Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 20
Текст из файла (страница 20)
где суммирование производится по всем всвможным значениям переменных г и з. Если переменные статистически независимы, так что формула (34) справедлива, то из (35) следует И=ХОР,Ю(и,) а(о.) =ХЕ Ю(и,)1 [Р.а(о.Н = = ДР,1 (и,)~ЯР,К(о,)~. Но первый множитель справа есть просто среднее значение 7(и), а второй равен среднему значению )(д). Поэтому мы получаем: (36) т. е. среднее значение произведения равно произведению средних значений.
Дисперсия. Предположим, что мы имеем переменную и, и вероятность того, что она принимает значения и„равна Р,. Сушествует несколько параметров, с помошью которых обычно характеризуют обшие свойства распределения вероятности. Одним из них является среднее значение переменной, т. е. величина и, определение которой дано формулой (30). Этот параметр указывает на некоторое центральное значение, около которого распределены значения переменной и. Часто бывает нужно измерять отклонения переменной от этого среднего значения, т. е. величину Ли= — и — и. (37) Заметим, что среднее значение этой величины равно нулю. Действительно, из (32) имеем Ли = и — и =- и — и = О.
(38) Удобно иметь параметр, который характеризовал бы величину разброса возможных значений и около среднего значения й. Среднее значение самой величины Ли не может быть таким параметром, так как Ли в среднем одинаково часто принимает как положительные, так и отрицательные значения, и среднее значение Ли равно нулю согласно (38). Однако квадрат этой величины не может быть отрицательным. Его среднее значв$ие равно а % (Ли)* — У Р,(Ли,)'= — ~ Р. (и,— и)' (39) и называется дисперсией величины и. Дисперсия не может быть отрицательной, так как все слагаемые в (39) положительны *).
Итак, (Ли)а ~ )О. . (40) *) Заметем, что (дв)ч не совпадает с величиной (Зв)а. Зто значит, что возвести в квадрат н затем усредннть †совс не то ме самое, что усредннть, а затем возвести в квадрат. Дисперсия равна нулю только в том случае, если аси возможные значения и, равны и. Она тем больше, чем больше вероятность получить зйачення и, заметно отличаю!циеся от среднего. Таким образом, дисперсия являетея удобной мерой разброса значений переменной и. Дисперсия имеет размерность квадрата величины и.
Линейной мерой разброса возможных значений и является квадратный корень из дисперсии, т. е. величина Ли — [(Ли)т] Ч», (4() размерность которой совпадает с размерностью и. Эта величина называется стандартным отклонением Ли. Из определения дис- персии (39) следует, что даже несколько значений и, далеких от и, дают большой вклад в Ли, если они наблюдаются с заметной веро- ятностью. Ббльшая часть значен!гй и находится в пределах значений порядка Ли, лежащих вблизи среднего значения и. П р н м е р. Вернемся к примеру с четырьмя спинами, когда я=4=У». Здесь п=2 н дисперсия л равна, по определению, (Ьп)' = ~~', Р (и) (и — 2)т = 1 4 6, 4 1 = —.
° ( — 2Р 1- — - ( — П'+ — ° (О)е+ —, ° (П'+ — ° (2)з =1. 16 16 Гб 16 16 Ста»гдартное отклоненне от и равно Ьп= Р'1=1. Аналогнчно можно вычислить днсперсню магнитного момента. Так как й»=0, то мы имеем, по определению, (Лт)з= ~ ~Р' (т) (т — 0)з= »и 1, 4 ' 6 4 ! — ( — 4)' + †. ( — 2)з+ †.
° (0)з + †. (2)»+ в (4)е = 4, 16 !6 Гб 16 16 так что Лт=- )» 4=2. Провернм справедливость этого результага. Так как т=О, а л — — и'=2, то для любых значений т нлн и мы имеем Ьт=т=л — п'=л — (4 — л) =2п — 4=2(л — 2), нлн Лт = 2 (и — и) =-2Лп. Такнм образом, (Лп») а = 4 (Лп)», что совпадзег с прямыл» расчетом. Знание вероятности Р„различных значений и, дает полную статистическую информацию о распределении значений и в ансамбле, С другой стороны, знание нескольких средних величин, таких как, например, и и (Ли)*, дает' только часть информации о распределении вероятности, которой недостаточно для получения всего распределения.
Однако эти средние часто можно вычислить простыми методами, без применения вероятностей. Это особенно важно в тех случаях, когда точное вычисление вероятностей является трудной задачей. В следующем разделе мы поясним это на примерах. 2.5. Средние значения для системы спинов Рассмотрим идеальную систему из М спиноз, равных ',~,.
Этн спины статистически независимы, что позволяет нам весьма просто вычислить некоторые средние значения в весьма общих случаях. Для этого нет необходимости знать вероятности, подобные тем, которые следуют из формулы (!4) для Р(п). Начнем с изучения такой физически интересной величины, как полный магнитный момент М в направлении магнитного поля.
Обозначим через р,. составляющую полного магнитного момента, возникшую от (-го спина. Эта величина может быть равна либо р„, либо — р,. Полный магнитный момент равен сумме магнитных моментов от всех спинов: М=р1+рз+" +р,у или, в более краткой записи, У М=Д рп (42) (4Ь) й(ы хотим вычислить среднее значение и дисперсию полного магнитного момента.
Чтобы получить среднее значение М, нам достаточно усреднить обе части равенства (42). Общее правило (32) позволяет менять порядок усреднения и суммирования, поэтому мы можем написать М=Х рс=Хр ° 1 ! г= 1 Но вероятность того, что магнитный момент ориентирован вверх нли вниз, одна и та же для всех магнитных моментов. Поэтому среднее значение магнитного момента одинаково для всех спиноз (т.
е. р, = р, = ... = рн) и мы обозначим это среднее через р. Сумма (43) состоит, таким образом, из Ж одинаковых) слагаемых и может быть написана в виде М = й~р. (44) Этот результат почти очевиден. Он означает, что среднее значение магнитного момента системы из Ф спинов в Ф раз больше среднего значения магнитного момента одного спина.
Вычислим теперь дисперсию М, т. е. величину (ЛМ)*, где Вычитая из (42) среднее (43), имеем М вЂ” М =,~' (Р» — Р), (46) нлп л ЛМ=,'у~ ЛРь где ЛР»' = Р» Р. (47) Чтобы найти (ЛМ)*„умножим сумму (46) саму на себя. Получаем (ЛЛ1)» = (ЛР + ЛР +... + Л»»м) (ЛР Ч- ЛР +... + Лрм) = =- ](ЛР,)'+ (ЛР„)" +... + (Л)»м)"] + (ЛР,ЛР»+ ЛР,Лц, +... ... + ЛР,ЛРх»+ ЛР,ЛР, + ЛР,ЛР,+...
т ЛРмЛРм»). илп (ЛМ)'=- Д (ЛР,)'+ ~' Д (ЛР»)(ЛР,). (48) » 11ервый член справа возникает при возведении каждого слагаехюго суммы (46) в квадрат. Второй член справа образуется от перемножения разных членов суммы (46). Образуем среднее значение (48). При этом мы снова используем свойство (32), позволяюшее менязь порядок усреднения и суммирования. Имеем (ЛМ)' =~' (ЛР,)'+ ~' 'У" (ЛР»)(ЛР,). (491 » Ф- » Во втором члене, где 1Ф», все произведения относятся к различным спинам, которые, как мы знаем, статистически независимы.
Поэтому, на основании свойства (36), среднее'значение каждого такого произведения равно произведению средних значений. Имеем для» ~1 (ЛР») (Л1» ) ==(ЛР») (ЛР ) = — О, (50) так как Л1»» = Р» — и =- О. Таким образом, каждый перекрестный член в (49) после усреднения исчезает (он одинаково часто бывает положительным и отрицательным) и (49) сводится к сумме квадратичных членов (ни один из них не может быть отрицательным): (ЛМ)'= $' (ЛР) . Дальше наши рассуждения будут аналогичны тем, которые следовали за формулой (43). Вероятность того, что данный магнитный момент имеет определенную ориентацию, одна и та же для всех моментов, поэтому дисперсия (ЛР;)' Для всех спиноз также одинакова (т.
е. (ЛР»)*=(ЛР»)»= -=(ЛРи)») и мы, обозначим ее (Л1»)». Сумма (611 состоит из й/ равных членов и сводятся к Из этого выражения следует, что дисперсия полного магнитного момента просто в й/ раз больше дисперсии магнитного момента отдельного спина. Из (52) находим с ЛМ=-Рсд ЛР, (53) где величина ЛМ=-=((Я4)'1'* и ЛР= — ((ЛР)')" представляют собой, в согласии с общим определением (41), стандартные отклонения полного магнитного момента и магнитного момента отдельного спина соответственно. Формулы (44) и (53) показывают, каким образом величины М и ЛМ зависят от полного числа сппнов в системе. Если р~0, то среднее значение полного магнитного момента системы растет пропорционально М. Стандартное отклонение ЛМ (оно измеряет разброс значений М около среднего значения М) также растет при увеличении /«', но этот рост пропорционален только корню нз й/.
Таким образом, отношение ЛМ/М уменьшаегпся пропорционально й/-и*. Действительно, из формул (44) и [53) следует, что ДМ ~ сан, если Р ~0, то ===~=). м )'/»'~,р ) (54) В' качестве проверки этого равенства заметим, что в симметричном. Эту зависимость можно проследить на рис. 2.8. Заметим весьма общий характер результатов (44) и (53). Они. зависят только от закона сложения (43) и от того факта, что спины статистически независимы.
Все наше рассмотрение поэтому остается в равной степени справедливым, когда компонента каждого магнитного момента имеет не два, а много возможных значений. (Так бывает, если спин каждой частицы болыпе '/,„так что ее магнитный момент имеет больше двух возможных ориентаций )в пространстве.) Система чссаиц со саином '/» Полученные выше результаты легко применить к частному случаю частип со свином '/,.
Как н раньше, предположим, что вероятность того, что магнитный момент направлен «вверх», равна р, а вероятность обратного направления равна д. В первом случае Р;=Р„, а во втором случае Р;= — Р,. Среднее значение проекции момента на направление «вверх» равно, таким образом: Р = РР» + Ч ( — Р») = (Р— 4) Ро = (2Р— 1) Р«. (55). случае, когда р= д, Р=О, что и следовало ожидать. Диспвреия мйГ- нитного момента спина равна (ЛР)" = — (Р— Р) — = р(Р— Р) +о( — »гз — Р)~. (56) г(о Ро — Р=ра — (2Р— 1) Ра=2Ро(1 — Р) =2Рар Р„+Р =-Р, +(2р — 1) Р, — — 2Р,Р.
Поэтому (56) принимает вид (ЛР)' = р (2р,о)'+ д (2Р,Р)' .=- 4Р; 'рд (р+ д), или (ЛР)' = 4роР'„ (57) так как р+ д 1. Теперь'из формул (44) и (52) следует (58) (56) Стандартное отклонение величины М равно ЛМ = 2 1/ЙРЧ Ро. (60) Если мы напишем М трм где число т=- М/Р, выражает полный магнитный момент в единицах Р„то результаты (58) — (60) примут внд (61) (62) (63) П р и м е р. Предположим, мы чмеем какое-то магнитное поле В н вероитность того, что магнитный момент отдельного спина направлен по полю, ранна Л = 0,51, а и нв пола Ч= 1 — р= 0,49.
Среднее значение магнитного момента системы из Ф спиноз будет равно И =0,0ЗДГРм Стандартное отклонение этой величины следует из (60»; АМ и В 'и' Фрр Ра ж тг Ф»гч. лг М (р — д) =Ж(2р — 1), (Лпт)з = 4Мрд, Ллг = 2 1' М ро. Эти формулы содержат значительную информапию о распределении возможных значений М или лг в ансамбле из систем спинов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
