Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В этом случае система можег находптьсн в любои,ш следующих четырех доступных состояний: (++-т- — ) (++ — 1-), (+ — ++), ( — +++) П р и м е р П. Рассмотрии систему Л ', которая состоят из двух по,!систем, Л н Л'. Эти подсистемы могут в небольшой степени взаимодействовать и обченпвиться эг~ергией. Система А состоит из трех спиноз 1й2, которым соатветсгв>юг магнитные момевты рр. Система Л' образована двумя частицами со спинами П2 и магнипрыми моментами 2р,.
Вся система А* нахолится в магнитном поле В. Обозначии через М полный ыагнитный иочснт системы А в направлении поля В, а через М' — т> же величину шш системы А'. Взаимодействие между спинаин б>астр *) В некоторых случаях мы мажелр встретиться с др>гиии ограничениячи, например, с сохранениелг полного количества движения системы.
Обычно такое ограничение не представляет интереса по следующим причинам. В большинстве лабораторных опытов мы можем считать, что система нахадитсн в некотором сосуде, жестка связанным с палом лаборатории, а следовательно, с большой массой Земли. Любое столнновение частиц системы с сосудом приводит к пренебре>квма малому изменению сиорости Земли, так как последняя может поглотить любое количество движения системы, приобрегя при этом пренебрежимо малу>о энергию (положение аналогично удару мяча о Землю). Р') Каждую неизолированную систему можно считать частью большей, изолированной системы. 112 считать пренебрежимо мальш, Про иотг полная энергия всей с»степы Л' равна Е'= — (М -, 'й13 В.
Система А* состоит из пяти спинов и обладает поэтому 2а=-32 возможнь:ми квантовыми состоянвями, каждое пз которых может быть обозначено пятью квантопыми числами. Три таких числа, о„пя п оз, указывают орнентаппю трех магнитных моментов системы А и два квантовых числа,о, и о„— ориентацшо магнитных моментов системы А'. Предположим, что ползая энергия изолированной системы А" равна — ЗрэВ. В этом случае система Л* может находиться лишь в люоом нз пяти достушпях состояния, перечисленных в табл. 3.3. Только эти состоинип сов 1естичы с указанным значением полной энепгня системы.
Таблипа З.З и о Зрч ~ з т + + 31Ы вЂ” ие ~ 4 на — Пь В таблипе перечислены г обем,ачены индекс г все гостояния,,юступные Л, ногда се полная энергия в 1шгнитнотг поле В равна — 3 и,В. Спг-! , тема Л* состоит из подсистемы А с тремя спинами 1 1,'2, каждый из которых нмеег магнитный момент, и„, н подсистемы Л' с двумя спинами 1г2, причем ~ , ийнитный момент каждого спина равен 2 нч. Теперь мы можем точно сформулировать, для чего вводится статистическое описание макроскопнческих систем. Мы знаем, что в статистическом ансамбле таких систем каждая система находится в одном из доступных квантовых состояний.
Мы хоте.ш бы иметь возможность предсказать вероятность обнаружить систему в любохг из этих доступных состояний. В частности, различные макроскопическне параметры системы (например, ее полный магнитный момент или давление, под которым она находится) иьгегот значения, которые зависят от того, в каком квантовом состоянии находится система. Зная вероятность нахождения системы в любом из доступных квантовых состояний, мы могли бы ответить на следующие вопросы, представляющие большой физический интерес: Какова вероятность того, что данный параметр системы имеет заданное значение? Каково среднее значение этого параметра? Каково стандартное отклонение от этого среднего? 3.3. Статистические постулаты Чтобы иметь возможность сделать некоторые теоретические предсказания относительно различных вероятностей и средних значений, нам следует ввести некоторые статистические постулаты.
Рассмотрим простой случай изолированной системы (с заданными 113 внешними параметрами), энергия которой лежит в заданном небольшом интервале значений от Е до Е+6Е. Как указывалось, такая система люжет находиться в одном из большого числа доступных состояний. Рассмотрим статистический ансамбль таких систем и попробуем выяснить, что можно сказать относительно ыеролтногхтн нахождения системы в любом из таких доступных состояний? Для решения этой проблемы мы используем простые физические соображения, подобные тем, которые были рассмотрены в п. 1.! и 1.2.
Мы имели там дело с идеальным газом и рассуждали о том, как молекулы, находящиеся в ящике, распределены по возможным положениям в пространстве. Аналогично, наши более абстрактные рассуждения касаются теперь вопроса о распределении систем ансамбля по их возлюжным состояниям. Эти рассуждения приведут к формулировке общих постулатов, являющихся основой статистической теории. Начнем с простой ситуации, когда известно, что рассматриваемая спстелга в некоторый момент времени имеет равную вероятность находиться в любом из доступных ей состояний. Другими словами, системы статистического ансамбля в некоторый момент времени равномерно распределены по доступным состояниям.
Что будет происходить с ними по истеченин некоторого времений Система, разумеется, не будет всегда находиться в данном состоянии. В конце п. 3.1 мы выяснили, что она будет совершать переходы между различными доступными состояниями. Таким образом, мы имеем дело с динамическим процессом. Но в законах механики иет ничего, что давало бы преимущество любому из доступных состояний перед другими. Таким образом, рассматривая ансамбль систем во времени, мы не можем ожидать, чтобы число систем в данной подгруппе доступных состояний уменьшилось, а в другой подгруппе увеличилось бы '). Действительно, законы механики позволяют дать исчерпывающее доказательство того, что если системы изолированного ансамбля сначала были равномерно распределены по всем доступным состояниям, то они всегда будут равномерно распределены по этим состояниям *").
Равномерное распределение остается, таким образом, неизменным во времени. «) Этот довод является обобщениеч сиазанного в п. 1.! об идеальном газе. Если молекулы газа сначала равномерно распределены по обьему ящика, то нельзя ожидать, что с течением времени они самопроизвольно окажутся в части этого ящика. Иными словами, в э~конах механики нет ничего, что дало бы преимущество одной части ящика перед другой. **) Этот результат является следствищч так называемой «теоремы Лиувилля». Ее рассмотрение требует знания аналитической механики и остается поэтому за пределами нашей книги.(Читатель может обратиться, например, к книге Ландау и Лифшип «Статистическая физика», «Наука», 2-е изд., 1964, стр.
22, или Голдстейн «Классическая механика», Гостехнздат, 1967, стр. 289. — Прим. ред.). 114 П р и м е р. Чтобы рассмотреть очень простой случай, вернемся к примеру ) нз п. 3.2. Там мы имели дело с изолированной систехюй четырех спинон, полная энергия которых равна — 2р,В. Предположим, нам известно, что а некоторый момент времени систему можно с равной вероятностью найти в каждом нз четырех доступных состояний: (+ )- + — ), (+ + — + ), (+ — + + ), ( — + + + ) В соответствии с приведенными выше доводами, законы механики не дают преимущества ни одноьзу из этих состояний по сравнению с др) гимн.
Поэтому нвт оснований ожидать, что в более позднее время окажется более вероятньпг найти систему преимущественно в каком-то одном нз указанных состонннп. например, в состоянии (+++ †). Начальная ситуация не будет, таким образом, меняться с течением времени и систему с равной вероятностью можно булет обнаружить в любом из четырех доступных состояний. Рассмотренные соображения позволяют высказать следующее утверждение об ансамбле изолированных систем: если системы такого ансамбля равномерно распределены по доступным состояниям, то ансамбль оказывается не зависящим от времени. В понятиях теории вероятностей это утверждение имеет следующий впд. Если изолированная система может быть с равной вероятностью найдена в любом из своих доступных состояний, то вероятность нахождения системы в каждом из этих состояний не зависит ог времени. Такикг образом, изочированная система, по определению, находится в равновесии, если вероятность ее нахождения в любом пз доступных состояний не зависит от времени.
В этом случае среднее значение любого измериьюго макроскопического параметра системы также оказывается не зависящим от времени "). Имея такое определение равновесия, мы можем представить высказанные выше выводы в виде следующего утверждения: (17) Допустим еперь, что рассматриваемая изолированная система в некоторый начальный момент занимала лишь какую-то часть (подгруппу) доступных ей состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
