Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Спин обладает магнитным моментом р„и находится во внешне«г магнитном поле В. а) Вы пылите статистическую сумму Л лая этого спина. б) Воспользунтесь оолуче«ным зкаченяем 2 и гбщеп форм«лай (1) задачи 4.!8, чтобы вычислить зависимость срелгшй энергии Е спина ат температуры Т и поля В. в) Покажите, что полученное значение Е удовлетворяет выражению Е= — РВ, где Р— среднее значение составляющей магнитного момегпа, полученное выше [см.
формулу (89)!. 4.22. Средняя энергия гармони«ескоео осциллятьра. Масса и коэффнпигп1 упругости гармонического асциллятора 1аковы, что класси ~еская угловая «гогота качебаний равна ю, Прн кваитовомеханическом описании ~акой осцилляп,р характеризуется послеловательностью дискретных состияпий, облалаощих энер. гней Е„= (и+ —,) йга. 18 2) (!) Квантовое число и, обозначающее этя состояния, может прннимать вге целые значения п=0,1,2.3, 179 Примером гармонического осинллятора может служить атом в кристаллической решатке тяерлога гела, колеолюшийся окала своего положения равновесна.
Предположим, что такой гармонический асциллятор находится в тепловом равновесии с тепяовым резервуаром при абсолютной температуре Т. Выл!шиите следующие действия, иеобхолимые для нахождения средней энергии Ь' такою осцпллятора. а) Вььчььатите статистическую суыльу Л такого осцичяятора, воспользовавшись определением (П) задачи 4.18. б) Пспользуя формулу (1) задача 4.18, найдите выражение для средней энергии аспнллятора. в) Покажите на графнке характер зависимости средней энергии Е от абсольотной теыперат) ры Т. г) Прсдположяч, что абсолютная температура Т настолько мала, что йТ.'Тьаь. Что можно сказат~. не прибегая к вычислениям и используя только значении уровней энергии (!), о величине срелпей энергии Е в этом случае.
Описывает ли общая формула, полученная вами в б), этот предельныц случай? д) Предположим, что температура настолько велика, что йу:-Аи. Каково в этом случае предельное значение средней энергии, следующее йз б). Как это зизчение завяснт ат Т) от ю) '4.23. Средина энергия ирои(ения двйхпьпо,иной льолекулы. В классичесиой механике кинетическая энергия днухатамной молекулы, вращающейся вокруг осп, перпендикулярноь1 к линни, саелиняющей обз атома, равнз )" '/г 2А 2А где в' — момеьп количества лвижепия, и А — момент инерции молекулы. Г1ри квантовоыехзническоы описании мы иыесм следующие дискретные значения энергии: Е— 2А (!) Здесь кванювое число 1 определяет величину момента количества движения Л.
Это ьнсло ьюжет принимать следующие значения: 1=0, 1, 2, 3, (П) Каьклому значению ! соответствует (2!+1) возможных квантовых состояний, оьвечающнх различной возможной ориентации в пространстве вектора момента количества лвижеиия в. Предположнль, что наша двухатомная молекула находится в газе, находящемся в тепловоы равновесии при температуре Т. Выполните следующие вычисления, необходимые для получения средней энергии вращения двухаюмной молекулы: а) Воспользовавшись определением (П) задачи 4.!В, найдите статистическую сумму Л. (Обратите внильание па то, что эта суыча содержит члены, соответствующие каждому инливитуалшюму состоянию».олекулы.) )(опустньь, что Т настолько велико, что ИТ М)2А (это условие выпачняется для бальшвнства двух- атомных молекул при комнатной температуре). Покажите, что в этом случае сумму Л можно заменить интегралом, используя и — — 1( +1) в качестве непрерььвной переменной.
б) Используйте общую формулу (!) задачи 4.18 лля вычисления средней энергии вращения двухатоыной молекулы в указанном интервале температур, 4.24. Чис,ю атомов твердого тела в промежуточном положении (приближенное рассмотрение). Рассмотрим твердое тело в виде кристалла, состоящего из й( атолюв и находящегося при абсолютной температуре Т. Обычное положение, занимаемое атомами в решетке кристалла, показано черными кружками па рнс. 4.15, а.
Атом может, однако, находиться в одном из промежуточных положений, показанных на рисунке светлыми точками. Энергия атома в таком положении нв величину а больше энергии атома в иормальиом положении. Поэтому, если абсо- .1 80 лютпая температура Т кристалла достаточно мала, все атомы занимают нормальные положения. С повышением температуры ситуация меняется. Попустнм, что мы имеем атомы, которые могут занимать нормальные п промежуточные положения.
Нас интересует следующий вопрос: канаво среднее число аюмов, занимаюацих при данной температуре Т промежуточные положениях Приближенный ответ яа этот вопрос ьюжно получить следующим образом. а) Сначала рассмотрим некоторыв отдельный атом. Предположим, что он может находиться в одном из двух состояний, нормальном или промежуточном. Тзктттс образом, система может находиться в одиозс из двух состояний, Л или Б. Рнс тдз п~ Нос ат и т сра го тела ~чсрныс крупки) пзхолятся ~ „яяп.
нормальных положа ~нях, а позмох ныс праьссжугочяыс поло капля (бслыа точ~ н| на заннты. б> прн гмлас нысокнх тсмпсратурак часть промнжуточных положснна ыох от быть занята, как показано на рисунка. Л) Лтом в нормальном пололсенпи; в промежуточноч положении атома нет. Б) В нормальном положении атома нет; атон в промежуточнотт положении.
Чему равноотношепие Рп?РЛ вероятностей Рв иРл обнаружить эти диа положения? б) Теперь рассмотрим все твердое тело. Предположим, что в промежуточном положении находится и атомов. Это означает, что имеется недостаток и атомов в порхсальноы положении. Любое из л п)етых норт1альных положений ыожет комбинировать с шобым нз л промежуточных, поэтому ситуапия Б может осуществиться и' различными способамн, н, следовательно, вероятность Рв того, что один пз атомов твердого тела окажется н положении Б, пропорциональна лз, если пустые нормальные и,занятые промежуточные положения распределены случайно.
Итак, Ри сб и'. Покзжите с помощью аналогичных рассуждений, что Р а сб (ау †)з. в) Воспользовавшись результатами а) я б), предполагая, что л .зА', покажите, что .у 4.2п. Число атомов пмепдогр тела в прпквмуаошол сосглпяиии (точное Рассиптрвнттв). Вернемся к ситуации, рассмотренной в задаче 4.24, и попытаемся найти вероятность Р(п) того, что л промежуточных положений занято. Этому, разумеется, отвечает л свободных нормальных положений. а) Какова вероятность осуществления такой ситуации, когда л промежуточных атомов распределены данным определенным образом, а и пустых нормальных состояний также распределены каким-то определенным образом? б) Сколькими способами можно распределить и атомов между ЛГ возможными промежуточными положениями? Сколькими способами можно разместить а атомов среди с(т нормальнмх положений? ° ° Э Ф Э о о о ° е ° е е а о о Э Ф Э Э Ф о о о Э Ф Ф Ф Ф ° ° ° э е о а ° е ° о е Е о Ф Э Э Ф Э о о О е о ° е е в) Всюлольэовавшнсь результатами а) и б), покажите, что Л'! 1з Р (л] ~,~ е-)"Ч (л! (м — л)!] г) Вероятность Р(л) имеет резкий максихгух! для некоторого значения л=-л.
Чтобы найти значение л, рассчотрич ]и Р(л) и аостараемся решить уравнение (д1ц Р1дл)=0. Так как мы изгеем дело с факториалами больших чисел, зюжка воспользоваться прнближеииеч Стирлиига (см. (М.10)]. Покажите, что .тля и~~У справедливо отношение †(гсэ)ре Х '4.26.
Тешгсвая диссоциация атома. Атомы идеального газа находятся в ящике с ребрамц длиной (я, Еш 1 г. Вся система находится в равновесии ари некоторой темаературе Т, масса атома равна Л(. Атом может диссоцинровать из ион А+ н электрон е-: А А++е-, Чтобы разрушить связь электрона с атомом, нсобходичо затратить энергию ионизации И, Рассматривая отдельный атом, мы скажем, что ои может находиться в двух возможных состояниях Н и Д: Н) Атом ие диссоцнирован.
Его энергия Е ранна Е=е, где з — кинетическая энергия центра масс. Как обычно, энергия цостуяательного движения аточа определяется иабороч квантовых чнсег (ля, л, лг), Д) Лтом диссоциирояан нз электрон с чассой ш и незожитезьпыи 'ион, часов которого близка к М (гак кзк гл'КМ). Взаимодействием иана и электрона после диссоциация можно пренебречь. В этом случае полная энергия днссоцинрояаиной системы. состоящей нэ двух отдельных частиц, равна Е=е'+е )-и, 11) где ес и е- — кинетические энергия вона и электрона соотиетспзенись а и— энергия ионизацяи.
Состояние аост]нательного лвиження тиссоииироваияай системы хярзктеризуе~сгз набором квантовых чисел иоаз (л,", л„, и,") и электрона (л,, л,, л,). а) Воспользовавшись каноническим рзснрсдсьчсннезн найдите, с изшаспяг до коэффициента пропорциональности С, вероятность Р, того, что атом находится в одноч из возможных яедиссоциироваиных состояний П!). б] Восаользовавшцсь каноническим распределением, найдптс, с точносп,ю до гого же коэффициента прооорциональности С, вероятность Р ц того.
что ага ~ находится в одном из возможных диссоциировзнных состояний Д), в) Найдите опюшение РЛ1РВ. Кзк оно зависит от гемнературы Т и абьема Г? г) Теперь рассмотрим иесь гаа. Ои содержит гу атомов. Допустим, что из иих в среднем л атомов диссоциировано. Тогда в яшнкс находится л ионов, л электронов и (Л( — л) иедиссациироваиных атомов. Диссо. циированное состояние может быть реализовано л л= лз возможными снасобачи, в иедиссоциированное (Лà — л) свособами.
С ломошью качественных оценок, подобных телг, которые были исслелованы в задаче 4.29, можно показать, что 1 д лз л' ! н Лг — л Лг если лсКЖ. Получите точное выражение для (л/ЛГ) в зависимости от абсолютной температуры Т и алопюсти (Л(Ф] газа. !02 д) Обычно йТ((и. Можно ли ожидать, что в этих условиях ббльшая часть ахомов будет диссоциирована? е) Предположим, что йТ'.-и, но объем ящика можно сделать произвольно большньц сохраняя температх ру Т постоянной.
Может ли н этом случае большая часть атомов быть диссоцийрованной? Лайте простое физическое объяснение полученному результату. ж) Внутренняя часть Солнца состоит нз очень горячего и плотного газа, тогда как внешняя («корона«) менее плотна и находится прн меньшей температуре. 1!зученяе спектральных линий Солнца показывает, что атом может быть ионнзован в короне и находится н неноннзованном состоянии в более глубоких областях Солнца, где абсолютная температура гораздо выше. Как люжно обьяснить этот факт? 4.27. Получение плаз.чы нигргваниглп Нагревая газ до достаточно высокой гемперат>ры, можно получить плазму, состоящую пз значительного числа диссоцннрованных атомов.
Чтобы изучить практическую возможность такого процесса, применим результаты задачи 4.26 к парам цезия. Дтом иезня имеет небольшую энергию ионнзацин, равную и=3,89 эв н атомный вес 132,9. а) Выразите степень днссоцнацни и?ДГ в задаче 4.26 через Т и среднее давление гт газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
