Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 40
Текст из файла (страница 40)
пра леннон абсол(отпор темпе.ратурс Т. Этот результат можно записать в виде (59) сслп воспользоваться определением гиперболического тангенса Й аи ==.= — „ (60) Таким образом, средний магнитный момент единицы объема вепгества (эта величина называется ииаяигниченностыо) направлен по магнитному полю.
Величина Ма намапшчепности равна Л'(о = Лс(га (61) где И,— число магнитных атомов в единипе объема. с=- а'у л+ н-.ту уе Атом с большей вероятностью находится в состоянии (+), где его магнитный момент параллелен полю В, поэтому средний магнитный момент атома р должен быть направлен по поло. Из формул (5ч) и (55) следует, что парапет. ром, характерна)чоишм ориентапию магнитного момента, является величина ш = — (й)а„В =. ф, (57) для раВ(йТ А1„=.- М„и =- ' "'," = — ХВ, (64) зависящий от В коэффициент пропорциональности, лшгнитной вооириииичивостою ввгг(еотва *), й(ы имеем, таким образом, значение магнитной восприимчивости, выраженное через микроскопические величины где Х вЂ” не называемый Йр турр 00 0,8 Г ьс В,б 02 Факт обратной пропорци ы нальностп магнитной воспрч- 0 Я В 3 имчивости и абсолютной тем— — пературы называется закон н ) т )(юри рис, ело.
завес«исеть иаиагиичсоия м, аг Если р«В)) сасТ, средний магиитиаго воля а и гсмосрагурм Т во«уча« слабо «ааимадсвсгвующегс атома со сииаом магнитный мОмент близок к Ч, и маги«тимм яомс«сом ~с,. своему маиенмальному в( можному значению ра. Соответственно намагниченность равна для риВ)))гТ М,=йг,р„. (66) ") Обычно магнитная восярнимчнвость определяется с помо«пью магнитного поля Н следующим образом: к=в Мвгн. Мы предполагали, что концентрация магнитных атомов мнлв, поэтому с очень хорошим приблиисеиием Н=В. Легко показать, что свойства р, полученные выше для двух крайних случаев (малые и большие Т), с помощью качественных рассуждений следуют из общей формулы (58).
Если оо (( 1, то =1+го+... и е =1 — ш+... Поэтому для ш(~1 1)гш=~ ' '' ( ~+ ' ' = — ш. 2 В другом случае, когда ш>) 1, е ))и и для го) 1 1)з го =- 1. Таким образом, из (59) мы получаем значение магнитных моментов в двух крайних случаях: для р„В((йТ р=-рв ~ — '" ~ 62) для р„В )) 0Т (63) Если 1«„В(~лТ, величина р. Очень мала. Из (62) следует, что а меньше своего максималыюго значения ра в (р«В~йТ) раз. Заметны, чтов этом предельном случае р пропоршюнальио величине магнпгного поля В и обратно пропорционально абсолютной температуре Т Из формул (61) и (62) мы получаем намагниченность Это максимальное значение намагниченности не зависит ни от величины магнитного поля В, нп от температуры Т. На рнс. 4.10 показана зависимость намагниченности от В и Т в общем случае. 4.7.
Средняя энергия идеального газа Рассыотрнлу газ, состоящий из гУ одинаковых молекул с лхассой ш и заключенный в ящик со сторонамн 7.„(, н 7 ю Допустим, что газ разрежен, т. е. что число молекул У в объеме )г=-)-„г' „г', достаточно малб для того, чтобы среднее расстояние между зюлекулами можно было считать большим. В этом случае возьюжны следующие упрощения: !. Среднее значение потеппиалыюй энергии взаимодействия между молекулами во много раз меныне среднего значения кинетической энергии молекул.
(Такой газ мы называем идеальныж.) 2. Каждую отдельную молекулу можно считать объектом, который может быть отождествлен, несмотря на полную неразличимость молекул. (Это значит, что газ неаырожден *).) Мы будем считать газ настолько разреженным, что оба этн упрощения справедливы *'). Предположим, что газ находится в равновесии при абсолютной температуре Т. Если условие (2) вьпюлнено, мы можем сосредоточить свое внимание на какой-то одной молекуле н рассматривать ее как малую систел~у, находящуюся в тепловом контакте с резервуаром (прн температуре Т), каким являются все остальные молекулы газа.
Вероятность нанти нашу молекулу в каком-нибудь квантовом состоянии г, энергия кслорого е„определяется каноническим распределением (49) или (51): е-ие, (67) Условие (1) разрешает нам пренебречь энергией взаимодействия молекулы со всеми остальными молекулами прн вычислении энергии. Рассхготрил~ в качестве примера особенно простой случай одноато,нного газа (например, гелий (Не) или аргон (Аг)!. Энергия атома ') Последнее утверждение основзно нз том, что дебройлевскзя длина волны молекулы значительно чепыне среднего расстояния между молекулами. Если такое условие не выпочняется, то законы квинтовой мехзпнкн нс позволяют рзссмзтривзть отдельную молекулу, н в зточ случзе необходихю квзнтовомехзннческое рассмотрение системы, состоящей из нерззлнчнмых чзстиц.
(Тикай гзз нззывзется вырпжпенным, он подчиняется либо тзк нззывземой статистике Болев Эйнштейне, либо статистике Ферми — Лирики.) **) Условие (2) выполняется практически для всех обычных газов. Условие его применимости будет рассмотрено в конце п. 6.3. Если л~ы будем увелнчнвзть плотность гззв (т. е. делать его менее разреженным), то условие (1) начнет нарушаться горвздо раньше, чем условие (2). Однако, если взаимодействие между молекулами очень мзлб, гзз может удовлетворять условию (1), т. е.
быть идевльныль но условие (2] будет нарушено. В этой формуле аол означает энергию поступательного движения центра масс молекулы, а агь — внутримолекулярная энергия, связанная с вращением и колебанием атомов относительно центра масс. Центр масс молекулы движется подобно простой одиночной частице, масса которой равна массе молекулы.
Поэтому поступательное движение молекулы опять определяется тремя квантовыми числами (?г,, и,„ и,), а кинетическая энергия ее поступательного движения равна выражению (68). Состояния внутримолекулярного движения определяются одним или несколькими квантовыми числами (обозначим все эти числа через и;), описывающими вращательное и колебательное внутримолекулярное движение; энергия а"'зависит от этих чисел и;. Данное квантовое состояние г молекулы определяется теперь ??аборол? квантовых чисел (и„., и„, п„п?) и мы можем написать следующее выражени?: для э??ерг???? молекулы: е,=-е ?(л, и, и )+а'л(???), Заметим, что поступательное движение молекул ограничено стен- ками ящика; поэтому е'" зависит от геометрических размеров 6, (.х, (,„как это видно яз (68).
С другой стороны, наличие стенок це может влиять на внутримолекулярное движение атомов, поэтому е" не будет зависеть от размеров ящика, т. е. аса не зависит от 7,„, 7г, Ь,. (71) Вь?ч??сление средней' энергии. Есл?? молекула имеет вероятность Р, быть в состоянии с энергией а„то средняя энергия молекулы равна ~~„-ае, а — ~' Р,а,= ', ~е а" (72) в этом случае просто равна его кинетической энергии.
Каждое возможное квантовое состояние атома определяется тремя квантовыми числами (а„., и, ?г,) и его энергия равна (см. равенство (3.15)) д, ьг е, Вероятность нахождения атома в любом из таких состояний определяется формулой (67). Рассмотрим теперь более сложный случай жногэалю?иного газа ~например, кислород (0?) или метан (СН,)), молекула которого состоит из двух или более атомов. Энергия такого газа равна е =- зол+ е'". (69) Мы воспользовались для вероятности Р, каноническим распределением (67), а суммирование в (72) производи?п? по всем возможным состояниям молекул.
Формулу (72) можно сильно упростить, если воспользоваться тем, что сумма в числителе может быть выражена через сумму, стоящую в знаменателе. Действительно, г ~пня кт с ре е = — чэ — (е-ае,) 'т ч,-а, г Мы воспользовались здесь тем, что производная от суммы равна сумме производных от каждого слагаемого суммьь Используя для знаменателя [82) обычное сокращение 3 == ~ а-к., (73) мы находим, что выражение (72) для средней энергии принимает внд -- дь" 'д() ! сЧ Т и'() нлц (74) гйы видим, что для определения средней энергии к достаточно вычислить сумму 2 по формуле (73).
(Сумма д, распространенная на нсе состояния молекулы, называется стагпистпчгскод сумлюй.) Уровни энергии одноатомного газа определяются формулой (68), в соответствии с которой сумма д имеет вида) !)п4'-' ~'и(, и"„, л,'т') ! пз и (75) !з ') з / '~, пт . з ~ 1 хЬхе ькз Ьг х где величины пл, и н п, появляются только в первом, втором и третьем множителях соответственно. Поэтому сумма (75) разбивается на произведение грех сумм, (76) Я=гид 7„ ") Вместо того чтобы писать сложные выражения в показателе степени е, ыы исппльзуел1 здесь стандартное обозначение ехр и†"е" для зксппненциальнпй функции.
где тройное суммирование производится по всем возможным значе- ниям п„, и, и л„. (Каждое число п; пробегает все пелые значения от О до пп в соответствии с (3. !4).! Экспоненпиальная функция может быть выражена в виде произведения трех экспонент: где Ле= ~' ехр п,=г Ух =. ''э'' ехр Л,= ~ехр л.= г (77 а) (77б) (77в) Нам осталось вычислить одну из этих сулгм, например, Я,.
Зто легко сделать, если иметь в виду, что пгник имеет макроскопические размеры и поэтому коэффициент при и' в (77а) очень мал, если )э не крайне велико (т. е. если температура Т ие крайне мала). В этом случае соседние члены в сумме (77а) очень мало отличакпся друг от друга и с хорошим прнблшкепием мы можем заменить суммирование интегрированием. Считая член суммы функцией л, (рассматривая это число как непрерывную переменную, определенную и для цецелых значений), мы получаем следующее значение суммы: 0, е где ! К,ыт тпа1 (79) 'С Ггг / ',/„, *' или /2тт, ггэ г/акХ Нижний предел в последнем интеграле (78) взят равш гм О. Зто можно делать без заметной ошибки, так как коэффициент при гг, в (79) крайне мал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
