Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 25
Текст из файла (страница 25)
п» энергии, првивдде»к»сдлс спич).' Э пмссощеиу мзсиипсыя моыекг П„п язходй. сдемусп в мэгппгиои поле В. Сосгочвмм помечеисюе О.— — 1 (иди просто +) отвечвет м«гиитво»су момеиту. игпрввдепиому вверх, т. «. со магнитному полю В. Сосгояиие о=- — ) Осли --) соотэетссвусг ээпрвзэегтю м сгппгпого иомевтв вниз наш спин, имеет только два квантовых состояния — обозначим их кван. тавым числом о. Мы можем приписать э~ому иванн)ному числу значение о=+1, сели магиитспий моысцт частицы иаправтси вверх, и значение а== †! для противоположного направ.сепия ыагнитного момента.
Если частица находится в магпитнозг поле В, та направление, представляющее физический испсрес, задаегся полем. Если магнитный момент направлен параллельно полю, то энергия Е системы оказывается меньше, чем энергия системы и случае антипараллельного направления магнитного момента. Аналогичная ситуация возникаег при помещении полосового магнита во внешнее магнитное поле. В этом случае, если магнитный момент направлен вверх (т.
е. параллельно полю В), его магнитная энергии равна — рвВ, Наоборот, когда магнитный моыент направлен вниз (т. е. антипараллельно полю В), магнитная энергия равна р,В. Двыс кваптоным ссктоянним системы отвечают две различные энергии. (!. Идеальная система из У спиноз.
Расслсотрил( систему из йг частиц, положения которых фиксированы. Пуст~ спин каждой частицы 104 равен 1л2, а л~апштный момент из. Система находится во внешнем магнпгяоч поле В. Взаимодействием между частицами можно пренебречь *). Магнитныйг люмеит каждой частицы может быль направлен либо по полю, либо против поля. Ориентацию частицы можно задать квантовым числом аг так, что а;.=+1, если магнитный люмент направлен вверх, и а;=- — ! в противоположном случае.
Чтобы описать некоторое состояние всей спстел|ы, необ.адил|о указать ориентацию каждого из у моментов. для этого нужно задать значения последовательности квантовых чисел а„ал, „алг. Это позволит нам пронул|еровать и обозначить каким-нибудь индексом г все возлкпкные состояния полной системы, что и сделано в табл. 3.2 для частного случая У.=4. Полный лшгннтный момеит системы оавен с>мме магнитных людвигов отдельных спиноз. Тзк кзк мы пренебрегаеи взанмодействпем между спинами, то позная энергия Е систелаа равна просто сумме энергий отдельных спиноз. Таблнда 3.2 о а, м ( н !. 1)ла ( — 4иа — 2ил — 2!глВ -!ля 7 2рл 2иь йрл — О ! 8 О О О О О О 9 1О + — гйл — Вч — 2ро — 2)лл 2„ 2!л„В ВВ,В 2роВ 12 13 14 !5 4раВ Квантовые состояния идеальной системь~ из четырех спиноз 1,'2, помещенных в магнитное поле В, Каждому спину соответствует магнитный момент р,.
Каждое квантовое состояйие всей системы обозначается индексом г, или, эквивалентно, последовательностью четырех чисел )а„а„ аз, а,). л!ля краткости мы обозначаем знаком -~ число а=- ~ 1. Полный магнитный момент (точнее, его составлню. щая по полю В) обозна шется через М, полная энергия системы в через Е . 1ОВ ') Это означает, что можно пренебречь магнитным полем, которое всг остальные частицы создают в точке, где расположена данная частица. П1.
Частица в одномерном ящике. Рассмотримчастнцусмассой т. свободно перемещающуюся в одном направлении. Пусть, например, эта частица находится в ящике длиной ь, так что ее координата лежит н пределак О -.т==й. Внутри яшина на частицу не деиствуют никакие силы. Квантовомеханическое описание приписывает частные некоторые волновые своиства. Так, если частица находится в ящике и может свободно перемешат~ся между стенками ящика, то этой частице соответстн)ет волноная функшш имеющая форму стоячей волны.
Амплитуда этой волны обращается в нуль на границах нщика (так каи ф исчезает за пределачи ящика)* ). Таким образом, волновая функция должна иметь вид ф (х) = Л з! и Кх (!) (где Л и К вЂ” константы) и удовлетворить граничным условиям ф(О)=О и ф(!)=О. (2) Очевидно, что выражение (!) удовлетворяет условию ф(О) — -О. Чтобы оно удов- летворяло также и )словию ф(!.)=-О, константу К следует выбрать токой, побы К! =пл, ггли К вЂ” — л, (3) где и может принимать любые целые значения "*).
п=-),2,3,4, (4) Постоянная К в (!) играет роль волногюзо числа, характерна)тощего частицу. Этом) волновому числу соответств)ет длина волны )г (так называемая деброи.аагхая длили волны): 2л К=— ь (6) Таким образом, (3) эквивалентно равенству !.=и —, 2 ' которое выражает знакомое условие образования стоячей волны: длина ящика должна быть равна целому числу полунолн. 1(мпульс частицы р связан с длинон волны знамешггым сгютг~огценнсм деБройля: р== йК вЂ” - —, й й ' (6) где Й=й)2гг, а й — постоянная Планка. Энергия частицы в данном случае равна ее кинетг~ческой энергии, так квк потенциальная энергия, связанная с действием внутренних сит, отсутствует, Выраженная через ы|пульс илн скорост частицы, *) Физический смысл волновой функции закъочаешя в том, шо !ф(х))алл дает вероятност~ того, что частица находится в пределах коордвнат х и х+Пх «*) Значение л=-О не годится, так как ему отвечает ф=б, т. е.
ото)тствие волновой функции (а зна оп, отсутствие частиц в нппгке). Отрицательные целые значения л не ведут к появлению попых волновых функций, так как изменение знака и, а значит, и знака К, вызывает лишь изменение знака ф в (1),тогда кан вероятность )ф)зпх не изменяетсв. Таким образом, положительные целые значения л исчерпывают все возможные волновые функции вила (1). Физически это означает, что в данной задаче имеет значение тол~ко мхичинп !)К импульса частицы, так иак в результате последовательных отражений частицы от стенок ящика импульс имеет равную вероятность быть положительным или отрицательнымм. 106 ее энергия Е равна 1 1 ре йаКе Е = — пша =- — — = —, 2 2 па 2ш (7) Возможным значениям (3) пошоянной К отвечают следующие значения энергии~ (8) = —...—.
) == —...-' Вочновая Функция (1) удовлетворяет этому уравнению н обеспечивает связь между энергией н величиной К, описываемую формулой (7). Действительно, условие (2), заключающееся в том, что волновая фугпспия должна исчезать на границах ящкка, опять првводит к (3), н такиаг образош к выраженкю (8) для энергии, Итак, мы видим, что все возможные нвантовые состояния частицы в ящике могут быть заданы указанием возможных значений (4) квантового числа и.
Соот- ветствующие этим значениям п энергии состояний (т. е. соответствующие уровни энергии часжшы) даны формулой (8). Из (8) следует, что расстояние между соседними уровпямн энергии частицы очень чало, если длина ящика Е имеет макроскопяческшг размер. Нанченьшес из возмо кных значений энергии частицы, т. е. ее основное энергетическое состояние, У отвечает значенню и=-1. Зачетьжь что это значение энергии отлично ог пуля '). (е'.
Частица в трехмерном я щ и к е. Обобщение рассмотренной выше задачи на случай свободной иштицы в пространстве трех измерений не представляет ь —— ватруднений. Прсдположям, что частица на- Е ходится в ящике, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда со сторонааш Ею (., и 1, Такич образом, координаты, характернзующне положение частицы, лежат в пре. делах рис. 3 3. яшли о форме промоугольпого параллелепипеда со стороиаоп 0 ~ х ~ Е„; 0 ~ р ~ 1.; О ~ г =-" Ею длипои Ь, Ьл ат л.
с1астица имеет массу т и, находясь в ящике, не испытывает действия сил. В этом случае волновая функция частицы представляет собой трехмерную стоячую волну: ф = Д (юп К„.г) (а(п Кхр) (з(п К,а), (О> где постоянные К, К, К, можно считать тремя компонентачи вектора К, который называется еолноаыле вектором частицы. Согласно де-Бройлю связь между импульсом частицы и волновым вентором имеет вид р=ЬК. (1О) ') Такой вывод находится в согласии с принципом неопределенности Гейзенберга (Лхйр>)е), согласно которому частвца, положение которой ограничено линейньгм размером Е (т. е.
Лх-й), имеет некоторое минимальное возможное значение импульса порядка р-й/Ь. Поэтому минимальное возможное значение энергии частицы в ящике — это кинетическая энергия порядка ра(2ш=уаагйшйе. 107 й(ы пришли бы к аналогичным результатам, рассмотрев эту задачу более строго, исходя из ф) ндаментального уравнения Шредингера длн волновой функции ф Для свободной частицы в нашем одномерном ящике это уравнение имеет впд йа леф Таким образом, величина р и величина К (или штина яичны) по-прежнему связаны формулоп (6). Энергия частицы теперь равна ра йткз ))з Е = —, ==- — =-- — (Кл+ Ку+ Кл).
2т 2т 2т Легко проверить, что формула (9) дейсгвнтечьно является решением не зависящего от времени уравнеьшя Шредингера для свободной частицы в трехмерном случае. Это сравнение дает опав~ энергии с волновым вектором, выражаемую формулой (11). !!з того факта, что функция ф долх.па исчезать на границах шинка, выте. кают следующие граничные лсловпя: ту=-О на плоскостях х=-о, р — О. г=-о, (! 2) х = ~х у: — ' 1-у х = 1-л ) Выражение (9) длн волновой функции действительно обращается в О при х=о, (г=-й, а=о. Чтобы оно исчезало и при х=! „д=-Е „г=-! „постоянные К., К, К, должны удовлетворять след)чощнлг условиям: п К -=- — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
