Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Однако, если результат данного *) Акт наблюдения ьчожногтрактовать как опыт, результат которого совладает с результатом наблюдения. Поэтому нет необходимости проводить различив между опытом и наблюденнсы. ") Такая ситуания имеет ыесто, например, в квантовой, механике, где резуль тат изыерений, совершаемых в микроскопической систеые, не может быть предска.зан с полной однозначностью. одиночного, опыта и не может быть указан, все же иногда молрно, сде,.
лать весьма важные выводы о результатах большого числа идентичных опытов. В таком случае мы говорим о статистическом описании системы и ггспользуем для та)[ого описания, методы глнории взрбялт'; нося»ей. Это описание можно выполнить. следующим образом. Вместо того чтобы иконпевтриронать наше внимание на данной системе А, которая нас интересует, рассмотрим набор иийтем, (анг сижбль в терминологии, принятой в статистике), состоящин из большого числа й" <одннаковых» систем.
В принципе 4' можно представить себе сколь угодно большим (е)г — оо). Системы предполагаотся «одинаковыми> в том смысле, что каждая пз них удовлетворяет тем же условиям, которым удовлетворяет система А. Это значит, что мы считаем каждую из систем приготовленной по гвму же рецепту и подвергнутой тому же опыту, что и система А. Мы можем теперь спросить, в какой части случаев будет иметь место данный конкретный результат опыта? Чтобы быть точнымн', нам следует иметь возможность каким-то образом пронумеровать нли обозначить различные и исключаюшие друг друга результаты опыта, (Полное число таких возможных результатов может быть ионечным илн бесконечным.) Обозначим теперь некоторый определенный результат опыта индексом г и предположим, что из н7 систем, образующих наш ансамбль, Д; систем дали такой результат.
Тогда отношение Р,— = "—;., (при Д' оо) (1) ! ай называется нероятноетью появления результата г, Если нэ" очень велико, то можно ожидать, что повторение того же опыта с данным ансамблем приведет к тому же отношению Р„. Поэтому отношение (1) дает однозначный результат в пределе, когда,т' может быть сделано произвольно большим. Это рассуждение показывает, что для измерения вероятности любого возможного результата опыта с данной системой необходимо повторить этот опыт на большом числе одинаковых систем *). Несмотря на то, что результат данного частного опыта нельзя предсказать, стптистическия теория позволяет нредсказать верояглностпь появления каждого из возможных результатов опыта.
Предсказанные вероятности можно сравнить с вероятностями, измеренными на опыте с ансамблем одинаковых систем. рассмотрим несколько конкретных примеров. Бросание монеты или игральной кости. Пусгьнашвпыт заключается в бросании монеты. Он нме«т два возможных исхода: «орел» или «решка». В прннпипе, результат этом опыта может быть полностью предсказан, если нам известно все об условиях бросания монеты и об ее взаимодействии с поверхностью стола. Лля такого предсказания необходимо произвести сложные вычисления, ') Если сосгояние системы не зависит от времени, то с равным' успехом мржно одни и тот же опыт.повторить,)1» рав,иад одной данной системой.
Прн эе»м, разуМеется, нужно быть уверенным, чр» в начнзе каждого опыта система находится и одном и том же начальном состоянии. 3 ф. геаФ асшшая«мш нв законах классической механшШ. Нв самом же деле мы не рзспаларв«ш ишшыми данными аб условиях бросания вшяепв в не можем поюаму предсвааать результат данного бросания. (Даже если бы мы имели полную ннфармлвню о начальных условиях в мотли произвести все вычнслення, иас не удовлвпюрвл бм спмв ажнкный способ получения результата.| Статнствч«сная (юрмул правка етого опыта очень проста.
Достаточао рассмотреть ансамбль. с»» стоящий нз очень большого числа одинаковых монет. Бу. дем бросать зтн монеты одинаковым приемом н подсчитывать число случаев выпадения «орла» или «решкн» 'Л Доля таких случаев давг соответственно измеренную вероятно«ть р появления «орла» нли вероятность д появления «решки». Я Статистнчесиая теория должна уметь предсказывать эти вероятности. Например, если центр масс монеты совпадает с ее геонетрнческнл« центром, то нз соображений симу р метрив следует, что в законах механики не содержится ничего, что позволило бы различить «орла» и <решку». В таком случае половина экспериментальных результатов долж° на дать «орла», другая половина «решку», поэтому р=а= Ув.
Сравнение с опытом может подтвердить нлн опровергнуть такую теорию. Например, если «орел» появляется чаше «решки», мы будем считать, что теория неверна в той части, которая предполагает совпадение центра масс с геометрам ческнм центрам. Рассмотрим теперь несколько более сложный опыт бросания Ж монет. Бросание каждой монеты имеет два возмож«яф» .7 ~~ ) ных исхода, поэтому бросание т монет приводит к появлению 2Х2Х ... Х2=2ж результатов *'|.
Статнсгическаа формулировка этого опыта заключается з том, что вл1есто ф» Р одного набора из М монет мы рассматриваем ансамбль, состоящий из Д'таких наборов по Ж монет в каждом, н пэд каждым набором производим одинановый опыт. Вопрос, р„о зд ч, а„;в,. который может представлять интерес прн таком одинаколить ярол«являя»я о вом бросании наборов монет, заключается, например, в «вв ар«о«в»я лвяяоа юзов»вы" Р«'тл "т' верозтности появления одного нз 2Л' возможных резуль»о «тж рв««мотов» татов опыта. Примером менее детального вопроса является я»«я»аль. «««то«я«»а НаХажденнЕ вЕраятнасти ТОГО, чта П мОнЕт нэ наШеГО наба»в«авив монет. Нв р».
рэ выпадут «орлом», а остальные (г«' — и| монет выпадут «Хяя« во»в»во» со«то. «рвшкай». явяв вя««валя яо«ля Задача о бросании набора из «у одинакогых игральных вро«ввяя в«ов монет. костей имеет, конечно, аналогичный хараитер. ЕдннственГявюл 0 о»в«явят ° орял». «в»вол р — ное различие связано с тем, что бросание любой кости дает «рошвв».
шесть возможных исходов, в зависимости от тога, какая из шести граней смотрит вверх. Исход некоторого опыта или результат наблюдения часто удобг|о обозначать простым словом случай. Заметим, что вероятность реализации данного случая существенным образом зависит от доступной нды информации относительно рассматриваемой системы. Действительно, этя информнния определяет нащ статистический ансамбль, состоящий нз систем, свойства которых совпадвютсосвойствами рбссыбтртидемой системы. Поясним это нб следующем примере. '| мы можем поступить иначе, бросая э|г' раз одну и ту же монету я подсчншввая сзучан «орла> в «решки».
я«у В азотном случае «у=4 ваймажяы 2в 1$ аозможнмх реэультатоа. Онн перечислены в таба. 1.1 (стр. 20|, тле букву эу шпкиа принять эз «оран»; з букву (у аа «решку». П р и м с р. Нас интерссуег следующий вопрос: какова вероятность того, что житель Соединенных Штатов окажется в больнице в возрасте лзезкду. 23 н 24 го- дами. В этом случае мы должны рассмотреть ансамбль, состоящий из большого числа жителей Соединенных Штатов, и определить.
капая их доля между 23 и 24 го- дами жизнк окажется в больнице. предположим. что существует дополнитвбьнов условие, заключаквцссся в том, что зто женшины. Ответ на наш вопрос измйнится. так как теперь 'мы должны будем рассмотреть ансамбль женщин — жительниц Соединенных Штатов н определить, какая их часть оказалась в больнице в возраста от 23 до 24 лет. (Очсвидно, что благодаря дстооождению женщины этого возраста будут находиться в больнице ча- ша, чем мужчины.) Системы с большим количестеож частиц. Рас- смотрим макроскопическую систему А, состоящую из многих частиц.
Такой системой может быть, например, идеальный газ, содержащий М мо- лекул, нли система из М спинов, или жидкость, нли кусок меди. Ни в одном из этих случаев мы не можем предсказать поведение каждой части- цы, образующей систему, к тому же такоепред- сказание ие прсдставляег интереса *) и поэтому следует обратиться к статистическому рассмот- рению системы А. Вместо тогочтобы исследовать р' '::=.,'::.!.,".д'.: одну такую систему, рассмотрим ансамбль, со- стоящий нз большого числа ой'систем, аналогичРвс.
2.2 Статвсткчвных системе А. Чтобы высказать некоторые ста- оков очвсаввв окот»мы тистические утверждения о нашей системе в собой газ, вакаючввмомент времени (, мы произведем в этот мо- вмй в «щкк. Ив рваувквсввматвческв воыент времени наблюдения над М' системами. казак стазвствчвсквй Эта даСт НаМ ВЕрОятНОСтЬ Р,Я НабЛЮдЕНИя аввамбвь вз Д сватам, воаобвмх раааматрв. определенного результата опыта в момент вре- за»мой системе А. мени й Предполагаемая процедура станет зна- чительно более ясной, если мы вообразим, что имеем фильмы, на которых снята каждая система нашего ансамбля.
Поведение любой, скажем, й-й, системы ансамбля в зависимости от времени мы можем теперь 'изучать, рассматривая и-й фильм (для этого нужно смотреть соответствующую горизонталь на рис. 2.3). С другой сто- роны, для'получения каких-то вероятностных утверждений о си- стеме в некоторый момент времени г необходимо рассмотреть те кадры на всех фильмах, которые относятся к определенному момен- ту времени г' (для этого нужно изучить кадры, расположенные на рис. 2.3 вдоль вертикали, и сосчитать долю кадров, на которых об- наружен интересующий нас результат опыта). Мы' говорим, что свойства статистического ансамбля не зависят от времени, если число систем, отвечающих данному случаю,' одно и то же в любой момент времени (или, что то же самое, есни ') В точном квантойомсхаиичйском описании системы нвстатистичвские предсказания невозможны принцийиальне.
Прн классическом описании точные предсказания о системе требует знании положения н скорости навоюй частицы в некоторый момент времени. Такая информация нам недоступна. 3» Вв З: х ккн о~» овх 'о й~з ввк *во як д х ЗЙ" и ".4 н к в вко воо к овв йв с в х н в в с', о о" с.й. ° ххх х в вйз й в в в ,со* воо а3 $'к Я,о с'х в 'З в кв В в в в,: н З 4 хи З х взв Яхй З со ох в в в к ,со вв ~! 4' с Яох 0~в й З В 4. внв 4 в*о в й свй 3 4 дйз вх к 4,' В 4' в 'вв нв йав йоши К 4 й в в 3«ф З за о в ов кво овх о кк а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
