Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Е.г. Биномиальное распределение для Ф=.ар магнитных моментов при р=я — згы На графике поназана вероятность Р(п) того, что и магнитных моментов направлены вверк. нлн, что зквиваленпм, вероятность Р'(зт) тога. что полиыа магнитныа момент, направлен пыа вверх, равен ы (если измерить его в свининах и ), четными при четном й/ и нечетными, если )и' нечетно. Согласно (24) ) В дальнейшем дли краткости ннегде будем называть М полным магнитным моментом. Рис. Е.а. Бииомиальное распределение дчя у=ч магнитных момен~он при р=-<=г)а. Иа графике показана вероятность Р(п) того, что и магнитных моментов направлено вверх, илн, что эквивалентна, вероятность Г'(пт) того, что полный магнитный момент, заправленные вверх, равен ги (сели измерять его в единицах Нз).
и через р, обозначена величина магнитного момента, связанного со спинам '/в Из (22) следует, что величина иг=М/р, представляет собой полный магнитный момент, измеренный в единипах )(е. Выражение (2Э) можно записать в виде т.=-)г — и'=и — ()() — и) =2и — /(г. (24) определенному значению а отвечает единственное значение т, и наоборот, а= — 2(М+т). ! (25) Вероятность Р'(т) того, что т принимает определенное значение, должна поэтолзу совпадать с вероятностью Р(а) того, что а принимает значение, следующее из (25). Итак, ( 2 )' (26) Это выражение дает вероятность появления любого возможного значения полного магнитного момента системы спиноз. В частном случае р = д = '/, из формул (!6) и (26) следуег !у! Р'(т) =- ~)!(и — т)! туу ' И леал ь н ы й газ н з гт' и ел е к ух.
Рассыотрнм ядеальный газ нз М молекул, находящихся в сосуде объемом У,. Лля ндеального газа взаимодействием молекул можно пренебречь н нх движение можно считать статистически незавнснмым, Предположим, что ящнк мысленно разделен на две части с объемамн У н У', так что У+У'=У . (27) Рассмотрнм ансамбль нз большого числа таких сосудов с газом. Пусть р — веро.
ятность того, что некоторая молекула находится в объеме У, а о — вероятность ее нахождения в объеме У'. Если газ находится в равновеснн, то молекулы равномерно распределены по объему н У' р= —,, а (ы) Уе Прн этом и+о=), как требует условне нормировка. Какова вероятность Р(а) того, что в ансамбле яз й! моленул в' объеме У окажутся а ыолекул (прн этом остальные а'=й! — и молекулы будут находнться в объеме У')г Ответ ааклкжен в Наиболее вероятная ситуация соответствует т=О, когда М=О. Обобщение бииолгиилоного расггределеиил.
Наше рассмотрение касалось частной задачи о системе, состоящей из спиноз. Ей можно, однако, придать более общее значение. Действительно, нами была решена следующая задача. Имеем й! статистически независимых случаев. Предположим, что вероятность возникновения каждого такого случая равна р; тогда вероятность того, что этот случай ие возникнет, будет д= ! — р, Какова вероятность Р(а) возникновения а таких случаев (остальные л! — а случаев не возникают)р Биномиальное распределение (14) дает немедленный ответ на этот вопрос.
Действительно, в нашем частном примере системы, состоящей из !У независимых спиноз, возникновение случая отвечает спину, направленному вверх, тогда как отсутствие случая отвечает спину, направленному не вверх, а вниз. Мы рассмотрим еще несколько примеров, когда биномиальное распределение дает непосредственное решение задачи. пг -пп -пп -пп -гп -уп Пг-Ф гп гп дп пп гп гп пп пп -пп -дп )р=гп и пп -пп -гп -)и 2Лгт и п,г -пп -Пп -пп -гп -ю и . ~п гп пп йп лт у-пп гяы Ря . 2.8. В с... вроятность Р'пп) того, что полный иагнитпып ыоыент спстеыы нз д) спина» '7, равен пт (если его измерять в единицах дч). Из-за наличия иагнитвого =0.7 -О, Г афихи ают р ф д аначение Р')т) для*четырех различных случаев, соответствующих д) 19, З) ЗО в 50. Р(лП ~ п,г и -ПП -770 )))-яп и ' гп т гля) и -пп -гп -)и и уп: гп гпя) бниомиальном распределении»(14).
В частности, если )»= Р', так чтон» 4=)«», то решение втой задачи получено в п, 1.1, где нужно быпе нанта аероятипсвь тоге, что л из г»' молекул находятся в левой половине сосуда. Бросание лгонет или игральных костей. Рассмотрим бросание йГ монет, поведение которых.беден считать статистически неззвнсилгым. Пусть р есть вероятность того, что любая данная монета выпадет «орлом», а и есть вероятность выпадания «решки». Из соображений симметрии мы можем считать р =- д=«Н. Какова вероятность того, что л из гу брошенных монет выпадут «орлом»й Бросание Л игральных костей представляет собой аналогичную задачу. Их поведение опять можае с~к»ать статисгическн нева.исямым, Г1ре июложим, Р «сть вероятность того, что любая кость выпадет стороной «6» вверх, тогдз о = 1 — Р есть вероятность того, что зто не произойдет. У игральной коста шесть сторон и нз соображений снхшегрии следует, что р = Чм а д = 1 — Р.= ",'„.
!ханова вероятность Р (и) того, что и нз Л' костей выпадут стороной «6»1 Биномнальное распределение (14) отвечает и на згот вопрос. 2 4. Средние значения Предположим, что переменная и, характеризующая некоторую систему, принимает сс возможных дискретных значений: и„и„..., И«о которым соответствуют вероятности ЄЄ..., Р,, Это значит, что в ансамбле из ь~ аналогичных систем (где ну' — ьооу переменная и имеет значение г для следующего числа систем: ар»= ну" Р,.
Указание вероятности наблюдения Р, для всех а возможных значений является наиболее полным статистическим описанием системы. Удобно, однако, иметь некоторые параметры, которые характеризуют распределение возможных значений и в ансамбле менее детальным образом. Такими параметрами являются, например, средние значения.
Их смысл весьма прост. Например, результат экзамена группы студентов можно описать наиболее полным образом (если нам не интересны фамилии студентов), указав, сколько студентов получили каждую из возможных оиенок. Менее подробно результат экзамена можно представить указанием среднего балла.
Для этого каждый возможный балл следует умножить на число заслуживших его студентов, результаты сложить и сумму разделить на число экзаменовавшнхся. Аналогично, чтобы получить среднее значение величины и в ансамбле, мы должны умножить каждое значение и„на число систем йр„в которых это значение осуществилось, сложить эти произведения для всех возможных значений г и результат разделить на полное число ейГ систем в ансамбле.
Среднее значение величины (или усредненное ло ансамблю)» которое мы обозначим и, равно, таким образом: ~У у» и ЙГ»п» +з'» и» ' + чйГ и ! (29у е!)Г н)Г Но «е1;гез(=Р, есть вероятность появления значенн» и„н онреде ление (29) принимает внд ') а и = ,и„ г к'! (ЗО) Аналогично, если Г(и) есть любая функпия и, то среднее значение (нли ус)мдненное но ансамблю) )(и) определяется выражением Из этого определения среднего значения следуют некоторые простыеего свойства. Например, если Г(и) и д(и) — любые две функции и, то У+й'= ~ч' Р, ()(и„)+п(и,Я = ~ Р,Г(иг)+ У Р й (и,), или (32) Этот результат показывает в самом общем виде, что среднее значение суммы членов равно сумме средних значений каждого члена. Поэтому следующие одна за другой операции образования суммы и получения среднего значения дают одинаковый результат, независимо от порядка, в котором мы их выполняем ««).
Если с — некоторая константа, то с) = ~ Р, (с) (иг)] = — с ~' РД (и,)„ «=! г=! нли с7 = сг'. (33) 'Таким образом„операпии умножения на постоянную и усреднения также могут быть выполнены в любой последовательности и это не влияет на результат. Если (=1, то формула (ЗЗ) дает очевидный результат: среднее значение постоянной равно самой постоянной. *) Среднее значение и зззяспг от времени, есле от него зависит поеедеппе лясзмбля, т. е.
некоторые вероятности. Ззметям, однако, что среди«к значение нлп рсредиеии«п ло оггсамблв зиачеиие и есть среднее по всем системам ансамбля я дзппый момент. Опо отлпчзется от среднего по зремепя для одной снстемы. ко. торос было определено формулой (1.б), зз нсключеяпем спепззльяого случая акса»бля, пе зззясяпгего от времени, когда усредпеппе производится по очень болыаому интервалу премепп.
'«) Нз языке матемзтякпмы гозорнм. что зтп,оперзпкк «конмутярукпз. П р н м е р. Рассмотрим систему нз четырех спиноз н пусть р «1= Ъ. Число магнитных л«оментов, которые могут быть направлены «вверх», может быть равно л= О, 1, 2, 3, 4. Вероятности появления этих чисел следуют непосредственно нв формулы (16). Иэ рнс. 2.6 видно, что этн вероятностн равны соответственно Р (л) = !/!6, 4/16, 6)16, 4/!6, 1/!6. Среднее число магнитных моментов, направленных вверх, равно 4 л = ~ч' Р (л) ч = ( ! 6 О) + (16 .
1) + ( — 2) + ( 6. 3) + ( — . 4) = 2. «=о Заметам, что это среднее просто равно Д«р = 4 !ю Так как р = — д, то пренмущесгвенное направление в пространстве отсутствует. Это значит, что среднее число моментов, направленных вверх, дачжно быть равно среднему числу моментов, направленных вниз, т. е. л'=«=2.
Этот результат следует также н нз формулы (32), которая дает л' = У вЂ” л = У вЂ” л = 4 — 2 = 2. Так как нет преимущественного направления в пространстве, то среднее значеняв магнитного момента должно быть равно нулю: и = л — л' = л — л' = 2 — 2 = О. Значение и можно вычислить н непосредственно, если использовать вероятности Р'(и) того, что и принимает возможные значения и = — 4, — 2, О, 2, 4, Тогда, па определению среднего: ! 4 6 4 1 =г Р (и)и= — ° ( — 4)+ —.( — 2)+ .О+ —.2+ —.4=О. 16 !6 16 !б !б Мы приведем е!це одно, часто очень важное, свойство среднего значения. Предположим, что мы имеем дело с двумя переменными, и и о, которые принимают значения о«, о», ..., о, соответственно.
Обозначим через Р, вероятность того, что перемен- ная и принимает значение и;1 аналогичный смысл относительно переменной о имеет вероятность Р,. Пусть вероятность любых значений и не зависит от значений, которые принимает переменная о (это означает, что переменные и и о статистически независимы), В этом случае совместная вероятность того, что и принимает зна- чение и„ а о принимает значение о„ равна Р„= Р,Р,. (34) Предположим теперь, что !(и) есть некоторая функпня перемен. иой и, а д(о) — функция о. Тогда из (3!) следует, что среднее зна- чение произведения )й равно о а )(и)й(о)= ч' ~ Р„~(и„)д(о,), (35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
