Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Экспоненциальная зависимость Р, от Е„в формуле (49) выражает результат этих рассуждений в математической форме. соответствующее распределение вероятностей (49) называется каноническим распределением. Ансамбль систем, находящийся в контакте с тепловылг резервуаром известной температуры Т (эти системы распределены по своим возможным состояниям в соответствии с (49)1, называется каноничссгагм ансамблем, Постоянная С в (49) может быть легко определена нз условия нормировки, которое заключается в том, что вероятность обнаружить систему в любом нз возможных состояний равна 1: ~Р,=1. (50) Здесь сумма распространяется на все возможные состояния А, независимо от энергии.
Имея в виду (49), мы получаем нз этого условия С гг',е-аг = — 1, Теперь мы можем записать (49) в более явном виде; е -вг.„ г (51) Зная распределение вероятностей (49), легко вычислить средние значения различных параметров, характеризующих систему А, находящуюся в контакте с тепловым резервуаром при абсолютной температуре Т=-()г))) '. Действительно, обозначим через у и "которую физическую величину, значение которой в состоянии г равно у„.
Тогда среднее значение величины у равно — ре„ у==~ Р,у„- —, (52) ~е Г где суммирование производится по всем состояниям г системы А. Замечания для случая, когда система А макроскои и ч е с к а я. Формула (49), имеющая фундаментальное значение, дает вероятность Р, нахождения системы А а некотором одно» состоянии г с энергией Е„. Чтобы найти вероятность Р(Е) обнаружить систему А в небольшом интервале энергий от Е ло Е+ЬЕ, необходимо просуммиронать вероятности для всех состояний г, энергии которых лежат в интервале Е(Ег(Е+ЬЕ, т.
е. Р (е) =.~с~') „ Г где цприх при знаке суммы указывает на то, что суммирование производится по состояниям с близкими энергиями, заключеннымй в указанном интервале. Из формулы (49) следует, что вэтом случае вероятность Р„пропорциональная е-че, будет почти одипакоиой для всех этих состояний. Поэтому интересующую нас вероятность Р(Е) можно получить простым умножением вероятности нахождения А в одном из указанных состояний на число Я(Е) таких состояний в интервале знергин Е, Е+БЕ. Имеем, таким образом, Р (Е) = Сь) (Е) е Ре (бз) Если А — макроскопическая система (хотя и много меньшая, чем А'), то Я(Е)— быстро возрастающая функция энергии.
Множитель е-зл быстро уменьшается с ростом энергии. Поэтому вероятность (бз) имеет максимум, который тем острее, чем больше система А, т. е. быстрее 1)(Е) растет с увеличением энергии. Мыслить приходим к тем же выводам, которые были получены в и. 4.1 для макроскопн. ческой системы. Если находящаяся в контакте с тепловым резервуаром система является игакроскопической, то относительная нечичина флуктуаций ее энергии Е настолько мала, что энергвя системы практически всегда равна среднему значению энергии Е. С другой стороны, если устрани~ь тепловой контакт системы с резервуаром н сделать ее термически изолированной, ее энергия вообще ЯЯ)зг»Е не будет флуктуировать.
Различие обезх ситуаций настолько малб, что не имеет практического значеняя, в частности, средние значенни вгех физических параметров системы (таких, например, как среднее давление и.чи средний магнитный момент) в обоих случаях совпада. ют. Поэтому эти средние могуг быть 4) Е Е вычислены двух~я различными спосабачн. йЕ 1 Можно рзссаатрииать изолп- Рис. И и Схема, пакииыэикинии эииисимасгь рованную микроскопическую систе- фуииипэ и ГЕ~с ат энергии Е лли микраму энергия которой Ф ко гранина и скапиисскаа систсыы.
аихалищснси и контакте а находится в узком интервале от Е тсплаиым раэсрэуирам. до Е+ЬЕ. 2. Можно вести расчеэ для системы, находящейся в тепловом контакте с тепловым резервуаром такой температуры, что средняя энергия Е системы равна Е. Заметим, что второй способ упрощает вычисления, так кан применение канонического распределения сводит вычисление средних значений к суммированию в (52) ьо всем сосгоянням без ограничений, тогда как подсчет числа сссхояний э)(Е), лежащих н заданнал интервале энергий, является существенно более трудной задачей. 4.б.
Парамагнетизм Каноггпческое распределение можно использовать для решения ряда задач, представляющих большой физический интерес. В качестве первого применения мы исследуем магнитные свойства венгества, помещенного в магнитное поле В и содержащего в единице объема гт), магнитных атомов. Мы рассмотрим особенно простой случай, когда спин каждого атома равен 1)2.
Пусть магнитный момент атома равен рм Прп квантовомеханическом описании магнитный но»гент каждого атолга может быть направлен либо <вверх» (т. е параллельно внешнему полю), либо «вниз» (антипараллельно полю). Вещество называется ларамагнитньгж, если его магнитные свойства обусловлены ориентацией индивидуальных магнитных моментов. Допустим, что вещество находится при абсолютной температуре Т.
Нас интересует среднее значение р составляющей магнитного момента любого из атомов вдоль направления магнитного поля В. Предположим, что взаимодействие каждого магнитного момента со всеми остальными атомами вещества невелико. В частности, допустим, что расстояние мажду атомами настолько велико, что можно пренебречь магнитным полем, которое данный атом создает а в, Рааэ в местах расположения соседних атомов. При этих предположениях мы можем сосредоточить внимание на отдельном атоме, рассматривая его как малую систему, а остальные атомы вещества — как тепло- Е т вой резервуар, находящийся при абсолютной температуре Т и). А Обозначим два возьюжных состояния каждого атома через (+) (магниту' р Внедряя Ьгеге, ный момент направлен вверх) и ( — ) (магнптный момент направлен вниз) и рассмотрим пх одно за друшыь В состоянии (+) магнитный момент (е) атома параллелен полю, так что р =ро. Магнитная эисргня атома прн этом а! А .Унедгеия ниже, ееелгеяний .а лееббуов Р Се-ан — =- Се-ан " (55) ся с большей вграатносэью, чсм сн- Вто Состоящее Обдадает более высок;эй хуацин с нротнаополонснми наср;и.
лснисм иагнгпного моисих, Эисртпсй И НаЙТП ЗТОМ В ТВКОМ СОСТОЙ- пип менее вероятно. Постоянную С легко найти пз условия нормировки, заключа~опьегося в том, что с вероятностью, равной 1, атом находится либо в состоянии ( — ), либо в состояюш (+). 1!меем Ро + Р ==. С (Едс В -;-Е-Зг ") =- 1, *) Такое рассмотрение предполагает возможность однозначно идентифицировать отдельный атом. Для этого необходимо, чтобы атомы занимали определенные места в решетке твердого тела или образовывали бы разреженный газ, где расстояние между атомамн велико. В достаточно плотном газе атомы сблизятся настолько, что квантовомеханическое описание лишит нас возможности идентифицировать отдельный атом.
В атом случае нужно рассмотреть более сложную картину явления, ааключаюецегося в том, что весь газ в целом является небольшой макроскопнческой системой, находящейся в контакте с тепловым резервуаром. !62 Рас. а й. ахом со санном П, н гсо. ловом шлпасхс с гсолонмм рсасрнуаром Л' Коган магнитнмй момент ,пэна нацраалсн вверх, гго энгргэн на 2нэВ цсиьшс энергии оря оратнвооолоииом нанраалшшн магнитного момента. Соотнсхстваино, эисргэш тсолового рсэсрнусра н осраои случаи аа 2Н,В больше ого энергии ) втором случае Большая энергии р,- эсрвуара ахнсчасх больвэсс исло состояний, оо тому свхуацин, гоогнстстиую~цан мапэитпому момгнго направленному вверх, осушгстэлисх.
равна гя =- — р.оВ. Каноническое распределение (49) дает следу~отцее значение вероятности Р, иахождеиил атома в этом состоянии, Р,=-СЕ ань шСЕж' В, (54) где С вЂ” постоянная, а (4=(нТ)-э. Это состояние с наименьшеп энергиеи и поэтому в ием атом находится с наибольшей вероятностью, В состоянии ( — ) магнитный момент атома антипараллелен полю и поэтому цш — р„а энергия атома равна р †.-ьроВ. Вероятность Р найти атом в таком состоянии равна откуда Р, Р 1,0 равная отношению магнитной (155 энергии рнВ к параметру йТ, характеризующему энергию теплового движения.
Очевидно, что если Т очень велико (т. е. шм=.-,1), то вероятности того, что магнитный момент атома направлен по полю нли против поля, мало отличаются друг от друга. В этом случае магнитный момент ориентирован почти случайно н )тжО. В противоположном случае, ссли Т очень мало (т. е. си~) 1), ориентапия по полю значительно более вероятна, чем орпентапия против поля. В этом случае у рн. Всем этим качественным рассуждениям легко придать математическую форму, если вычислить среднее значение р. Мы находим е.'"; а — н-лму' (58) а иад (тТ Рнс. а Н Заанснаеосаь ~еронтностн Р,(р ] тога. нто матпнтнмб момент М, направлен параллсйьно <антппараллельно) нненпнму ннннпсноьсу полю Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
