Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Г!редположнч, что в момент времени 1=.0 течпературз нити быстра возрастает до некоторого большого значения н в дальнейшем остается нензченной. а) Обозначим через ей(х)дх вероятность того, что радиоактивный аточ будет обнаружен по истечении времени 1 в интервале от х ла х-(-дх. (Рйы предполагзеть что 1)зт для всех значений 1, представляющих физический интерес, так как пря высокой температуре нити т достаточно мало.) Изобразите на графике прнчерный ход гз(х) в завнсилюстн от х для след)тощих трех случаев: !) вскоре после 1= — О; 2) по прошествии относительно большого времени 1; 3) по прошествии очень большого вречени 1.
б) На какое среднее расстояние х от начала координат смещается радиоактивный атом за время Л в) Получите формулу для стандартного отклонения бх смещения радиоантивного атома за время 1. 2.8. Вычисление дисперсии. Используя общие свойства среднего, гюкзжите, что дисперсия может быть вычислена по формуле: (би)з =-=- (и — и)ь =-их — и . Последнее выражение справа дает простой способ вычисления дисперсии. Покажите танже, что из (1) следует общее неравенство изр: й.
98 2.8. Средние значения для одиночного спина. Рассмотрим спин, равный )гз. Его магнитный момент !ь с вероятностью р может быть направлен по полю и с ве. роятвостью а= — 1 — р — против поля. В первом случае проекция момента на направ.чеине полЯ Равна Р„, во втоРом она Равна — Рэ. а) Найдите, четгч равно )( и Р'. б) Вычистите(б!г)э, используя для этого формулу (1) из задачи 2.8. Покажите, что полученный результат согласуется с приведенной в тексте формулой (57).
2.10. 1)гравгнства и' (и)'. Предположим, что переменная и принимает значения и, с вероятностью Р, а) Р!спользуя определения и я иэ и помня условие нормировки ~~~~ Р = 1, покажме, что где каждое суммирование производится по всем возможным значениям переменнон и. б) На том основании, что в суьше (1) нет отрицательных членов, покажите, что ' Лэ(и)э, (11) причем знак равенства отвечает тому случаю, когда только одна значение и осуществляется с вероятностью, отгшчнои от О.
Результат (П) повторяет результат задачи 2.8. 2.!1. Неравенство (ггв)за и" ' и' — '. Результат (1) предыдущей задачи допускает немедленное обобщение. (эассчотргмг выражение ~,~~ Р,Р И, "ит(и,— и,)', (О где т — любое целое число. При четном т зто выражение не может быть отрицателькын. Прн нечетном т это выражение положительно, если и, и ив отрицательны или по.чо;кительны одновременно. а) Выполнив показанные в (1) действия умножения, покажите, что в)г .. ггч-,.э и-Э где л===т+1.
При нечетном л эта неравенство справедливо всегда. При л четном оно выполняется, если возможные значения и нсе положительные или все отрицательные. Знак равенства в П П означает, что имеется тольно единственное значение и, осуществляющееся с вероятностью, отличной от нуля. б) Покажите, что частным случаем (Н) ивляется неравенство (П)) справедливое в том случае, если все возможные значения и положительны (или псе отрицательны). Знак равенства отвечает специальному случаю, когда только одно значение и осуществляется с вероятностью, отличной от нуля. 2.12.
Метод алтилигьныл вложений. Рассмогрим прныер, который покажет, ~то различные способы усреднения одной и той же величины могут приводить к существенно различным результатам. Предположим, что кто-то хочет произвести вложение капитала, покупан в начале каждого месяца некоторое число акций какой-то компании. Стончость одной акции г зависит от месяиа покупки ги меняется от месяца к ыесяцу непредсказуемым образом. Рассмотрим два альтернативных метода вложений: Метод А заключается в ежемесячной покупке одного и того же числа з акций, ьгетод Б означает ежемесячную покупку акций на одну и ту же сумму денег т.
После Д) месяцев наш покупатель окажется обладателем 5 акций, за которые ои заплатил М денег. Наилучшим методом вложений, очевидна, является тот, при котором за наименьшее количество денег приобретается наибольшее количество акций, т, е. метод, обеспечивающий большее зна ~ение отношении БгМ а) Получите выражение длн отношения ЯМ в методе А, б) Получите выражение дли 5/М в методе Б. в) Покажите, что Б является лучшим методом вложений, независггл~о от того, каким образом стоимость акций флуктуирует от месяца к месяцу.
(У к а з а н и е. Воспользу итесь неравенством (П1) предыдущей задачи ) 2.13. Сисгпс чи ядер са гпннап 1. Рассмотрим ядро со спинам 1 (это значит, чта момент количества движения ядра равен Ь). Составляющие магнитного момента этого ядра вдоль данного направления могут иметь три возможных значения, а именно +цо, 0 и — ро.
Предположим, что ядро не является сфернчески-спммст- ри шыч, а имеет, иапргшер, форму' эллипса. Тогда в кристаллической решетке твердого тела будет существовать направление пренмущественнан арнента~гип этого ядра. Пусть вероятность того, что р=ро оудет р, и вероятность того, что О= в — ро, также р, тогда вероятность 0„=0 равна ! — 2р. а) Вычислите г и р'. б) Вышюлите (Лр)а, в) Предположить что твердое тело содержит ЛГ таких ядер и их взаимодепсж вием друг с другом можно пренебречь. Обозначим через М полну' о составлвощу ю магнитного момента вдоль заданнога направления. Выразите Л! и стандартное отклонение ЛМ через го, р и ро.
2.14. Прлчаеаычисление и и (Ло)о. Рассиотрнх~ ндеальныо систему из Л' оди- наковых спнпов, равных )ьх. ь!псла и матитиых мсщентов, юправченных зверхо, можно заппсагь тзк: и=-из+их —,-...+ила !де и;=1, если магнитныа .юменг направлен вверх, и иг= — О, если он направлен вниз. Используя эта выра ' с~те н считая, что спины статистически неззвишшы. а) покажите, что гг)=руги б) покажите, что (Лп)о=-г1 (Ли)'"', в) Предположим, магнитный момент имеет вероятность р быть направленным вщрх и нероятность а=( — р быть направлеьпшвг вниз. Чему равны и и(Ли)о". г) Сосчитайте~о и (Лп)а и покажите, что ваши результаты совпадают с форму. лами (66) и (67), полученными в тексте менее прямым методом.
2.15. Фархтуппии плотности в аизс. Рассмс)трам идеальный газ из М молекул, ноходящпися в равновесном состоянии в сосуде объемом (го. Обозначим через п числа молекул в какой-то части 1г объема. Вероятность р того, что данная ма- лекУла паходитсв в этой части объема, Равна Р=1гг(то. а) Чему равно среднее число и молекул в части объема (г) Выразите ваш ответ через у, у", н (г. б) Найдите стандартное отклонение Лл числа молекул в объеме Р. Напдпте Лл1п, выразив результат через Лг.
!'о " (г. в) Каков ответ на запрос (б), если Р с(ро) г) Каково значение стандартного отклонения Лп при (г д) Согласуется лп ответ на вопрос (б) с этим результатому 2.16. Дробовой эффект. Рассмотрим случайное непускание электроноз с заря- дом е нзкалнваемой нитью вакуумной трубки. С хорошим приближением х:ажно считать, что непускание данного электрона никак не влияет на неронтность испу- скания других электронов. Рассмотрим любой очень чалый интервал времени Лг. Существует определенная вероятность р того, что электрон будет нспущеи иь лиги в этот интервал времена (тогда а= 1 — р есть вероятност~ того, чта электрон ие будет исаущен). Так как Лг очень малб, то вероятность испускания электрона в те- чение времени Л1 также весьма мала (т.
е. рчъ1), а веронтностью испускания двух электронов в течение времени Л1 можно пренебречь. Рассмотрим интервал вре- мени 1, который во много раз больше Л1. Он содержит(У=-11Л1 малых интервалов Лг, в течение которых может быть напущен электрон. Полный заряд, испущенпый нитью ча время 1, можно записать в виде 1(=до+до+ба+...+6лг, где дг означает заряд, испущенный за время ЛЛ Таким образом, дг=е при испускания электрона и 21=0, если электрон ие был испущен.
!00 а] Чему равен средний заряд Я, пспущенпый нитью за время О б) Чему равна дисперсия (Лг))г заряда О, испущенного нитью за время О Чтобы упростить ответ, воспользуйтесь теч, чта р с!. в) Среднее значение тока ( за времн Г равно 9/Г. Получите величину' отношения дисперсии (Л()з к срелнечу току Я(Г. Покажите, что это отношение равно (ЛУ) з! ) = е(Г.
г) Ток испытывает флуктуации, которые теч нльнее вырп ксны, чеч меньше интервал вречеиг~ Г, т. е, чеч меньше полное число электронов, участвующих и проьессе эзшссвп. Такие флуктушпш называются дробовым эффектом. Вычислите стандартное отнлонепне тока Л(, если среднее значение тока равно 1 мьа, а время измерения равно ! сел, 2.17. Вычис шине среднего квадратичного зни«гнил. Батарея с электродвнжущей силой 1' замкнута |га сопротивление )?, Мощность, рассепваечая на этом сопротивлении, равна Р=рцче. Сама батарея состоит из У индивидуальных элементов, соединенных послеловатвтьно, так что 1! равно сутше электродвижтшнх сил всех этих элементов.
Так как батарея работала долго, то не все элст.гиты находятся в хорошем состоянии. Пусть р — вероятность того, что э. д. с. отдел,. ной ячейки имеет свое нормальное значение о, а Ч= ! — р есть вероятность того, что э. д. с. ячейки по каким-то причинам, например, из-за внутреннего закора. чивания, равна пулю. Отдельные ячейки статистически независимы. Вычис:ште при этих условиях среднюю мощность Р, рассеянную в сопротивлении, в выразите результат через У, о, р и й. 2.18. Оценка оигибок измерения.
Мы измеряем расстояние г 50 ли укладывая госледонательно деревяннып метр 50 раз. Эта операпия сопряжена с ошибками. Поэточу нельзя гарантировать, по расстояние между двумя сосешаыш чсткачн на земле будет в точности равно истру. Наи взвестпо, однако, что расстояние между звуча носледовательньшп четкамп с равной вероятностью лежит че клу 99,8 н !00,2 саг и пе выходит за эти пределы. Повторяя эту операцию 50 раг, чы проложш1 дистанцию, средняя величина которой равна 50 м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
