Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Допустим, что нас интересует составляющая скорости молекулы вдоль одной из осей, например, оси х. В этом случае мы будем иметь дело со следующей величиной, относящейся к молекулам данного типа: д(ол) гЬл = — среднее число молекул в единице объема, х-компонента * скорости которых лежит между о, и о„+г(о„(независимо от того, какие значения имеют другие компоненты). «(тобы получить эту величину, мы должны определить число всех молекул, компоненты скорости о которых лежат в указанном интервале.
Поэтому . а'(о„) а)о„== ) ~ ) (и) г(аи, )оа) )оа) где суммирование (ннтегрированне) производится по всем возможным значениям компонент о„и о, скорости молекул. Используя'(17), мы получаем: рис, а.а. Макс1 еллоаское расиреде- ЛЕНИЕ, Дапя Е СРЕДНЕЕ тИСЛО а)окна. молекул и едииице салема, к-комоокеита скорости котормт леаоп илиаду о„и ол-)-Ло . п(о„)с(о„=-С ~ ~ е * ' " ' сЬ„ )оа) Ма) л — нтс =Се ' *сЬ„ +и ем ( ли+ "и) с(О (О или (24) так как интегрирование по о и о, приводит к появлению нового коэффициента, который может быть включен в коэффициент пропорциональности С™). Величина С' а)ожет быть определена нз условия, *) Зал)стиле. ито (24) яадиется .простым гауссоасит)л~ распределением (см. приложение П.)). 5 22З что полное среднее число молекул в единице объема равно дс м 1 е '1 а(о )дол= С' ) е "- *до =-п.
Отсюда следует: С'=-п ( — ) у~т ~'и 1,2л ) (25) Из формулы (24) видно, что компонента скорости и, распредечена симл~етрично относительно значения о„=--О. Отсюда следует также, что среднее значение любой компоненты скорости молекулы равно О: о.== О.
(26) Здесь функция, стоящая под интегралом, нечетна (она меняет знак при перемене знака ол), поэтому вклады в интеграл от положительных и отрицательных значений ц, гасят друг друга. Заметим, что функция в(о„) имеет максимум при он==О и быстро уменьшается с возрастанием )о„.~. Она становится пренебрежимо малой при фгпп„'-~)~ 1, т. е., если ) п„(.~- (йТ~т) "л, д(ол) — О.
(27) Распределение д(ол) по мере уменьшения абсолютной температуры Т имеет вблизи ц„=-О все более острый максимум, что объясняется уменьшением средней кинетической энергии молекулы при Т-ьб. Все сказанное о компоненте о„ в равной степени справедливо и для компонент о и ц„так как, из соображений симметрии эквивалентность всех комйонент совершенно очевидна. Распределение скоростей ллолелдл.
Рассмотрим молекулы данного типа и выясним, чему равна следующая величина: г (о)с(о= среднее число молекул в единице объема, обладающих скоростью о = ) ч ), лежащей в интервале от о до в+до. Мы получим это число, складывая все молекулы, абсолютная величина скорости которых, независимо от ее направления, лежит в ука- *) Мы нспользуел определение среднего, данное формулой (2.78). физически это ясно из соображений симметрии, так как пл-компонента скорости молекулы с равной вероятностью может быть положительной или отрицательной.
Математически этот результат следует из определения среднего *): о„= — — ') д(о„) п„~)п„. ванном интервале. Таким образом, Р (о) 4(и = ) ) (ч) Уч, (28) где штрих под знаком интеграла указывает на то, что интегрирование производится по всем скоростям, удовлетворяющим условию о < ! ч ) ( о+ у(п. Эгону условию удовлетворяют векторы скорости, ограниченные в пространстве скоростей сферическим слоем, внутренний радиус которого равен о, а внешний Р+ с(о. Так как до — величина бесконечно малая, а г(ч) зависит только от абсолютного значения ч, то во всей области интегрирования в формуле (28) функция Дуу) имеет постоянное значение )(и) и может быть вынесена за знак ш1теграла.
Оставшийся интеграл равен объему в пространстве скоростей сферического слоя радиусом и и толщиной ЙР. Зтот объем равен произ- велению поверхности слоя 4ппа на его толшнну тЬ. Поэтому (28) принихшет впд п~ (23) Используя (!7), мы получаем Рис. д.б Прсктранство скоростей дли диук иаыеренид ~ось оа перпендикулирна к плоскости чертежик Саерическид слои содержит все ыо. лекулы, скорость которык у такова, что ынт~(од-до. (30) ~ г' (и) да = и. (31) р Нижний предел этого интеграла равен нулю, так как, по определению, скорость и= (ч( молекулы не может быть отрицательной.
а 4.рда где С определяется формулой (20). Формула (30) называется максвелловским распределением скоростей. Заметим, что максимум этого распределеушя возникает по той же причине, что и максимумы, рассмотренные нами при обсуждении общих принципов статистической механики. С увеличением о экспоненпиальный множитель уменьшается, но объем фазового пространства, доступный молекуле, возрастает пропорционально о-'; в результате распределение имеет плавный максимум.
Очевидно, что суммирование )о(п) у(о по всем возможным значениям скорости п=(ч! должно дать полное среднее число молекул в единице объема, т. е. На рисунке 6. 7 пока=ана зависимость функции Р(о) от скорости о. Скорость о=о, при которой с(о) имеет максимум, называется ~~ Р'(и) 02 ~б бф б8 (б (йг йб гб Рнс. б.у. максвелловское Распределение, показывающее среднее свело молекул р(мбо в единице объема. акающих скорость ат о до о+но.
За едкннпу скорости взята наиболее веровтнан скорость о=-(уауут( * На графике показана средняя скорость о а средняя квадра- 1/ тканая скорость о (он ср.на Гнс, б.б Максвелловское распрелеленне скоростей молекул прн разлняных температурах. наиболее всролтной скоростью. Ее величину можно найти из условия ((Еуг((о=0, что с помощью (30) дает (- -"-'! а ~( т — ))тле ' )оа+е ' (2о)=0, откуда (32) Рассмотрим в качестве примера азот Хв при комнатной температуре Тж30(д' К. Так как молекулярный, вес азота (ь)в равен 28, а число Авогадро равно 6 !Ом молекул/моль, то масса одной молекулы, азота пгнля28 '(6 10л') як 4,6 10 "'г, и из формулы (32) мы получаем наиболее вероятную скорость молекулы Х,,; о 4,2.
1О' см/сек = 420 м(сек. (ЗЗ) Заметим, что эта величина имеет порядок скорости звука в газе. При.иенимость к газу классического приближения. Постараемся. теперь выяснить, прн каких условиях классическое рассмотрение идеального газа, а значит, н максвелловское распределение скоростей могут считаться справедливыми. Наш критерий справедливости заключается в условии (3), вытекающем из принципа неопределенно тн Гейзенберга.
Если условие (3) выполнено, классическое описание должно быль справедливым. Так как нас интересует главным образом тппнчныл порядок величины, мы ограничимся прпблпженпылш оценками входящих в (3) величин. Порядок величины импульса р молекул, имеющих массу т и находящихся прн температуре Т, мы найдем, зная наиболее вероятную скорость этих молекул. Из (32) получаем р, — то =1' 2пйгТ. Такому значению импульса отвечает следующее значение длины' волны де Бройля: Х $ й (34) Р~ 1' 2млТ Классическое рассмотрение предполагает, что молекулы являются различными частицами, которые движутся по определенным траекториям.
Такая точка зрения будет справедлива при отсутствии квантовомеханических ограничений, препятствующих локализации частицы в пределах расстояний, нс превышающих типичные расстоянии з„мгжду соседними молекулами. В соответствии с (3)' это означает, что з„) )л„.
(35): (Квантовомеханическое рассмотрение показывает, что квантозыз: эфф~кты действительно становятся заметнымп, если условие (35)' нарушается. Это связано с существенной неразличимостью молекул, которая при этом имеет основное значение.) Чтобы опенпть типичное расстояние з, меноту ближайшими молекулами, допустим, чго каждая молекула находится в центре небольшого куба со стороной а, и эти кубы заполняют весь обьем газа, в котором находится М молекул. Тогдз ел ~~— (36) где и=— А(/р' — число молекул в единице объема.
Теперь условие (357 справедливости классического рассмотрения принимает вид ч (377 Отсюда следует, что классическое приближение справедливо, если газ достаточно разрежен, так что л мало, если температура Т достаточно велика и если масса пч молекул не слишком мала. Ч и ел е н н ы е о ц е и к и. Чтобы получить численные значения типичных величин, рассыотрильгаэвобрвзный.
гелий, при комнатной температуре и атмосферном давлении (760 льи рт. ст.). Интересуюшие нас параметры следующие: среднее давление Р=760 лл рт. ст. 10' бил(с.кз( температура Т =300' К, поэтому йТ мг 4,1 1О-'л грг; масса молекулы ш Г !Озз б,б'10 грг, 4 б-!О'" Из уравнения состояния идеального газа следует, что и=.. — =-'2,5.10'г молекул)гмз. Р ЯТ Формулы (34) и (Зб) лают следующие оценки: ге = 0*14А н з„= ЗЗА, где 1 А=10-зев.
Таким образом, условие (35) выполняется и классическое приближение является достаточно хорошим. Большинство газов имеет больший молекулярный вес и, следовательно, для их молекул длина волны де Бройля еще меньше и условие (35) выполняется еше лучше. рассмотрим теперь электроны проводимости в типичном металле, например, в меди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
