Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Численные оценки Мы показали, что поведение макроскопических систем становится понятным, если принять, что они состоят из молекул и атомов. Наше рассмотрение имело„однако, чисто качественный характер и его следует дополнить выяснением порядка величин, с которыми ыы имеем дело. Для ориентации 'мы произведем оценки скорости Рнс. 1ЛЪ <ромме а«алена газа л намерястся прн помощн манометра. сассояпзсгп нз О-образной трубка. наполненной ртутью. Н трубке устанзалнаасэсп такая нмсота Й столбнка ртутн, чтобы лаплепне, оказмьаемое этим сталбпком. уранн*ае~ззнзалось пннлекнем газа.
Рнс. 1.31. Этот рисунок пллщстрпрует етолкпоненпе мо. лекул газа с площадкой А на одной нз стс пок сосуда 1ось з перпенлнкул«рна к плоскости яертежа.з ') Через л раньше обозначалось число молекул в одной из половин сосуда, но зто ие должно иас смущать. В дальнейшеи числа молекул в единице объема мы иногда длк краткости будем называть концентрацией молекул. движения молекул и частоты их столкновений друг с другом. Обратимся опять к простому примеру идеального газа.
Давленое идеального газа. Если газ находится в каком-то сосуде, чо удары молекул газа о стенки сосуда )число таких ударов огромно) приводят к появлениюсилы, действуюШей на каждый элемент площади стенок. Сила, приходящаяся иа единицу пло1цади,называется давлгниелй Р газа. Среднее давление Р газа легко измерить с помошью манометра. Его также можно вычислить, если известно число молекул, и обратно, по измеренному давлению можно судить о количестве молекул. Итак, рассмотрик1, как приблизительно вычислить давление идеального газа. Пусть идеальный газ состоит из йУмолекул, каждая из которых имеет массу пк Предположим, что газ находится в равновесии и что он заключен в сосуд, имеюший форму прямоугольного параллелепипеда и объем )У.
Число молекул в единице объема будет равно п = ЛУ/)У *). Боковые стороны сосуда могут быть параллельны декартовым осям координат х, у, г, как показано на рис. 1.34. Рассмотрим одну нз стенок сосуда, например, правую стенку„ перпендикулярную к оси х. Выясним сначала, сколько молекул ударяет в поверхность стенки площадью А в течение короткого промежутка времени б Молекулы имеют разные скорости, но так как нам достаточно приблизительного результата, мы можем считать, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной средней скорости и, Поскольку молекулы движутся в разных направлениях, то в среднем можно считать, что одна треть молекул, находящихся в единипе объема, движется вдоль оси х, одна треть — вдоль осп днеше одна треть — вдоль оси г.
Из молекул, движущихся вдоль оси х, половина (нли ',гап) молекул движется в направлении +х к нлоп!алке Л, в то время как другая половина движется в противоположном направлении, — х. Любая молекула, имеющая скорость о, направленную по осн +х, за время ( сместится вдоль этой оси на расстояние, равное ог. Если такая молекула расположена на расстоянии Й от площадки Л, то через время г' она ударит в нее, но если она находится на большем расстоянии от этой площадки, то за время г она не успеет дойти до стенки *), Среднее число молекул, которые ударяют в плошадку Л зв время й будет определяться числом молекул, имевших скорость, направленную вдоль оси +х, и содержащихся внутри цилиндра с площадью основания А и высотой оп Следовательно, это число равно произведению 'гагг (среднего числа люлекул в единице объема, имеющих скорость, направленную вдоль оси +х) на объем цилиндра Абй г! ( А 0 ( ) Если мы разделим это выражение на Л и на время г', то получим приближенное значение вели шны У„показывающей, какое количество молекул ударяет в единичную площадку за единицу времени.
(Зта величина называется ггляггнгжтьго потока гнолекул.) Таким образом, (18) Вычислим теперь среднкяо силу, действугощую на единичную площадку в результате ударов молекул. Когда молекула, движущаяся по наггравлению +х, ударяет в стенку, ее кинетическая энергия '(атоа остаетсЯ неизменной. (Это должно быть спРаведливо хотЯ бы в среднем, так как газ находится в состоянии равновесия.) Величина импульса молекулы должна также в среднем оставаться ненз- *) Поскольку временной интервал Г может быть выбран достаточно малым (например, его можно сделать значительно иеньннм, чем среднее время между столкновениями самях молекул), то столкновение данной молекулы с другими молекулами в течение этого интервала маловероятно и им можно пренебречь. 51 меккой: молекула, приблизившаяся к стенке с импульсом +тсг в направлении оси +х, отскочит от стенки, имея импульс — ти, направленный вдоль оси — х.
В результате столкновения со стенкой момент молекулы вдоль оси +х изменяешься на — гпо — пто =- = — 2ти. Согласно закону сохранения импульса, в результате соударения стенка получает импульс, равный +2лш ц направленпын вдоль оси +х. Но по второму закону 11ьютона средняя сила, действующая на стенку со стороны молекул газа, равна средней скорости изменения импульса, испытываемого стенкой в результате столкновения с молекулами. Поэтому среднюю силу, действующую иа единичную площадку стенки (т. е.
среднее давление Р на стенку), можно получить простым умножением: г средний импульс 2тэ, ~ переданяый стенке при одном столкновении с аюлекулой | среднее число ударов молекул в единичную площадку за одну секунду Таким образом Р = (2гии ) У, = 2гпо ~ —. гш 1 у мли Р=з (19) Как можно было ожидать, давление Р возрастает при увеличении конпентрации молекул, так как при этом увеличивается число ударов о стенку, и при увеличении скорости молекул, так как быстрые молекулы чаще взаиьюдействуют со саженкой и при каждом ударе передают ей ббльший импульс. Так как средняя кинетическая энергия молекулы приблизительно равна з) з еол — лтоз 1 (20) то соотношение (19) может быть переписано в виде Р = — пе™.
3 (21) з) Мы прййебрегаем здесь различием между оз, средним квадрата, и оз, квадратом средиего. 62 Заметим, что как выражение (19), так и выражение (21) зависят только от кодцецтрацин молекул и не завися~ от их природы Поэтому эти,ч(ыражения справедливы для' любых молекул, например, молекул Не, Хе, О„й(з или СН,. Таким образом, среднее давление идеального газа, заключенного в сосуде с фиксирован- (24) Здесь мы использовали выражение (23). Из (25) следует, что число й'в равно также числу молекул с молекулярным весом р, общая масса которых составляет р грамм. Число Ф, называется числам Авогадро. Один моль вещества определяется как количество вещества, состоящего из А', молекул или атомов этого вещества. Следовательно, моль молекул с молекулярным весом р имеет массу, равную р г. Экспериментально показано, что число Авогадро равно Аг„= (5,02252 ~- 0,00009) 1О'з ьголекул(моль.
(25) (См. таблицу физических констант в конце книги.) Воспользуемся теперь выражениями (!9) и (21) для давления газа, чтобы оценить молекулярные величины для азота.((чз), газа, являющегося основной компонентой воздуха. Экспериментально установлено, что при комнатной темпера- *) Напомним, что данный изотоп ядра Х обозначается символом Х". Это обозначение показывает, что ядро атома состоит из и нуклонов (протонов+нейтронов). Атомы, имеющие ядра с различным числом нейтронов, но с одним и тем жв числом протонов, химически подобны, так как нх электронная оболочха имеет одинаковое число электронов. ным объемом, однозначно определяет среднее значение кинетической энергии молекул этого газа. Часленньге аг(енки. Прежде чем перейти к численным оценкам, полезно напомнить некоторые важные определения.
Массу т атома или молекулы удобно выражать в некоторых стандартных единицах массы т,. В соответствии с существующим международным соглашением (прннятым в 1960 г. и названным единой шкалой атол1ных весов), эта единица массы равна одной двенадцатой части массы атома определенного изотопа углерода, а именно, изотопа С" *): л7с (22) Таким образом, масса атома С" содержит ровно 12 единиц массы, а масса атома водорода приблизительно равна одной единице массы. О~ношение массы т атома (или молекулы) к единице массы т, называется атомным весом атома (нли могекулярным весам молекулы) и обозначается буквой рс (23) ~г'е Из этого определения следует, что атомный вес С" равен 12.
Удобным макроскопическим числом атомов или молекул является число У, атомов массой т„которые вместе имеют массу 1 грамм (г). Поэтому Л', равно А ч ===— ч=йы' Это выражение может быть переписано в виде (25) туре и атмосферном давлении (10л дин)сага) масса азота, находвнгегося в сосуде обьемоч в один литр (10з слз), раюм 1,15 г. Так как молекулярный вес атома азота М равен 14, то молекулярный вес молекулы азота )Чл равен 2 14= — 28. Эго значит. что в 28 г азота содержится число люлекул, равное числу Лвогадро. Полное число молекул в сосуде, таким оаразоль равно 1,15 гУ=-(6,02 10за) — ':=-2,47 !О'л молекул, 28 так что й) 2,47.10лл л=- — = — ', 2,5.10'з люлекул/сиз.
!Оз Используя выражение (21), чожно получить выражение длн средней кинетической энергии молекул азота: — 3 р 37 1Ол еич — — =.— ( ., ) ж 6,0 1Очы зрг. 2 н 2 (,2,5 10мг (27) (28) Так как Фя молекул азота(Ф„ — число Лвогадро) имеют массу, равную 28 з, го масса одной молекулы азота ранна 28 (29л Используя выражение (20), лнл получаем, по 2еьи 2 (6 О, 10- ы) 4,65 10-"т или и 5,1 10л с,гггсгк.
(30) Среднял длина свободного пробега. Оценим среднее расстояние (, которое пролетает молекула газа, прежде чем она столкнется с другой молекулой. Величина ( называется средней длиной свободного глробега молекулы (иногда для краткости мы будем писать: свободный пробег). Упрощая задачу, мы можем считать, что каждая молекула имеет форму сферы и что лткду любыми двумя молекуламп действуюг те же силы, что и между двумя твердыми сферами радиусом а. Это зна. чит, что молекулы не взаимодействуют друг с другом, пока расстояние Й между их центрами болыпе 2а, и взаимодействуют (т. е. сталкиваются), как тот!ько К(2а.
Рис. 1.35 иллюстрирует взаимодействие двух таких молекул. Здесь молекула А' с !итается неподвнхо ной, а молекула А приближается к пей с некоторой о!носительной скоростью У таким образом, что центры молекул находятся па расстоянии Ь друид от друга. Очевидно, что молекулы не столкнутся, если (г)2а, и столкновение произойдет, если (лч .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
