Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

л (13) у — Г ° где каждое нз чисел лх, п, па может принимать любое из целых положительных значений: л,, пу, па = 1, 2, 3, 4, (!4) Таким образом, каждое данное квантовое состояние частицы может быть задано указанием набора квантовых чисел (и, и, лг). Зтям квантовым числам отвечает определенная энергия, равная, согласно (11) и (13), (! 5) Л!. 1!деальный газ из Ь' частиц в ящике. Пусть система, состоящая из Л' частил, повешена в нщнк, рассмотренный в предыдущем при.

мере. Допустим, что взаимодействием л1ежду частицами можно пренебречь, так что частицы образуют идеальный газ. В таком случае полная энергия газа просто равна сумме энергий отдельньщ частиц, т. е. Е=е,+е +... +гтш (! 6) Рассмотренные выше примеры типичны для квантовомеханического описания, и мы привели их для иллюстрации общих замечаний, сделанных в начале главы.

Мы можем следующим образом подвести итог сказанному. Каждое возможное квантовое состояние 106 где "; означает энергшо г-й ~астицы. Из рассмотренного выше примера следует, что состояние каждой частицы определяется заданием трех квагоовых чисел (л,„, пг, пт,); прн этол энергия частицы определяется выражением, аналогичным (15). Каждое возможное квантовое состояние всего газа в чалом будет определено, если мы укажем ЗЛг квантовых чисел (Лтх Лгу Пгх и х Пах Л х Птчх П ~у Пвг Г Соответствующая этому состоянию газа энергия следует из суммы (16), где каждое слагаемое имеет внд (15). системы определяется заданием ) квантовых чисел.

Число 1 называется числом степеней свободы системы и оно равно числу независимых координат (включая спиновые координаты), необходимых для описания системы *). Любое из возможных квантовых состояний системы может быть указано заданием соответствующих квантовых чисел. Для простоты каждое такое состояние можно обозначить одним индексом г и, таким образом, все возможные квантовые состояния могут быть перечислены в определенном порядке г -1, 2, 3, 4, ... Наш вопрос о наиболее полном квантовомеханическ и описании системы имеет следующий ответ: Микроскопическое состояние системы определяется указанием квантового состояния г, в котором находится система. Полное и точное описание поведения изолированной системы должно учитывать нсе взаимодействия между частицами и давать в качестве результата точное квантовое состояние системы.

Если система находится в каком-то из таких состояний, она останется в нем навсегда. В действительности не существует таких полностью изолированных систем, которые пе взаимодействовали бы со своим окружением. Далее, нет ни возможности, ни смысла рассматривать задачу с такой точностью, чтобы принимать во внимание все возможные взаимодействия между частицами, независимо от их относительного значения. Поэтому квантовые состояния, практически применяемые для описания системы, являются прибдиженньтлаи квантовьпш состояниями, определенными с учетом всех важных динамических свойств частиц, но в пренебрежении некоторыми менее важными остаточными взаимодействиями.

Система, первоначально находившаяся в одном из своих приближенных квантовых состояний, не останется в нем навсегда. Действительно, с течением времени под влиянием малых остаточных взаимодействий система перейдет в другие квантовые состояния 1за исключением тех, в которые она не может перейти без нарушения известных ограничений, налагаемых законамн механики). Атом водорода является хорошо известным примером, иллюстрирующим эти рассуждения. Квантовые состояния, используемые для описания атома водорода, получены при рассмотрении одного лишь кулоновского притяжения между ядром и электроном.

Остаточные взаимодействия атома с окружающим его электромагнитным полем вызывают переходы между этими состояниями. Результатом этих переходов является непускание или поглощение *) Например, н случае У частиц, не обладающих винном, число степеней свободы равно т*=зУ. 109 электромагнитного излучения, в результате чего возникают резкие спектральные линии. Примером, имеющим для нас большее значение, является изолированная идеальная система спинов или изолированный идеальный газ. Если в такой системе частицы совсем не взаимодейсгвуют друг с другом, то квантовые состояния, определенные в примерах этого раздела, являются точными квантовыми состояниями и никаких переходов не происходит. Однако такая ситуация не соответствует действительности. Следует иметь в виду, что даже в идеальной системе спинов или в идеальном газе взаимодействие между частицами поч>пи отсутствует, но не отсутствует полностью.

В системе спинов эти небольшие взаимодействия существуют благодаря тому, что каждый магнитный момент создает какое-то магнитное поле, действующее на соседние магнитные эюменты. Аналогично и в газе существуют небольшие взаимодействия между частицами, проявляющиеся в тех случаях, когда две частицы приходят в достаточно близкое соприкосновение (мы называем это столкновением). Если принять во внимание эти взаимодействия, то квантовые состояния, определенные в примерах 11 и Ч, окажутся приближенными квантовыми состояниями.

Взаимодействия вызовут переходы между этими состояниями (частота этих переходов будет тем меньше, чем слабее величина взаимодействий). Рассмотрим, например, систему, состоящую из четырех спинов. Ее квантовые числа приведены в табл.

3.2. Допустим, что эта система вначале находилась в состоянии (+ — ++). Существует конечная, не исчезающе малая, вероятность того, что в результате взаимодействия между спинами через некоторое время система окажется в каком-то другом состоянии, например, (++ — лэ), в которое она может перейтп без нарушения законов сохранения энергии. Мы рассматривали состояния системы, исходя из квантовомеханическнх идей. Действительно, атомы и молекулы, составляющие любую систему, описываются законамн квантовой механики.

В некоторых условиях достаточно хорошим приближением может оказаться описание системы в рамках классической механики. Применимость такого приближения рассматривается в главе 6. 3.2. Статистический ансамбль Если бы мы точно знали микроскопическое состояние, в котором система частиц находится в данный момент времени, то в принципе можно было бы, применив законы механики, вычислить все возможные свойства нашей системы в любой последующий момент времени. В действительности мы не располагаем точным знанием микроскопического состояния макроскопической системы и нас даже не интересует столь детальное описание ее свойств.

Поэтому мы перейдем к рассмотрению свойств систем с точки зрения понятия о вероятности. Вместо единственной интересующей нас макроскопической системы мы сосредоточим внимание на ансамбле, состоящем 110 из очень большого числа систем, удовлетворяющих тем же условиям, которым, как мы знаем, удовлетворяет наша система. С помощью такого ансамбля мы сможем высказать различные вероятностные утверждения относительно нашей системы.

Полное макроскопическое описание системы из многих частиц определяет так называемое микроскопическое состояние или микро- состояние системы. Такое описание заключается в указании величин, которые можно определить с помощью макроскопических измерений. Поэтому макроскопическое описание содержит лишь весьма ограниченную информацию относительно частиц, образующих систему.

Рассмотрим примеры макроскопического описания. 1. Информация о внеиилих параметрах системы. Существуют некоторые макроскоппчески измеримые параметры системы, которые влияют на движение входящих в ее состав частиц. Эти параметры называются внешними пара,иетрами системы. Например, система может быть помещена во внешнее магнитное поле В или электрическое поле $. Так как существование этих полей влияет на движение частиц системы, то В и Я являются внешними параметрами. В качсстве друтого примера рассмотрим газ, заключенный в ящик размерами Е„йх, Е,.

Эти величины также являются внешннмн параметрами газа. Так как внешние параметры влияют на движение частиц системы, они должны влиять на уровни энергии этих частиц, Поэтому обычно энергия каждого квантового состояния системы зависит от ее внешних параметров. Например, в случае системы спинов из табл. 3.1 следует, что энергии квантовых состояний зависят от величины магнитного поля В.

Лналогпчпо, в случае частиц, находящихся в ящике, из выражения (!5) непосредственно следует, что любое квантовое состояние определяется квантовыми числамн (л„ и, л,) и энергия этого состояния зависит от размеров А,, А , Л, ящика. Таким образом, для определения возможных значений энергии квантовых состояний системы нужно знать ее внешние параметры.

П. Информация о начальном состоянии системы. Ввиду наличия законов сохранения механики начальные условия, существующие в системе, накладывают определенные ограничения на последующее движение частиц системы. Предположим, например, что мы имеем дело с изолированной системой, которая не взаимодействует нн с какими другими системами. Тогда законы механики требуют, чтобы полная энергия такой системы (т. е. полная кинетическая и потенциальная энергия всех частиц системы) оставалась постоянной.

Другим возможным случаем является система, приготовленная таким образом, что ее полная энергия определена лишь с некоторой конечной точностью. Это значит, что полная энергия системы лежит в некотором небольшом интервале значений, заключенном между Е и Е+бЕ. В этом случае закон сохранения энергии требует, чтобы полная энергия системы всегда оставалась в этом интервале значений. Следствием указанного ограничения будет то, что систему всегда можно обнаружить только в квантовых состояниях„энергия которых лежит в интервале от Е до Е+бЕ "). Мы будем называть доступными состояниями системы те квантовые состояния, в которых она может пребывать без нарушения заданных условий ее су!цествования. Статистический ансамбль, созданный в соответствии с этими условиями, состоит„такни образом, из систем, находящихся в доступных состояниях, Как было сказано выше, определение макроскопического состояния спсгемы, состоящей пз большого числа частиц, содержит в себе весьма ограниченную информацию о системе.

Если система наход!поп в каком-то заданном ,иокроеоспзояним, то обычно число доступных макросостояний очень велико (так как велико число частиц в системе). Например, в случае системы, о которой нам известно, что се энергия лежит в пределах от Е до Е+бЕ, системе будут доступны все квантовые состояния, энергия которых лежит в этих пределах. Принципиально проще начать с рассмотрения изолированной системы, которая не обменивается энергией ни с какой другой системой **). Предположим, что макроскопическое состояние такой изолированной системы задано тем, что нам известнь! значения виеш .,!х параметров и узкого интервала энергии системы.

Эта информа!шя определяет энергии различных квантовых состояний системы. Для иллюстрации сделанных замечаний мы рассмотрим некоторые простые системы, состоящие нз небольшого числа частиц. П р н м е р !. Рассмотрии систему из четырех частиц, обладающих половинными спинами (магнитный момент частицы Равен )гр). Частицы почещепы в магнитное поле В, В табл. 3.2 перечислены возможные квантовые состояния этоц системы. Теперь допустим, что система изолирована и нам известно, что ее полная энергия равна — 2ррВ.

Характеристики

Список файлов книги