Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В качестве обратного примера, когда т ((тг, рассмотрим кусок медленно ржавсющшо жстеза. Лопустньь шо полное превращение его в окись железа произойдет за т,— !00 лет. Строго говоря, этот кусок железа не находится в раи. поносном состоянии. Но если врезгя т„представляющее для нас практический интерес, раино, скажем, двум дням, то мы ьюжем считать.
чго окисление приоста. нонилось и кусок железа наьодится в равновесном состоянии. Такич образом, зависимость поведения системы от времени имеет значение только в случае те-т, (т. е. когда врет~я, представляющее практический интерес с то!кп зрения экспериментатора, сравншю со временем релаксации системы), и задача оказывается более сложной, так как ее нельзя свести к рассмотрению равновесного или почти равнонесного состояния. 3.4.
Вычисление вероятностей Основной постулат (19) о равной априорной вероятности дает возможность статистически вычислить все не зависящие от времени свойства любой системы, находящейся в равновесии. Зги вычисления в принципе весьма просты. Рассмотрим находя!цуюся в равновесии изолированную систему и обозначим через ь) число ее доступных состояний. Из нашего постулата следует, что вероятность нахождения системы в любом из доступных состояний одна и та же и равна 1/(1 (очевидно, что вероятность нахождения системы в любом из недоступных ей состояний равна нулю). Предположим далее, что нас интересует некий параметр системы, который мы обозначим через у. Например, р может быть магнитным молзентом системы пли давлением.
Когда система находится в данном состоянии, параметр у принимает определенное значение. Обозначим через ут, ум ..., у„возможные значения у *). Среди ь) ") В случае непрерывных параметров мы должны поступить так же, нак в п. 2.6, и разделить область возможных значений р на очень малые интервалы постоянной величины бу. Пронумеровав эти интервалы, мы можем обозначить через го значение параметра, попавшего в )-й интервал. После этого задача сводится к задаче с дискретным числом значений у.
доступных состояний системы будет ьз! состояний, когда параметр у принимает значение ут. Поэтому вероятность Р; того, что параметр у примет значение уг, просто равна вероятности обнаружить систему в ь)! состояниях, которым отвечает значение параметра уо Эта вероятность может быть получена суммированием 1!О (вероятность найти систему в одном из доступных состояний) по всем состояниям, для которых у принимает значение у, Таким образом, вероятность Рг просю в йзг раз больше вероятносп! нахожденич системы в одном из доступных состояний и): (20) Среднее значение параметра у равно тенер!в по определению, л у = ~~ Р,,уг = —, ~~ О,ун г=! !.= ! !21) где суммирование производится по всем возможным значениям д.
Дисперсия величины у мозкет быть сосчитана обычным образом. В принципе подобные статистические расчеты не более сложны, чем расчеты, выполненные нами при обсуждении задачи о бросании набора монет. П р и м е р ). Рассмотанм опяп аисте!!у пз четырех сппнов, сосгогп!пя ко!арой перечислены в табл. 3.2. Предположим, что полная энергия системы известна и равна — 2наВ. Если система находится в равяовесии, то ей в равной иере даст) пны все четыре доступных состояния: (++ -(- — ), (+ -(- — — Р ), (+ — ++), ( — -(- -" — '-) Рассмстрнн любое из этих сос~ояний, напричер, первое. Какова вероятнасгь того, что в этом состоянии тшгннтные моменты спиноз направлень! вверх) Рассмотрим любая яз этих четырех спиноз, например, первый.
Какова вероятвасть того, что ч!агнптный т!аз!ент этого спина смотрит вверх? Так как он смотри! вверх в трех случаях на четырех равновсроятных доступных сосгояннй, то эта вероятность равна 3 Р., =--- 4 Чему равен средний магнитный з!омент этого спина в направлении приложенного поля Из В трех случаях магшзтньш х!от!снт равен ра, а в четвертох| случае он равен — не. Поэтому среднее значение мамы!та равно 44 зр.+( — ра) 4 2 Заметим, кстатя, !то для отдельного спияа пашей системы вероятности быть направленным вверх и вниз не равны друг другу.
Это значит, что вероятности *) Простая форма результата (20) объясняется нашит основным постулатом, который заключается в том, что система с равной вероятностью может находитг,- ся в любом из доступных состояний. В ансамбле иэ й( систем число аз!систем со значением у=-у! пропорционально числу состояний, доступных системе прн у=.уп Поэтому Рг=.=-Л;!)У=-()ггт). найти его в любом нз двух возможных состоянии не одинаковы. Этот результат не противоречит, однако, нашему основноиу статиспшескому постулату. Дело в тоти что этот отдельный спин не изолирован. Он нвляется частью большой системы, в которой ои может взаимодействовать с другими спинами и обмениваться с ними энергией.
П р н м е р !!. Рассьютрим систему спиноз, приведенную в табл. З.З. Известно, что полная энергия этой системы равна — Зрап и по система находится в равновесии. Это значит, что ее равновероятно найти в любом из пяти доступных состояшнк Сосредоточим нзше вяимание на подсистеме А, состошпей нз трех снннон, н обозначим через М нх полный магнитный момента направлении поля В.
Мы видим, что М может принюгагь два возможных значения: Зи, плп †. Вероятность этих двух значений можно сразу нависзть, носпользочзвшись табл п.ей, Имеем 2 Р Рра) 3 Р( ро)=' 5 Вреднее значение М следует из выражения — 2 !Зр,) д). 3 ( — )г,) 3 М ==- ==, па. Рассмотренные примеры были очень просты, так как касались метем, состоящих всего из нескольких частиц. Их цель, однако,— дать представление об обпдем методе, которьш используется при вычислении вероятностей и средних значений для любых систем, независимо от степени их сложности. Единственное различие связано с тем, что в случае макроскопическоп системы, состоящей из огромного числа частгш, перечисление возможных состояний, характеризуемых определенным значением некоторого параметра,' является существенно более трудным делом. В этом случае реальные вычисления могут быть весьма сложными.
3.5. Число состояний, доступных макроскопической системе В первых четырех разделах этой главы были рассмотрены основные идеи, необходимые для построения количественной теории макроскопических систем, находящихся в равновесии, и для качественного описания приближения к равновесному состоянию. В оставшейся части главы мы познакомимся со значением этих идей и воспользуемся ими, чтобы уточнить иекоторыс рассуждения главы 1, имевшие качественный характер.
Это предварительное рассмотрение подготовит нас к систематическому применению основных идей в оставшейся части книги. айы видели, что для вычисления свойств находящейся в равновесии системы необходилю подсчитать число доступных состояний этой системы в различных условиях. Такой подсчет состояний кажется очень трудным, но часто эту трудность можно обойти. В физике иногда полезнее догадаться, чем делать трудные вычисления. В частности, сейчас нам нужно понять некоторые общие свойства числа доступных состояний любой системы, состоящей из очень большого числа частиц. Для нас достаточно качественного понимания этих свойств и некоторых довольно грубых оценок, Поэтому л~ы ыожелч ограничиться приближенным рассмотрением задачи.
Рассмотрим макроскоппческую систему с заданными внешнимп параметрамп, которые определяют ее уровни энергии. Обозначим полную энергию системы через Е. Чтобы подсчитать число доступных состояний, выясшгдп как это число зависит от энергии. Разделим шкалу энергии на малые и равные интервалы ЬЕ. Величина ЬЕ очень мала в жакрогкопнчсгкож смысле (это значит, что она очень мала по сравненшо с полной энергией системы и по сравнеишо с ожидаемой точностью любых макроскопнческих измерений энергии). Но в микроскопической шкале величина ЬЕ огромна (она много больше энергии отдельной частицы системы и также много больше расстояния между соседними энергетическими уровнями системы).
Поэтому любой интервал ЬЕ содержит очень большое число квантовых состояний. Введем обозначение: ь)(Е)== число состояний, энергия которых лежит в интервале от Е до Е+6Е. (22) Число состояний зависит от величины интервала, на который мы разбили нашу шкалу энергии. Так как ЬŠ— величина макроскопическн малая, то о(Е) просто пропорционально ЬЕ, н поэтому можно написать ч) ь)(Е) =-р(Е)6Е, (26) где величина р(Е) не зависит от величины интервала ЬЕ.
!Величина ( (Е) называется гшгипносптью состгьчний, так как она равна числу состояний, приходяшихся на единичный интервал энергии при данном значении энергии Е.! Так как на интервал ЬЕ приходится очень большое число состояний, величина ьа(Е) меняется на небольшую свою часть при переходе от данного интервала энергии к соседним. Таким образом, мы можем считать величину г)(Е) медленно меняющейся функцией энергии. Нас будет интересовать, как величина г)(Е) зависит от энергии Е макроскоппческой системы. Заметим, что величину ьа(Е) можно получить, если нам известна величина Ф(Е)= — -полное число состояний, обладаюших энергией, меньшей Е. (24) Действительно, число состояний, энергия которых лежит между Е и Е+ЬЕ, будет равно 0 (Е) =- Ф (Е + ЬЕ) — Ф (Е) = „—.
6Е. (25) ') Здесь мы имеем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 2.6, где обсуждалсн вопрос о непрерывном распределении нероятности. Чисто состояний И(Е) стремится к нулю, когда к нулю стремится бЕ. и величину (т(Е) можно разложить в ряд Тейлора по степеням ЬЕ. Когда ЬЕ достаточно малб, этот ряд сводится к (2ЗЬ так как членами с высокимн степенями ЬЕ можно пренебречь. 122 Прежде чем рассмотреть общие свойства величины ьг(Е) длв макроскопической системы, полезно на нескольких примерах показать, как подсчитать число состояний крайне простых систем, состояц(их всего лишь из одной частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
