Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Причин» в толь что система спинов имеет пе только самое низкое состояние энергии Е= — Л~роВ, но н самое высокое Е= =Л)роВ. С другой стороны, ва всех обычных системах, гле мы не игнорируем киистическ)ю энергию частиц (как это происходит в случае спинов), верхнего предана лля кинетической энергии системы не существует. ГЛЛВД 4 ТЕПЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В предыдущей главе мы рассмотрели постулаты и основные теоретические идеи, необходимые для количественного описания макроскопических систем, Теперь эти идеи и постулаты будут использованы для решения некоторых задач, имеющих большое физическое значение. Мы убедимся в том, что наш метод исследова' ния обладает большой силой. Мы начнем с подробного рассмотрении теплового взаимодействия между системами.
Анализ теплового взаимодействия относительно прост, так как внешние параметры, а значит, и уровни энергии системы прн таком взаимодействии не меняются. Кроме того, тепловое взаимодействие является одним нз наиболее частых процессов в окружающем нас мире. Нас будут интересовать следующие вопросы: какие условия должны быть выполнены, чтобы две системы, находящиеся в тепловом взаимодействии друг с другом, оказались в состоянии равновесияр Какие вероятностные утверждения о процессе взаимодействия могут быть сделаны? На этн вопросы легко получить ответы, для которых характерна большая общность и широкая область применения. Действительно, в этой главе мы достигнем более полного понимания понятия температуры и получим точное определение «абсолютной температурьм.
Далее, мы познакомимся с замечательно простым практическим методом вычисления свойств любой макроскопической системы в состоянии равновесия, на основании информации о свойствах атомов и молекул, из которых она состоит. В конце главы мы воспользуемся этим методом для получения макроскопическнх свойств некоторых специальных систем. 4.1. Распределение энергии между макроскопическими системами Рассмотрим две макроскопические системы, А и Л'. Обозначим их энергии через Е и Е' соответственно. Чтобы подсчитать число состояний, разделим, как это было сделано в п.
3.5, шкалу энергии на очень малые и равные интервалы ЬЕ. (Величина интервала бЕ все же достаточно велика, чтобы в нем уместилось большое число Е+ Е' =- Е *' = сопИ. (!) Если известно, что энергия системы А равна Е, то энергию системы А' можно получить из равенства (2) Теперь предположим, что системы Л и А' находятся друге другом в равновесии. Прн этом в равновесии будет и составная система А*. Энергия системы А может принимать различные значения, и нам необходимо разрешить следующий вопрос: какова вероятность Р(Е) того, что энергия системы Л равна данному значению энергии Е (точнее, что оиа лежит между Е и Е+ЬЕ)э (При этом энергия системы А' также имеет определенное значение, как это видно пз формулы (2).! ь!тобы ответить на этот вопрос, рассмотрим составную систему А".
Из постулата (3.19) следует, что изолированная система А* с равной вероятностью пребывает в любом из своих доступных состояний. Пусть ()~,г — число доступных состояний составной системы А'". Иас интересует, какая часть этих состояний ьа *(Е) соответствует значению энергии Е для подсистемы Лэ Из формулы (3.20) следует, что интересующая нас вероятность равна Р(Е) = ( =Сне (Е), гоГ (3) '1 В нашем рассмотрении Е обозначает энергию системы А, нс зависящую от системы А', а Е' — энергию А', не зависящую от А, Написав полную энергию Еь в виде простой суммы Е+Е' (!), мы пренебрегаем энергией взаимодействия Ег обеих систем, которая зависит как от состояния системы А, так и от состояийя системы А'.
Это означает, что мы пренебрегаем работой, которая была затрачена на то„чтобы системы оказались вместе. Чтобы формула (!) была справедлива, необходимо, чтобы Е,((Е и Е;ч(Е'. ! ч.й состояний.) Обозначим через Я (Е) и ьа' (Е') число доступных состояний систем А и А', когда их энергии лежат в пределах от Е до Е+ЬЕ и от Е' до Е'+ЬЕ соответственно. Задача подсчета состояний упрощается (и это очень хорошее приближение), если считать, что энергия принимает дискретные значения, разделенные малыми интерва. лами ЬЕ. Будем поэтому предполагать, что все состояния системы А в интервале (Е, Е+ЬЕ) имеют энергию Е и число таких состояний равно (2 (Е). Точно так же число состояний системы Л' в интервале энергий (Е', Е'+ЬЕ) равно О'(Е'). Такое утверждение физически означает, что энергия Е лежит в пределах от Е до Е+ЬЕ.
То же относится и к системе А'. Внешние параметры систем Л и Л' фиксированы, но системы могут обмениваться энергией. (По определению, энергия, переходящая при таком обмене от одной системы к другой, имеет форму ~сила.) Хотя энергия каждой системы в отдельности не остается постоянной, составная система Л'==Л+Л' изолирована, так что полная энергия системы А* не меняется. и!меем и) где С=- ((?,„()-' ь?в (Е) легко в А и А'. Если есть не зависящая от энергии Е постоянная. Величину ыразить через число состояний, доступных системам система А имеет энергию Е, она может находиться в лю(юм из своих ь? (Е) доступных состояний, То же можно сказать о системе А', но нужно иметь в виду закон сохранения энергии (2), из которого следует, что если система Л имеет энергию Е, то энергия системы Л' равна Е' — Е.
Поэтому число доступных состояний системы А' равно (?'(Е')=-(?'(Е в — Е). Каждое состояние системы А г 5 у 5 а 10111в15 й;окно комбинировать с лю— бым из состояний системы А', 8Е' Е образуя одно из возможных доступных состояний сложной системы А *. Поэтому полное число доступных состояний системы А*, при которых энерп(я системы А равна Е, выражается произве- дением ?? (Е) 0 01854 ?? (Е',( 00 о*(Е) =(? (Е) о (Е*-Е).
(4) го Соответственно вероятность (3) того, что система А имеет энергию Е, равна ~Р(Е) =- С(? (Е) (?' (Е* — Е). (о) 0 1 Я 5 4 5 6 7 8 У 10 11 Я 15 П р и и е р. В рассматриваемом лг виже примере числа частиц сливкоы мало, чтобы системы можно быРяс. 4.( НВ СРВОЯНВХ ППЬВВЯВС (ЛЛЯ «Ветпвгв Ла СЧИтатЬ МаКРОСКаПИЧЕСКИМИ. ТЕМ слу«вя двух а«снь мвлых систем А и А'( «вслв с стояний П (Е( н и'(Е((, доступных системам не менее, ои паэиаляет праиллщст- А н А". в вввнснмсстя вт энергии снстсм Е я Е' риравать основные идеи настояще(о сввтвстствсняв. энсрсян нвмсрсны в проня параграфа.
Рассмотрим две системы, А и А', которые имеют показанну(а на рис. 4.! зависимость числа доступных состояний от энергии. Здесь энергия измерена в некотормх произвольных единицах и шкала энергии разделена на елиничные интервалы. Предположим, что полная энергия составной системы равна )3 единицам. Одной из возможных ситуаций, отвечающих указанной полной энергии, валяется, например, такая, котла энергия Е=з, а энергия Е'=- (О. В этом случае система А находится в одном из двух, а система А' — воднол( из 40 возможных состояний, я полное число раз- личных доступных для системы А» состояний, когда ее энергия равна !3, будет 2 40=80. В табл. 4.1 приведены все возможные ситуапии, отвечающие полной энергии сложной системы А', равной !3. Мы видим, что вероятнее всего обнаружить систему А* в таком состоянии, когда Ей-5 и, соответственно, Е'=8.
Такая ситуаиия аозникаег в два раза чаще, чем та, для которой Е=з и Е =!О. Та блина 4.! Выясним теперь, как Р(Е) за- гА — — — — — висит от энерпш Е. Обе системы ч> ~ н >а> п*>п> Р,Ц Рис. З.т. Хзрзитер ззвисииости веров»на- сти >ЧЕ> от»сергии И. и А', имеют очень большое число степеней свободы, н из формулы (3.37) следует, что (с(Е) и й?'(Е') являются чрезвычайно быстро возрастающими функциями энергии. Рассматривая выражение (5> как функцию энергии Е, мы ми>кем сказать, что с ростом Е первый множитель (с (Е) очень быстро растет, а второй ь)'(Ез — Е) чрезвычайно быстро улгенв>иаегпся.
В результате произведение этих множителей, т. е. вероятность Р(Е), проходит через очень острый максимум *) при некотором значении Е энергии Е. Общий характер поведения вероятности Р(Е) показан на рис. 4.2. Мы видим, что ширина ЛЕ области заметных значений фушгции Р (Е) гораздо меньше энергии Е, т. е. ЛЕ(<Е. Вместо функции Р (Е) знач>шельно удобнее иметь дело с ее логарифмом )п Р(Е), который меняется с энер>т>ей гораздо медленнее. Кроме того, как следует из (5), и (иР(Е) величины (>(Е) и й>'(Е') аходят как слагаемые, а не как произаедеш>я, т.
е. )п Р (Е) = )и С+ )и (> (Е)+ )п (Р>Е'), (6) где Е'=Е" — Е. Значение Е=-Е, отвечающее максимуму )и Р(Е), л>ы найдем из условия ") дй>Р ! дР— = — —. =0 (7) оЕ и с>Е «) Заметим, что поведение Р(Е) аналогично предыдущему п(>ив>еру, за исключением того, что у макрсскопнческих систем, где >)(Е! н >!'(Е ! — быстро меняющиеся фуикпии, максимум Р(Е) оказывается крайне узким. '") Мы используем частные производные, чтобы обратить внимание на то, что все внешние параметры системы считаются фиксированными.
которое одновременно является условием максимума самой вероятности Р(Е). С помощью (б) н (2) условие (7) принимает вид д !п О (Е) д 1п ВВ (Е') дд дЕ' нлн р (Е) =-- б'(Е'), (8) где функции () н соответственно (3' определены так: .(г) о ~ Хайд' (и гд--- г) Острота максимума Р(Е).
Чтобы оценить, как быстро уменьшается функция !п Р(Е) по мере отклонения энергии Е от Е, нужно исследовать поведение вероятности Р(Е) вблизи мяксимуыа. В приложении (ЕЕЗ) показано„ что функпия Р(Е) становятся пренебрежимо малой по сравнеииго со своим зна!сиием в максимуме, если отклонение Е от Е заметно превышает величину АЕ, приблизительно равнуго Е ЬŠ— —. У')ю ' (10) где г — число степеней свободы меньшей из двух взаилгодействушшпх систем, я Е намного превосходит наииизшую вз возможных энергий (основное состояние) системы А.
Если, например, меньшая из систем содержит моль агомон, то ) — порядка числа Авогадро: ( — !Оз' и АŠ— 10-'зЕ, (! 1) Таким обрззом, вероятность Р(Е) обычно имеет вблизи значения Е чрезвычайно резкий лгаксимум. Величина Р(Е) становится пренебрежимо малой, если относитель. ное отклонение Е от Е имеет порядок !О-и. Это означает, что энергия Е никогда практически не отличается от Е; в частности, среднее значение энергии Е для системы А также должно быть равно Е, т. е. Е=Е.
В этом примере мы опять имеем дело со случаем, когда система состоит из очень большого числа частиц, и поэтому относительная величина флуктуации энергии около ее среднего значения исключительно мала. Рис. 4.3. Зовпснмоггь )п и !Е) и )п и' !Ь") . )п Г!' )Е* — Е) от 'нерган Е. Иэ 4З.ЗМ еле" )п ЩЮ-! )п )и — Е,)есопз!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
