Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пример 1.0диночнзя чзстнцз Рзсстютрнм чястипу с мессой т, котарзя может ыерении в ящике длиной Е. Возможные уровни рзяны в одномерном ящике. свободно двнгзться в одном изэнергии такой систел4ы (см. (8)( А' пв Е=.,— — лв, (28! 2ги Ев (7 Е Е+РЕ Соседние квантовые состоянг!я со- «обе исе эизчения л, лля котормк эиергг~я чзсотвшству4от знзчення.4 л, оглнчзющимся йз единицу. Поэтому полное число квинтовых состояний Ч4 (Е), энергия которых меньше Е, в квантовые числа соответственно меньше и, просто равно (4471)=л: бэ(Е)=л= — (2 Е) ' 1 гг (28) лй и с помощью (25) после днфференгтировзныя ыы получзем"") число доступных состояний в интервзле энергии бЕ: () (Е)= — (2т) ОЕ" ЫбЕ. (29) 2пй Пример!1.0дипочнзя чзстпцз в трехмерном ящике.
Ргсснотрим чгстпцу с мессой т, которая может свободно перемещзться в трехл|ерном ящике. Для простоты допустиы, что ящик представляет собой куб с длиной ребра Е. Возможные зиячения энергии такой системы следуют из формулы (!5), если положить Е .=Е =Ег=Е: ь Е= — —, (л„-1- и,, -1- и,). (30) где ля, и, и;=1, 2, 3... Вообразим «прострзнство чисел», заданное тремя взвимно перпендикулярными осями и„, л, л,. В таком прострзнстве возможные зпзчения *) Нзприиер, если 1.=1 см и т=б.! О-ззг 1(мзссв молекулы азата, слг.
(1.29)), та этот коэффициент равен !О-зе грг. В то же время среднее знзченне энергии элкой молекулы при камнзтной температуре имеет порядок !О те зрг. Таким образом, при тзкнх энергиях и имеет порядок 1О". '") Тзк квк л очень велико, изменение и нз единицу вызывает пренебрежимо малое относительное изменение и и Е. Поэтому, несмотря нн то, что и и Е припимгют только дискретные значения, мы можем считзть эти переменные непрерынныин. При диффереицнровзнии нужно иметь в виду, что любое изменение л должно быть много больше единицы (Ел~)!), но, с другой стороны, это изменение должно быть достзточно »4зло, чтобы выполнялось условие 4(л4т. где л=.1, 2, 3, 4, ... Если Š— макроскопнческгя величина, то каэ)к(4ициент прп л' очень л4зл, з квзнтовое число л очень велико ") для энергий, обычно предстзвляющнх и4псрес.
Нз (26) следует, что величина л для данной энергии Е равна л == — ' (2тЕ) "-. (27) 1. птз Рос. 3 б. Метко нв прямое обозивчзют возможные звзченин л= 4, т. 3, 4.... «ввптового чнс. лз и, определяюп4его состояние одиночное чз. сткпы в одномерном ящике. Зивчения и, соответствующие энергия Е и Е-1-бЕ обозначены двумя вертикзльныии ливиями, н область между этими линиями звкл4очвет е себе все знвчеппя л, дли которык энергия леясит в интервале от Е до Е+бЕ Область слезе от Е вяключвет з трех квантовых чисел изображаются точказщ, лежа~ними в центре кубиков еди- ничных размеров, кзк это показано на рис.
3.?. Кан и в предыдущем примере, этп квантовые числа очень ветикзн если ящик имеет маиросиопическпе размеры. Из (30) следует: /Г Х2 пз -(- пз + зм =( — ) 2тЕ:=, )22. Значенн я и„, и, и„ удовлетвортащие этому равенству прп данном значении Е, лежат на сфере радиусом )с, показанной на рнс. 3.2: )с —..= (2тЕ) У'. .А Число йэ(Е) состояний с энергией, меньщен Е, равно числу единичных кубиков, лежащих внутри этой сферы и обладающих положчзтельныззи зяа юанями величин п„п, и, т.
е, опо равно объему одного октанта сферы радиусом Й. Такяц образом, ср (Е) = ( л)(з ( у ф -3 (зтз =- —,( — ) (2тЕ)'з. =-ь,Д, 3)) Как следует нз (23), пюло со. стояний с энергией от Е до "— +6Е равно И (Е) = — (2г ) Г Е' ай Е, (32) фч2йэ где (г — объем я|дщга. л Е+оЕ Рнс. З.у. Тачками схеиатнч скн Гв лнух нзмареян х) показаны возмо,кныв знвчання н, нл о:= =!.
2. 3. 2..., квантовых чнсал, онрадвл номнх состояннв однночноа частнцэ в трехмерном вшнка Юсь ~ направлена нврпанднкулкряо х плоскасто рнсун за ( Значяння а„, ач о нз. соатаатст вуюлц а энаргнн частицы в ннтарвзлв от й до Š— ОЕ, лслчат нвлчлу двумя офарячяскв 1н позер: пост т точкя внутри сферы соответствуют всем зн чю няч н. л,чя ноторых эвсргня меняя;а Е *) Исключениеы является с|тетечка, имеющая конечное число возможных состояний и верхний предел для возможного значения энергии. (Такое положе- Теперь мы произведез, грубую оценку, цель которой — получигь зависимость числа о(Е) доступных состояний макроскопической системы, состояшей нз большого числа частиц, от полной энергии системы Е.
Любая такая система может быть описана с помошыо набора )" квантовых чисел. Число )' носит название чие,га етепенег) свободы системы; по порядку величины оно близко к числу Авогадро. С каждым данным квантовым числом связан определеннып вклад е в полную энергию системы Е. Ооозначим через гр(в) полное число возможных значений этого квантового числа для энергий, жгньишх данной энергии е. Число гр равно единице (или порядка единицы), когда е принихзает наименьшее из возможных значений еа, и быстро растет с ростом р (хотя может достигнуть постоянного значения в определенном случае) '). Обычно величина зр растет пропорционально отклонению энергии е от е„п мы можем написать гр(е) о(е — „)", (33) где а — некоторое число порядка единипы е).
Рассмотрим теперь систему, имеюш)ю )' степеней свободы. Ее полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энерпш' всех частиц, образующих систему) является сулзаюй энергий, соответствующих каждой степени свободы. Поэтому полная энергия Е (точнее, ее избыток над кшннмальным значением Е,) будет по порядку' величины в ) раз больше средней энергии е, приходящейся на одну степень свободы (за вычетом минимальной энергии е,). Таким образом, Ео ((ь ьэ) (34) Если полная энергия системы рагпа или меньше Е, то мы имеем приблизительно ~р(е) квантовых состояний, связанных с первьш квантовым числом, гр(е) возможных состояний, связанных со вторым квантовым числом,..., и, наконец, гр(е) возможных состояний, связанных с последним, (-м квантовым числом.
Полное число возможных комбинаций этих квантовых чисел, т. е. полное число состояний, отвечающих энергии, равной и меньшей Е, мы получим, ес.ш помпожим число возможных сггстоянпй для первого квантового числа на число возможных сосгояяпй для второго квантового числа, ца число возможных состояний для третьего квантового числа,..., и, наконеп, на число возможных состояний для (тго квантового чцсла. Таким образом, гР (Е) ((р (е))', (35) где е связано с Е выражением (34). Число ь)(Е) состояний с энергией в пределах сэт Е до ЕнуЬЕ мы найдем согласно (25) дифференцированием: (У (Е) = ' — ЬЕ (грт-' — Г, ЬЕ =- гр '-' — Р ЬЕ, Н.
ЛК хе (35) так как из (34) следует, что г(г(гг(Е=( '(г(гр/с(е). Нашего приближенного рассмотрения задачи совершенно достаточно для некоторых замечательных выводов, основанных на том, что у — очень большое число. Действигельно, если мы имеем дело с макроскопическнми системами, то ( — порядка числа Авогадро, т. е. !Оы. Числа такого порядка фантастически велики и нх свойства трудно понять, если исходить нз обычного доступного нам опыта. ние возникает, если мы будем игнорировать кинетическую энерппо часпщ системы и рассматривать только спины).
В этом случае число возможных состояний с возрастанвем (е — е„) вначале увеличивается, а затеи достигает постоянного значения. *) Например, при движении частицы в одномерном ящике, как это следует из (28),~рсоемь (В этом случае минимальное значение еэ возможной энергии пренебрежимо мала по сравнению с е н его можно считать равньга нулю.) 125 При возрастании энергии системы Е возрастает и энергия в, приходящаяся на одну степень свободы (см. формулу (34)!. В соответствии с этим относительно медленно растет и число состояний гр (е), приходящихся на одну степень свободы. Но так как показатели степени в формулах (35) и (36) имеют порядок г, т. е.
являются чрезвычайно большими числами, число возможных состояний Ф(Е) или ь) (Е) системы с ( степенями свободы возрастает с фантастической скоростью. Мы приходим, таким образом, к следующему выводу: Число состояний ь) (Е), доступных любой обычной макроскопической системе, является крайне быстро возрастающей функцией ее энергии Е.
(37) Действительно, объединяя (36) с (ЗЗ) и (34), мы получаем следующее приближенное выражение для зависимости Й от Е; (э(Е) х(в — е )'"~-' сс ( Такньг образом, мы можем принять, что для обычных систем *) (38) Здесь мы пренебрегли единицей по сравнению с Г' и положили а=1. Формула (38) дает приближенную зависимость ь) от Е. На характер этой зависимости не влияет, равен ли показатель степени в (38) Г, половине ) или другому числу порядка Мы можем высказать некоторые утверждения относительно величины !п 1Е Из (36) следует, что 1и () (Е) = ((' — 1) 1и ~р + 1и ( ~ 6 Е ) .
(39) Заметим, что если мы имеем дело с таким больцшм числом, как г, то его логарифм будет порядка десятков, т. е. он пренебрежимо мал по сравнению с самим числом). Например, если 1"=10"',то 1п (=55, т, е, 1п ~(<< Т. Рассмотрим теперь члены в правой части (39). Первый член имеет порядок ( эа). Величина (игр/г(в) 6Е (где 6Š— интервал 12б ') Мы употребили выражение «для обычных систем», чтобы исключить особыс случаи (см., например, примечание к стр.
124), когда нас це интересует кинетическая энергия частиц системы и когда магнитная энергия спина достаточно велика. (Такое приближенное рассмотрение оказывается достаточным, если поступательное дниженве частиц слабо влияет на ориентацию их синцов. В этом случае ориентация спинов и поступательное движение частиц ыогут рассматриваться отдельно,) '*) Зго всегда верно, если только энергия Е системы не очеаь близка к энергии основного состояния Еа, когда ~р-1 для всех степеней своболы.
Действительно, нз обских замечаний, сделанных в начале и. 3.1, нам известно, что когда система приближается к основному состоянию энергии, число доступных квантовых состояний имеет порядок единицы, так чго гг-1. энергии, большой по сравнению с расстоянием между уровнями энергии системы) представляет собой число возможных значений, которое может принимать отдельное квантовое число в интервале ЬЕ, и зависит от 6Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
