Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Из ннх следует, например, что с заметной вероятностью могут наблюдаться лишь значения т, лежащие вблизи и и не отличающиеся от этого среднего много больше, чем на Лпт. Рис. 2.8 является иллюстрацией этого вывода. Таким образом, ДМ $РМро 50 М 0 02А!Рв Сначала предположим, что полное число спниов весьма малб.
Допустим, чте 1т'= 100. татаа ЛМ 50 — ды ==5 У!00 н, значит. ЛМ>М. Рассеяние возможных значений М оказывается весьма заметным. действительно, в атом случае весьма вероятно появление значений М, которые очень сильно отличаются от М уу и лаже имеют противоположный знак (рис. 2.9). Й Рассмотрим теперь случай мах!! кроскопической системы соннов, ногда А! порядка числа Авогадро, например, А! = 10ы. Имеем ЬМ 50 =жт =5!О-", М у' !0» твк что ЛМ (<М. В зтоы случае рассеяние возможных значений М Рнс 2.10. Сосуд объемом У, содержит Ф молекул идеального газа В данный момент времени в небольшой част» обьема 1' находится н моиекуч, тогда кзк сстадьиое число молекул н' = =Л-н находится в объеме и'= !' — у.
Рнс. 2.0. Вероятность Р" <М! того что полный магнитный момент системы сяинов имеет значение М. ддн К=100 н Ь'=10ЗЧ Магнитное поле таково. что Р=О,З1 и о =О.ао Графини «вдякмс» огибаницими кривымн возможных значений Р" 1М!. Графики имеют рваные масштабы. крайне малб по сравнению со средним значением М полного магнитного момента.-у Если мы будем производить следуюшие друг за другом измерения магнитного момента системы, то почти всегда результатом измерении будет значение, очень близкое к М.
Лейстеительно, если чувствительность нашего метода измерений недостаточна, чтобы заметить относительные отклонения отсредиего, меньшие чем, скажем, 1:10'в, мы всегда будем получать постоянное значение магнитного момента, близкое к М, н ие сможем заметить статистических флуктуаций вокруг среднего значения. Этот пример является конкретной иллюстрацией обшего вывода о том, что в мзкроскопической системе, состояшей из очень большого числа частиц, относительная величина флуктуаций мала. Распрбдблсниг молекул идеалвиобо гхьчя.
Рассмотрим идеальный газ из тУ молекул, помегценных в сосуд объемом у'в. Азы интересуемся числом частиц в некоторой выделенной части этого сосуда объемом и' (рис. 2.10). Если газ находится в равновесии, то вероятность р нахождения молекулы в этом объеме равна р ' (64) Мы уже отмечали зто в формуле (28). Вычисление среднего значения и и его дисперсии не представит трудностей. В конце п. 2.3 было указано, что задача об идеальном газе аналогична задаче о системе спинов.
(Обе задачи приводят к биномиальному распределению.) Поэтому мы можем сразу использовать результаты (6!) н (62)'для получения желаемой информации о величине и. Пусть и' обозначает число молекул в оставшейся части сосуда Г, — Р'. Обозначим т = =и — и'. Как следует нз формулы (25), 2( + ! (65) Используя результат (61) для т, мы получаем 2( + ) 2 или и=учр, (66) так как»у= 1 — Р. Лалее, из (65) мы получаем — ! ! — ! Агг =— и — и = — (йг+т) — — (Ж+т) = — (т — т), илп ! Ли — Лт.
2 и. г(»! = ~,! ! ° ° - ° !»»! ° ° „- > Стандартное отклонение и равно, таким образом, (67) (68) а отношение (бй) 96 Эти выражения опять показывают, что стандартное отклонение растет пропорционально У'. Соответственно, относительная величина стандартного отклонения Ьиlи цлгеньииится пропорционально (й!)-'б и становится очень малой при макроскопических . ') Формулы (66) н (67) могут быть, получены и непосредственно аа основаннн методов, рассмотренных ° вгем разделе, беа обрыдення н велнчане в» (см. вадачу 2.14). значениях Л/. Эти выводы прекрасно иллюстрируются разобранным в главе 1 примером, где рассматривалось число п молекул, заключенных в одной половине сосуда. В этом случае из (64) следует, что Р= 4= '/„ и (66) сводится к соотношению ! л = — Л' 2 а (69) — к соотношению Ьл ч ~~У ' Эти формулы придают количественный характер рассуждениям о флуктуациях в п.
!.1. То обстоятельство, что абсолютная величина флуктуации (измеряемая Ал) возрастает с ростом У, а ее относительная величина (измеряемая Кп/л) уменьшается с ростом Л", хорошо иллюстрируется рис. 1.5 и !.6 для А~=4 и У=40. Если сосуд содержит около моля газа, то количество молекул имеег порядок числа Авогадро, т. е. Л/ 10". В этом случае относительная величина флуктуации Аа/Л 10 "становится настолько малой, что ею почти всегда люжно пренебречь. 2.6.
Непрерывные распределения вероятностей Рассмотрим идеальную систему, состоящую из большого числа спинов, равных '/,. Такая система обладает большим количеством возможных значений полного магнитного момента. Действительно, согласно (22) и (24) М = т р, = (2п — Л/) ро (70) так что М может принимать любое из (Л'+1) возможных значений: М = — Л/р„, — (Лà — 2) р„— (Л( — 4) р„..., (Л/ — 2) р„Жр„. (71) Вероятность Р"(М) того, что полный магнитный момент примет данное значение М, равна вероятности появления соответствующих значений т или и, т.
е. вероятности Р'(т), выражаемой формулой (26), или Р(п), выражаемой формулой (14). Таким образом, Р" (М) = Р'(и) = Р(п), (72) ' где и= М/р, и и='/,(Л/+т). За исключением случаев, когда М находится вблизи своих экстремальных значений ~Мр, (здесь вероятность Р "(М) пренебрежимо мала), вероятность Р "(М) меняется незначительно при переходе от данного значения М к соседнему. Этозначит, что !Р"(М+2р,) — Р'(М) 1((Р"(М). Огибающая возможных значений Р"(М) образует при этом гладкую кривую, как это показано на рис. 2.11.
Л(ы можем поэтому рассматривать Р"(М) как плавно меняющуюся функцию непрерывной переменной М, несмотря на то, что в действительности этой переменной доступны лишь дискретные значения (71). Предположим, что р„пренебрежимо мало по сравнению с наименьшим магнитным моментом, имеющим значение в наших макро Рнс, Э 1Ь Вероятность Р"1М1 того. юо полнмй магнитной люмсит снстсмм спиноз инсат значение М, лли слу аи, «гила чи о Н соилов велико н магнитной момснт спина Иа относитильио чал скопическнх измерениях.
В этом случае иэ-эа недостаточной чувствительности наших измерений мы не сможем заметить, что М принимает дискретные значения, разделенные интервалом 2р,. Поэтому М действительно можно считать непрерывной переменной, и в таких условиях приобретает смысл величина с(М, понимаемая как ймакроскопическая бесконечно малаяз, т. е. как величина очень малая микроскопически, но большая в микроскопическом Р')Му' смысле (другими словами, гтМ предполагается пренебрежимо малой по сравнению с наименьшим магнитным моментом, имеющим значение при макроскопическом рассмотрении задачи, но значи- 4 ьч' )лу тельно большей, чем ра) *). гр, гм Накова вероятность того, что полный магнитный моментсистемы лежит в области значений от М до М+г(МР Очевидно, что величина этой вероятности зависит от величины г(М и становится исчезаюше малой, если й(М сделать пренебрежимо малой. Поэтому можноожидать, что искомая вероятность будет просто пропорциональна величине с(М, так что она может быть записана в следующем виде: , ВеРоЯтность того, что полный магнитный у,(М) бМ момент находится между М и М+с(М 1 где величина у (М) не зависит от величины г(М **).
Величина ул (М) называется плотностью всрояптссти, она стагювится вероятностью только после умножения иа бесконечно малую ггМ. Легко выразить вероятность (73) через вероятность Ра(М) того, что полный магнитный момент принимает данное дискретное значе- вне М. Иэ (7!) следует, что соседние значения М отстоят друг от друлга на 2р„а так как с(М))2)л„то интервал между М и М+с(М ') Уместно отлгетитлн что многие диффеРепцпалы в физике ЯвзЯютсЯ макРоскопическими бесконечно малылги.
Например, при изучении электричества мы имели дело с ззрядом тела йг и с прирашекием заряда гг'й). Такое описаииес помощью дифференциала годится лишь в том случае, когда Щ является величиной, аначитейьио большей дискретного значения заряда электрона е и в то же время пренебрежимо малой по сравяеиию с самим зарядом 17. . '*) так как вероятиость есть гладкая фуиация ггм, то вблизи любого значение М ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням ЛМ, есле ЛМ мадб. Таким образом, мы имеем: ВеРоЯтность = ив + ал ЛМ + ав (ггМ)з +.... где.коэффициевты аа, ал,...
зависят от М. заметим, что а =О, так как яероятьюсть должна стремиться к нулю, если 4М стремится к нулю. )Телес, члены, содержащие высшие степеии ЛМ, преиебрежимо малы по сравнению со вторым чаевом, который пропорциоиадеи г(М. Следователь)го. Ыы получаем формулу (ТЗЬ содержите/2р,возможных значений,М. В пределах малого интервала ЫМ вероятность У(М) меняется очень мало и поэтому можно считать> что всем дискретным значениям М в пределах от М да М+с(М отвечаег приблизительно, одна и та же вероятность Р "(М). Теперь вероятность того, что полный магнитный момент лежит между М и М+с(М, можно получить, суммируя Р"(М) по всем дискретным значениям М, лежащим в этом интервале.
Это эквивалентно умножению почти постоянной величины Р "(М) на пМ/2р,. Вычисленная таким образом вероятность пропорциональна ИМ, и равна вероятности (73): /Р(М) 0М = Р" (М) — ' (74) В практических случаях вычисление Р "(М) может оказаться весьма трудоемким, если М/р, велико, нз-за необходимости подсчитывать факториалы больших чисел, входящие в биномиальное распределение (14). Эти затруднения можно, однако, обойти, если использовать рассмотренное в приложении П.1 гауссовское приближение. Существует много задач, где интересующая нас переменная, назовем ее и, действительно непрерывна.
Например, и может обозначать угол между некоторым вектором на плоскости и фиксированным направлением и может принимать любые значения между 0 .и 2ц. В общем случае и может принимать любое значение из области а,< и(а,. Эта область может бытьбесконечнобольшой, т. е. а,-+ оо или а,-~со, или обе границы области одновременно уходят в ао. Относительно такой переменной справедливы те же утверждения теории вероятностей, что и относительно переменной М. Так, например, иас может интересовать вероятность того, что перемен-; ная и находится в интервале значений между и и и+ди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
