Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 17
Текст из файла (страница 17)
овс в 3 й й к йк во х о о о о" с "в о йй 4 вон Р й ,й„ о н к хв ах в оо в и .к з к дв 44 ф в й„о в н хс' зх" х к в ох с х хвк 4:4 'о в в о'й в Я о „о й» в Я 4З в Я 4' хЗ вйн Б" о,,сД з З'с ~Я а вс я' 4 в р хо й а,х~ йхв вероятность появления любого данного случая в ансамбле не зависит от времени). Тем самым статистическое описание позволяет дать очень ясное определение понятия равновесия: изолированная макрссколическая система находится в равновесии, если - свойства статистического ансамбля из пипсих систем не зависягя от времени.
1Р Е2Л Л 15 'ьХ1 25 15 СП г4 34 Е3 15 Ряс. 2.4. Продолжения рно. 2.3. Теперь, когда прошло доотлточноя время, янсзмбль «яляотся нозлвнснмым от яреиени. Зто означает, что система аоститля ооотояиия рязнояоон». П р н и е р, рассмотрим идеальный газ. состоащнй нз дг молекул. Ь некоторый начальный момент времени б сразу после того, кав убрана перегородка, всо мелекулы этого газа находятси.в левой половине сосуда. Каким образом можно произвести статистическое описание поведении газа и последующие моменты времени? Мы должны рассмотреть авсамблгч состовщий из больпвге енола аналогичных сосудов с газом, в каждом из которых и начальный момент времени-все моле- кулы находятся в левой половине сосуда.
Такой ансамбль схематически показан иа рис. 2.3. Затем мы должны исследовать наш ансамбль в определенный момент времени (, с тем чтобы получить ответ на интересующие нас вопросы. Например. если сосредоточить внимание на определенной моленуле, то нас может интересовать, какова вероятность Р (Г) того, что эта молекула находится в левой части сосуда, или вероятность Ч (Г) того,что она находится в его правой части, или,например, какова вероятность Р (и, Г), что в данньш момент и нз общего числа л( молекул оказались в левой части сосуда.
Мы знаем, что в начальный момент времени Гэ вероятностьр(Г») = ! и 4((») =. О. ТочнотакжеР (Л', Г«) = ! и Р (и, Г») = Опля ил»у. С течением времени зги веронтностн меняются до тех пор, пока молекулы окажутся равномерно распределенными по объему сосуда, так что Р =- д =- ".'. После этого вероятности не меняююя во времени, г. е. ансамбль становится независимым от вре-' мени н система достигает равновесия (рис. 2.4) *). С«ктояние, при котором поведениесистемы не зависит отвремеии, оказывается особенно простым.
Лействительно, в этом случае задача о газе, состоящем нз»у молекул, аналогична рассмотренной выше задаче о наборе из М монет. В частности, вероятность р нахождения молекул в левой части сосуда совпадает с вероятностью того, что брошенная монета выпадает «решкой»; аналогично, вероятность д нахождения молекулы в правой части сосуда совпадает с вероятностью выпадения «орла». Точно так же, как в примере с монетами, эти вероятности не зависят от времени и р = — 4 = 1». 3 а меч а н не.
В главе ! [см, уравнение (!.4)1 мы вы~исляли различные ееронтности, рассматриваи одну-единственную систему. Такой метод годится для специального случая системы, находящейся в равновесии. Так как ансамбль таких систем не зависит от времени, то большое число последовательных наблюдений над одной системой эквивалентно большому числу одновременных наблюдений над системами ансамбля. вкругими словами. предположим, что мы взяли фильм, иа котором заснято поведение системы за время т, и разрезали его на»(!«равных частей, каждая из которых длнтсятг=т!«)('(т«достаточно велико, чтобы поведеииесистемы ва одном куске фильма можно было считать независимыч от ее поведения на смежных кусках).
В этом случае набор нз й разрезанных фкльмов для данной системы будет неотличим от набора «)('фильмов,снятых для систем ансамбля в течение интервала времени т,. 2.2. Основные соотношения между вероятностямн Вероятности удовлетворяют некоторым простым соотношениям. Хотя они почти очевидны, их значение весьма велико. Проще всего их получить, исходя из основного определения вероятности (1). Дальше мы всегда будем считать, что число К систем в ансамбле можно сделать бесконечно большим.
Предположим, что опыт, выполненный над системой А, приводит к некоторому числу а взаимно исключающих друг друга исходов (случаев). Обозначим каждый возможный исход опыта или случай индексом г-! этот индекс может принимать значения 1, 2, 3, ..., а. В ансамбле из одинаковых систем Щ систем отвечают случаю 1, ,))",снстшэ — случаю 2...,, мт", систем — случаю гх.
Так как эти случаи исключают друг друга и ими исчерпываются все возможности, то сумма «Н'» + «!)Рэ +»()Рэ + ° - ° + эМ'» = «!)Р ° «) Заметим, что в любой данной системе с течением времени возникают случайные флуктуации, тогда как вероятность Р длл ансамбля в любой данный момент времени всегда иь«еет единственное и определенное значение, если число систем»)(' в ансамбле может быть сделано сколь угодно большим. Это замечание имеет целью покээат«ь насколько рассмотрение ансамбля упрощает ситуацию по сравнению с рассмотрением отдельной системы. После деления на еМ' это равенство принимает внд Р,+Р,+...
+Р,=1; (2) здесь Р,=!(*,)М означает, в соответствии с определением (1), вероятность появления случая г. Равенство (2) показывает, что сумма всех возможных вероятностей равна едииипе. Зто равенство называется условием нормировки вероятностей. Если воспользоваться обозначением суммы ~, приведенным в (М.!), оно может быть записано короче: а (3) Какова вероятность обнаружения случая г либо случая з? В нашем ансамбле имеется,)! „систем, отвечающих случаю г, и,ч, систем, отвечающих случаю ь. Таким образом, либо случаю г, либо случаю соответствует (М;+м1г,) систем ансамбля. Соответственно вероятность Р (г пли з) появления случая г или з равна Р(г или з) =' " Таким образом, (4) П р и и е р. рассмотрим бросание игральной кости.
Благодаря симметрии, вероятность выпадения любой грани куба одинакова и равна 1/6. Так, вероятность выпадения единипы равна 1/6, и этому же равна, например, вероятность выпадения двойки. Из равенства (4) следует, что вероятность выпадения либо единицы, либо двойки будет равна 1!6-1- 1!6 = 1!3. Это, разумеется, очевидный результат, так кан случаи 1 и 2 соответствуют одной трети общего числа всех возможных исходов 1, 2, 3, 4, 6 и 6. Соотношение (4) можно немедленно обобщить для большего числа исключающих друг друга исходов. Так, вероятность появления любого одного из нескольких исходов просто равна сумме соответствующих вероятностей.
В частности, из условия нормировки вероятностей следует очевидный результат, что сумма вероятностей, написанная слева в равенстве (2), представляющая собой вероятность наступления либо исхода 1, либо исхода 2, ..., либо исхода а, равна 1, т. е. является достоверностью. Действительно, все возможные исходы опыта исчерпаны случаями, пронумерованными от 1 до и. Сивмеслчмые ееролгпнгюгпи.
Предположим, что в исследуемой системе возможны два различных типа событий, например, сх возможных событий типа г (где индекс г = 1, 2, ..., а) и (1 возможных событий типа з (з = 1, 2, ..., ()). Обозначим через Р„вероятность совместною появления события г и события з. Зто означает, что в ансамбле, состоящем нз большого числа )! одинаковых систем, ,)1„ таких систем характеризуются совместным появлением события г и события з. Тогда Р„ =— еМ;./аа!". Обозначим, как обычно, через Р, вероятность появления события г (независимо от появления события типа 3). Для этого в нашем ансамбле мы ие дозжны обрашать внимания на события типа к и подсчитывать число Д', систем, в которых обнаружено событие г, при этом Р„=е!",)Я. Аналогично, через Р, обозначим вероятность появления события з (независимо от появления события типа г).
Обратим внимание на специальный, но очень важный случай, когда вероятность появления события типа г ничем не связана с появлением или отсутствием события типа з. Такие события называются статистически незавнеожыжн, или некоррелироеанныеии. Рассл!отрим теперь те системы ансамбля, в которых обнаружено данное событие г. Число таких событий равно е! „, Независимо от характера события г, некоторая доля Р, этих систем обнаруживает также событие з. Таким образом, число,У„систем, для которых обнаружены совместно события г и з, равно !!"„=-,У,Р,. Соответственно, вероятность совместного появления события г и события з равна Мы получили, что независимы, то (5) Заметим, что вывод (5) не верен, если события г и з не являются статистически независимыми.
Равенство (5) легко обобшитзи совместная вероятность наступления более чем двух статистически независимых событий равна произведению отдельных вероятностей. П р и и а р. Предположим, что рассма~риваемая система А состоит из двух игральвых костей А, н Аз. Событием, или случаем, типа г может быть выпадение любой из шести стороя кости А,, аналогична, событие гвпа ь заключается в выпадении некоторой стороны кости Аз. Конкретное событие в нашей системе А заключается в выпадении какой.го заданной стороны кости А, и заданной стороны другой кости А,. Опыт, заключающийся в бросании обеих костей, будет иметь Зб возможных событий.
Чтобы высказать какие-то вероятностные утверждения, необходимо рассмотреть ансамбль, состоящий из болызюга числа М одинаковых пар игральных костей. допустим, что каждая кость совершенно снмметричнз, так что выпадение любой стороны равновероятно. Очевидно, что вероятность выпадения данной стороны г равна г/з.
Если кости не взаимодействуют между собой (например, они не намагничены. так что нет сил, стремящихся ориентировать одну кость относительно другой) и их бросают в точности одинаковым способом, результаты бросания можно считать статистически независимыми. Тесла совместная вероятиость Р„того, что кость А выпадет стороной г, а кость Аз стороной з, равна ! ! 1 Р, Р, Р= —.
° — = —. ы г' з Ь б 3б Этот результат впвлна очевндея, так нак рассматриваемый случай является ндним нз $.6 36 возможных. Й,З. Биномиальное распределение' Мы достаточно подробно познакомились со статистическими методами, чтобы перейти к количественному рассмотрению некоторых физически важных задач. Рассмотрим, например, идеальную СИСтЕМу яз У ЕПИИОВ, Каждий ИЗ КатарЫХ раВЕН г,гэ. С КаждЫМ СПИ- иом связан магнитный момент р,. Зтот пррциер особенно интересен, так как здесь й~ мы имеем дело с наиболее простой снстеэюй, описываеь)ой законами квантовои мехайикн.
Ее часто используют в качестве модели более сложных систем. Для общности допустим, что система спиноз находится во внешнем магнитном Рис. 2Л». енот»ма иэ М спина». ПОЛЕ В КаЖДЫЙ МаГНИТНЫЙ МОМЕНТ МО р онмт ггм в частггом случаи жст быть направлен либО по полю и'.— -4. К» алаи строппа поивэм- ваит напраалснна магнитного мо(«вверх», параллельно полю В), либо монт» спингг, Виэшнао мэгнимша против поля («вниз», антнпараллельно полю). Предположим, что система спиноз находится в равновесии.
Статистический ансамбль, состоящий нз ст таких систем, будет независим от времени, Рассмотрим какой-то спин и обозначим через р вероятность того, что магнитный момент направлен вверх, а через г) — вероятность того, что он направлен вниз. Так как этими двумя ориентациями исчерпаны все возможности, то условие нормировки (3) дает (6) р+с) — -1 или 4) = 1 — р. Если поля нет, т. е..В = О, то нет и выделенного направления в пространстве, так что р = г) =- г/э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
