Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(Гчедует пренебречь кинематнческой энергией и весом ячеек, а также любыми вззнмодсрзствнямн ««ежду ними.) 4.10, Поляризация твердого тела, виза«иная атомаяи при.неси. Рассмотрим простую двумерную модель ситуации, представляющей большой физи зескиз) интерес. Твердое тело находится при абсолютной температуре Т и содержит в елинице объема Уз отрицательно заряженных ионов примеси.
Этн ионы замещают некоторые из обычных атомов. Твердое тело в целом электрически нейтрально, так как каждому отрицательному иону с зарядом — е отвечает расположеннып рядом положительный ион с зарядом +е. Положительные ионы имеют малые размеры и могут свободно передвигаться по кристаллической решетке. При отсутствии внешнего электрического поля их люжно с равной вероятностью обнаружить в люболз из четырех положений, находящихся иа равных расстояниях от неподнижного отрицательного иона примеси (рис.
4.!4, постоянная решетки равна а). ПУсгь в напРавлеиии х пРиложено слабое электРическое поле збз. Вычислите электрическую поляризацию, т. е. значение среднего электрического дипольного моыента в единице объема, направленного вдоль оси х. 4.11. Свойство минимума «свободной энергииз для системы, налодящейся в контакте с тепловым резервуаром. Если осуществить тепловой контакт между двумя системами, А н А', то их полная энтропия возрастег. В согласии с соот- !76 ношением (20) иы имеем ЛЯ+ЛЯ' " О. (1) Состояние равновесия будет достигнуто после того как система А поглотит такое количество тепла Ц=ЛЕ, что полная энтропия 5+5' состззиой системы станет максимальной. Допустим, что снеге»а А мала по сравнению с системой А', и последнюю ьюжно рассматривать как теаловой резервуар, находящийся прн абсолютной температуре Т'.
В этом сл)чае изменение энтропии ЛЕ' системы А' легко выразить через ЛЕ и Т'. Покажите, что из (!) следует, что иелпчнпа ЕимŠ— Т'Е уменьшал>пся Э ° ® и достигае~ .чинпяула з состоянии раниавесзя. (Функция Е называется гг,>ь.нгольчгвской свободной энергией системы А прн постоянной температуре Т'.) 4.12. Квазпс>па>п>щгсхое схсатие газа. Рассмотрим термически изолированный идеальный газ, состоящий из частиц, помещенных ~ — — -о о е е ° — — -О (,) в сосуд объемом !'.
Вначале газ находился при абсолютной температуре Т. С помощью движущегося поршня будем очень х>едленно уменьшать объем газа. Ответьте, не прибегая к нычислениям, на следующие вопросы: а) Что происходит с уровнями энергии 17ь каждой частицы? Г>) Будет ли воЗрастать или у>>еньшатъ тзлх>гчесхаа пешетке твердого тела. ся средняя энергия частицы? в) Положительна пли отрицзгельна работа, совершаемая над газом при ув>еиьшеиии его объема? г) Будет ли возрастать пли уменьшаться средняя энергия частицы, отсчи- танная от энергии основного состояния? д) Будет ли возрастать нлн уменьша>ься абсолютная температура газа? 4.13.
Кяаэис>патическое налазнпчиванпе лагниглиого вещества. Рассмотрим теоретически изолированную систему из >У спиноз !!2. Пусть магнитный момент наждого спина ранен >Ы и сясгема помещена з магнитное поле В. 1(опусти>>, что маги>юное поле медленно узелнчцзаегся до некоторого носого значения. Не прибегая к нычисленням, ответьте на следующие вопросы: а) с!то происходит с уровнями энергии каждое.> спина? б) Будег ли аозрастать пли уменьшаться средняя энергия каждого спина? и) Будет ли положительной илн отрицательной работа, совершаемая над системой прн оозрастанин магнитного поля? г) Будет ли возрас>а>ь илн уменьшаться энергия спина, отсчитанная от энергии оснанного состояния? д) Будет ли возрастать или уменыпзться чбсол>отпав температура системы? 4.14. з>дазненис стктояния длл смеси идсагьиьы газок Пусть з сосуде объе:чом )> находится Л', молекул одного и Л>з молекул другого типа.
(Это >югу> быть, на- г>ри»ер, молекулы О, и Па ) Допуспы>, что газ достаточно разрежен, чтобы счи- таться идеальным. !(акозо среднее давление л газа, если он находится при абсол отпой температуре Т> 4.15. Дазленпе и плон>нос>пь энергии идсаыного газа. Воспользонавшись фор- мулами нп. 4.7 и 4.8 для среднего дааленкя р и среднегг энергии газа Е, поки.
жите. что — 2— Р= —.и, 3 (1) где и — средння кипе>пим>окая энергия, приходящаяся иа единицу объема газа, Сравните точную формулу (1) с приближенныц выражением (1,21), полученным в глаае ! на основании классического рассмотрения индивидуальных столкновений газовых молекул со стенками сосуда. 4.16. Давление и плотность энергии длл любого идеального нгреля>пизисжского гиза.
Выведем снова результат предыдущей задачи, имея в виду подчеркнуть его. общность и понять происхождение коэффициента 2!3. Рассмотрич идеальный газ из йг одноатомных молекул, находящихся в ящике с ребрами длиной С ., 1., 1„. Если частицы являются нерелятивистскимн, нх энергия ь связана с нцпульсом 1»К следующим образом: (1) Возможные значения К»э Кю К» даны формулой (3.13). а) Воспользуйтесь этим выражением, чтобы вычислить силу Рм с которон частица, находящаяся в данном состоянии г с квантовыми числами пв, пу, и„ действует на праиую стенку. б) Получяте с помощью простого усреднелшя величину средней силы Р, выраженную через среднюю энергшо е частицы. Воспользуйтесь тем, что для газа, находящегося в рзвновесии.
пз соображенкй симметрии следует К»=Кв-— -К,". в) Теперь покажите, что среднее данление, создаваемое газом, равно 2- р= — и, 3 (! 1) где и — средняя энергия единицы объема газа. 4, П. Давление и платность энергии эчэнв»роэ а»нитного излучения. Рас- смотрим электромагнитное излучение (т. е.
фотонный газ) в ящиие с ребрами д.шнай (он Сх, 1.. Так как фотон распространяешя со скоростью св та с, он является рв»лтивйсл»ской частицей, и его энергия следующим образом связана с импульсом ЛК; где Я ~~в-бц Г (П) В этой формуле суммирование производится па всем возможным состояниям системы и полученная сумма носит название слитистичвской суллы системы. е=сйК =Л (Кх+ Кэ+К»з)»Г*, где возможные значения К, К„и К, опять даны формулой (3.!3). а) С полюшью этого выражения вычислите силу р„с которой фотон, находя- щийся в данном состоянии г с квантовыми числзчи л„и„п и, действует на прав) ю стенку. б) Получите с папашью прастога усреднения величину средней силы Р, выраженную через среднюю чнергшо е фотона. Воспользуйтесь тем, что если излучение находится в раиновесви со стенками сосуда, то из соображений сим- метрии следует, что К»= Кэ~ = К».
в) Теперь докажите, по среднее давление р излучения на стенки равно 1 р= — и, 3 где и — среднее значение электромагнитной эперпш излучения в единице объелча. г) Почему коэффициент пропорциональности в (П) равен !!3, тогда каи в слу- чае нерелятивцстского газа, рассмотренного в предыдущей задаче, он равен 2!3? 4.18. Сра)нчл энергия, выра»егина через статистическую сул»э»у. Рассмотрим систему любой сложности, находящуюся в тепловом равновесии с тепловым резервуаром, абсолютная температура которого Т=(Я- . В этом случае вероят- ность нахождения системы в однол» из возможных состояннй г с энергией Е задается канани юским распределением (49). Получите выражение для средней энергии системы. Покажите, что соображения, использованные в п. 4.7, приме- нимы в общем случае, и получите общую формулу Е=— 31 2 д() (1) 4.19. Среднее даемпие, м«разггнное «грез стояшсяшческую сучлу.
Рассмотрим снова систему задачи 4.!8. Зта система (она может быть газом, жидкостью плн твердым телом) находится в тепловом равновесии с тепловым резервуаром при абсолютной температуре Т. Для простоты допустилп что сне«ел~а заключена в ящик с ребрамн длиной Ея, Еу, Ег. Покажите, что соображения, использованные в и. 4.8, имеют общее зйачение, в получите следующие, весьма общие результаты: а) Покажите, что средняя сила Е, с которой система действует на свою правую грань, всегда следующим образом выражается через статистическую сумму системы: 1 д)п 7. р= — —. () д(, Здесь 7 определяется формулой (П) предыдущей залачи. б) Если система изотропеа, то функция Л не может зависеть от отдечьпых размеров) м Ет и Ею а зависит от объема У=Е,(у!.е снстемы. Покажите, чго е этол~ сяучае ич (!) вытекает следующее выражение для среднего давления: 1 д1п 7.
р =- ду (1 1) 4.20. Сгггатисти«оскал су.и.чп длл гази как целого. Рассчотрич идеальньш газ, состошций из 7«' олнозтомпых молекул. а) Напишите выражение лля статистической суммы Л всего газа. 1!спольз) я свойства экспоненциальпой функции, покажите, что Л люжно написать в вале 7=70, (1) где Ее — статистическая сумма отдельной молекулы, вычисленная в п. 4.7. б) Воспользовавшись (1) и общей формулой, приведенной в задаче 4.!8, вычислите среднюю энергию газа.
Покажите, что зависимость (!) непосредственно вытекает нз того, что средняя энергия газа должна быть в ЛГ раз больше среде й энергии молекулы. в) Воспользуйтесь (!) и общей формулой, приведенной в задаче 4.19, чтоб е вычислить среднее давление газа. Покажите, что зависимость (!) объясняется тем, что р должно быль в ЛГ раз больше греднсго давления, возникающего от одвьп молекулы. 4.2!. Средняя энергия магнитного могшнта. Рассмотрим едино«ванный спин, равный 172, находящийся в контакте с тепловым резервуаром при абсолютнай температуре Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
