пнхоляшшзся в равновесии системы, значение которого для всей системы равно сумме его значеш!н для отдельных частей системы. Основные формулы Предельное значение энтропии: при Т вЂ” «0«5 Вм (1) где В< — постоянная, не зависящая от строения систечы. Предельное свойсгво тснлоемкасти: при Т О С вЂ” «О.
(П) Задачи 5.1. Те»игера<пури, нсобходоате для поляризации спиноп. Рассчотрнч тслсиные данные, характерные для поляризационпых опытоа, описанных в задачах 4.4 и 4.5. Допустим, что мы хотпч полярнзовать образец, состоящий из части! со спнном П2, с помощью поля 50 000 гопаком образом, пабы число сгп!«гов, направленных <вверх», по крайней л~сре в трп раза превосходило число спиноз противоположного направления.
а) До какой абсолютной течпературы следует о:<ладить образец, если спины электронные и ни соотве»ствует магнитный момент Р<ж 10-« эрг?гс? б) До какой температуры должен быть охлажден образец, если частицы являются протонанп, чатштнып момент которых Р„1,4 10-«эргггс? в) Что вы можете сказать об осуществимости этих лвух опытов? 5.2. Температура, необхсд?и.чая дт утпранения энтропии, связанной со спинами ядер. Рассмотрим какое-ннб) дь тверлос тело, ядра которого имеют спин,— паприиер, серебро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
