Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Найдите полную ошибку, вычислив стандартное отклонение в вели ~инс язмеренной дпстанггйп. 2.19. Виффутия ло.геку гьг в газе. Молекула газа может свободно переполняться в пространстве. Обозначим через з се смещение между двумя последоватсльнызш стогткновенпячгь Пусть этп смещения, в первач приближения, будут статистически независичьпш. )Тапсе, так как нег преимупгественного направления в прострапстне, то молекула с равной вероятностью смешается в данном направлении н н противоположном.
Таким образом, среднее смешение а равно 0 (это значит, что равна пулю в среднем и каждаа компонента эгогосчещення, т. е эх=а,=э,=0). Полное счешсние й молекулы после У последовательных столк1ювенин можно записать в виде й =з,+з,-(-за-!-... +агш где з; обозначает смещение ыолекулы. Используя методы, рассмотренные в п. 2 5, ответьте на следую~цпе вопросы: а) Каково среднее смешение молекулы й после М последовательных смещений? б) Каково стандартное отклонение Лй =-((й — й)е~ Л этого сышцения после М столкновений? В частности, чему равно Л)?, если величина кажлого смешения одинакова и равна О 2.20, Распределение смещенигг случиг)нгкх осцилляторов. Смещение простого классического гармонического осциллятора в зависимости от времени имеет впд х=А сов(ю(+гр), где ы — угловая частога колебаний, А — их амплитуда, а гр — произвольная постоянная, которая может принимаю любое значение в интервале 0(~р<2л.
рассмотрим ансамбль, состояшни из таких осцвлляторав с заданной частотой ы и аыплитудой А. Пусть фаза этих осцилляторов является случайной величиной, причем вероятность того, что фаза находится в интервале от гр до гр+д~р, равна просто дцг2л. Найдите вероятность ггэ(х)дх того, что смещение данного осциллятора в моыент времени ! находится в интервале значений ыежду х и х+дх. 101 гллвл з СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЧАСТИК В предыдущей главе мы рассмотрели основные вероятностные идеи.
Теперь мы подготовлены к переходу от качественного рассмотрения проблемы, выполнешюго в первой главе, к последовательной количественной теории систем, состояших пз очень большого числа частиц. Нашей задачей является описание макроскопнческнх систем, основанное на применении законов статистики н механики. Созданная таким образом теория носит название статистической механики. Ее принципы отличаются большой общностью и простотой, и достоинство теории состоит в том, что, исходя из простых и общих идей, она предсказывает результаты, охватывающие огромную и разностороннюю область явлений.
Идеи, на которых основано рассмотрение макроскопических систем, совершенно аналогичны идеям, использованным при анализе простых опытов с монетами. Вспомним нх, 1. Перечисление состояний системы. Мы должны иметь возможность указать все возможные результаты опыта, производимого над системой. Например, состояние данного набора монет после каждого бросания будет описано, если мы укажем, какой стороной выпала каждая монета. П. Спштистический ансамбль. Мы никогда не сможем обладать достаточной информацией о всех условиях бросания монет, чтобы на основании обших законов механики предсказать исход любого опыта.
Поэтому мы используем статистическое описание. Вместо данного набора монет мы рассматриваем ансамбль, состоящий нз очень большого числа идентичных наборов монет, над которыми производятся одинаковые опыты. При этом нас интересует вероятность появления данного экспериментального результата. Эту вероятность можно измерить, определив, в каком числе систем нашего ансамбля обнаружен данный экспериментальный результат. Задачей теории является предсказание такой вероятности. П1. Статистические постулаты.
Теоретическое рассмотрение задачи основано на ряде постулатов. В случае обычных монет, обладающих однородной плотностью, законы механики не дают никаких преимуществ одной стороне монеты перед другой. Поэтому мы постулируем, что априори (т. е. на основании наших предварительных соображений, еще не проверенных опытом) вероятности выпаданпя той или другой стороны монеты одинаковы. Такой постулат вполне разумен и, во всяком случае, ие противоречит законам механики, но его справедливость будет проверена, если мы его используем для таких-то теоретических предсказаний и сравним этп предсказания с опытом. Мы сможем припять наш постулат лишь в том случае, если основанные на нем предсказания подтверждаются опытом.
1Ч. Вычисления еероятноети. Приняв основной постулат, мы можем вычислить вероятность появления любого экспериментального результата, касающегося бросания нашего набора монет. Мы можем также вычислить любые интересующие нас средние значения. Таким образом, мы в состоянии ответить на любые вопросы, которые имеют смысл в статистической теории нашего опыта, Наш подход к изучению систем, состоящих из очень большого числа частиц, весьма близок к задаче о наборе монет. В следующих разделах мы сделаем эту аналогию более ясной. 3.1. Перечисление состояний системы Изучение атомных частиц приводит нас к выводу, что любая система таких частиц описывается законами квантовой механики. Их справедливость подтверждена всей совокупностью известных экспериментов, и эти законы образуют основу нашего рассмотрения проблемы. Из квантовомеханнческого описания системы следует, что в результате точных измерений ее можно обнаружить в одном из ряда возможных дискретных квинтовых состояний.
Полное микроскопическое описание системы заключается поэтому в указании тех квантовых состояний, в которых система находится. Каждое квантовое состояние изолированной системы обладает определенным значением энергии, которое называется уровнем энергии *). Возможно, что одной и той же энергией обладает несколько различных квантовых состояний системы. (Такие квантовые состояния называются еырожденныжи.) Каждая система имеет наименьшее возможное значение энергии.
Этому значению энергии обычно отвечает одно квантовое состояние; оно называется оеноэнылг состоянием системы **). *) Типичным примером системы с определениыыи уровнями энергии является водородный атом. Переход атома из состояния с данной энергией в состояние с меньшей энергией вызывает появление резких линий в спектре испускания атолла. Описание, основанное на понятии об энергетических уровнях, в равной степени применимо к любой молекуле, атому или системе, состоящей нз многик атомов. *') В некоторых случаях наименьшему из возможных значений энергии системы отвечает относительно небольшое число квантовых состояний. В этом случае основное состониие системы называется вырожденным.
103 Кроме основного, система обладает большим (часто бесконечно большим) числом возможных состояний с большей энергией, которые называются возбужденными соспюямилсии системы. Предыдущие замечания имели весьма общий характер. Онн применимы к любой системе, независимо от степени ее сложности. Чтобы сделать их более ясными, мы рассмотрим несколько простых систем, имеющих большое практическое значение. !.
О д и и о ч н ы й = п н и. Рассмотрим одну-ед(шственную частицу, поло. и енпс котопой б(зюс считать, Фикспрованныль Пуст~ ее спин равен»)ю а вели. чина магнитного люмснта равна ц,. Мы говорили уже в п. 1.3, что этот Ей магнитный момент может быть направлен либо вверх, либо вниз (т.
е. параллельно или антипараллсльно некоторому заданному направтению). Систезга, которон является Таблица 3.! Рэс. с.(. Вссыю упроще с «, дсюрв ~мз первьсх уровоеа эисргии ддя пр,жзвсдьвов сястеяы. Каждая черта обозиэчэет во»мою. пое лзевтсвос состояиие системы, в положение черты по вертикэдв уквзывэез сэ энергию системы в этом састовиив Заме.
тии, что пэ эпж схеме миого состоэиеи высют одпу и зч»ке эиергшс о ! ! 2 — ! — Ивд — ', ц„В ра — нв Кваптовыс состояния ( частицы со спином 1)2 и ! магнитным моментом ро, ! находящейся в лсагнитном ' поле В. Каждое состояние ! системы можно обозначгпь, иидексозг г или квантовым: ! числом о. Составлвющая магнитного момента (вдоль ~ ; направления «вверх», за! даваемого полем В) обозначена через Л1, полная энергия систеыы — через Е. Рис. ЗЛ. Нв дпсгрэмме показевы авв уров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
