Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Но прн любом значении 6Е самые неблагоприятные оценки показывают, что величина (йгр/г(а) 6Е неможет превышать, скажем, 1Оьм н не может быть меньше 1. Логарифм этой величины лежит, следовательно, где-то между 0 и 230 и пренебрежимо мал по сравнению с первым членом, который имеет порядок 10ы. Такиьг образом, в правой части (39) вторым членом можно пренебречь. ййы приходим к выводу, что для мшсроскопической системы число состояний в интервале энергий от Е до Е+6Е обладает следуюшими свойствами: (40) (41) Это значит, что если энергия Е достаточно далека отэнергии основного состояния системы, )п 'ь) не зависит от величины выбранного интервала энергии и по порядку величины равен числу степеней свободы системы. 3.6. Ограничения, равновесие и необратимость Подведем итог нашим выводам, которые будут неоднократно использованы при рассмотрении макроскопнческвх систем.
Исходной точкой наших рассуждений является изолированная система *). Мы знаем, что такая система удовлетворяет определенным условиям, которые можно задать, указав значения некоторых макроскопических параметров системы. Этп условия ограничивают число возможных состояний, в которых может находиться система, сводя их к некоторому числу доступных состояний, согласу юшнхся с ограничениями, наложенными на систему. Число доступных состояний й оказывается зависящим от наложенных на систему ограничений, так что Р=ьа (у) есть функция некоторых макроскопических параметров системы. П р н и е р. Рассмотрим показанную на рнс. 3.8, а систему.
Это идеальный газ, находящийся в левой части сосуда Рь Правая часть сосуда пуста. В этом случае перегородка, разделяющая обе части сосуда, действуег как ограничение, уменьшающее число доступных состояний до значения, прн котором все молекулы находятся в левой часта сосуда. Поэтому число доступных состояний газа зависят от объема левой части сосудв, т. е.
М=йбгг). Статистическое описание системы заключается в вероятностных утверждениях об ансамбле систелй каждая нз которых подвержена одинаковым ограничениям. Если система находится в равновесии, то с равной вероятностью ее можно найти в любом из ьа доступных ') Любую неизолированиую систему можно считать частью изолированной системы. состояний, и наоборот.
Если систему нельзя обнаружить с равной вероятностью в л!обом из О. доступных состояний, то ее статистическое описание будет зависеть от времени *). Вэтом случае в системе будут происходить изменения, направленные к тому, чтобы достичь равновесного состояния, прн котором она с равной вероятностью будет находиться в каждом из с) доступных состояний. Все этн утверждения составляют содер- К жанне наших основных постулатов (!8) и (19). Рассыотриы изолированную систему, находившуюся вначале в равновесии в условиях, когда она имела ссн доступных состояний.
Она с равной вероятностью может оыть найдена в любом из ннх. Допустим, что мы сняли некоторые из первоначально существовавших ограничений (например, убрали перегородку в случае, изображенном на рис..8). Так как теперь система подвержена меныппм ограничениям, чем раньше, то число доступных ей состояний не может уменьшиться. В обычных условиях оно должно сильно возрасти.
Обозначив через Ог новое число доступных состояний, мы имеем 4 сз --. гй (42) Гьс. 3 3 наем .«ма газ а 1««им М и; ~аб(ьнбг ббл~м.бннг: с НгМ!гдЛСННИ ПОСЛЕ СНЯТИЯ На«аЛЬНЫХ ограничений вероятность иахожде!шя системы в любом из состояний останется ;..: пе: пном«и «пью эбб мна ; б ле гого, квк заслонка была прежней. Так как сначала она с равной вероятностью находилась в любом нз Й, состояний, то н немедленно после снятия ограничений она буде~ с равной вероятностью находиться в каждом пз ннх.
Прн этом возможны два случая: 1. Особый случай, когда ь)г. ††-с),. В этом случае удаленнеогранпчений не меняет равновесного состояния системы. 2. Обычный случай, когда ь)г)(2г. Немедленно после снятия ограничений вероятность нахождения системы в новых с?г — ь?; состояниях равна нул!о. Поэтому возникает неравновесное состояние и система начинает изменяться во времени.
Это изменение будет продолжаться до наступления равновесия, когда вероятность пребывания системы в ли!бом из доступных состояний станет одной и той же. П р и м е р. Предположим, что перегородка на рнс. 3.8 убрана. Зто не меняет энергии газа, по увеличивает число доступных состояний, Только в особом а) Т!рутныи словами, в ансамбле систем вероятность найти систему в данном состоянии меняется со временем по крайней мере для некоторых состояний. 128 (это значит, что конечный ансамбль систем существенно отличается от начального), из (44) следует, что вероятность возникновения споь.- танцой флуктуации, возвращающей систему к начальным условняы, оказывается крайне малой. Мы говорим, что процесс является необролгпл»ым, если в ансамбле изолированных систем, совершаюгцнх такой процесс, начальное состояние не может быть восстановлено простым возвратом ограничений. В соответствии с этим определением процесс, в результате которого система достигает нового равновесного состояния после снятия одного из ограничений (это меняет число доступных состояний от (?( до ь?,), необратим, если (?Л)йг Из этого определения следует, что процесс необратим, если после того, как оп совершился, изолированная система имеет вероятность быть найденной в начальном микросостоянин меньше единипы.
Действительно, в обычных случаях (когда (?у> >(?4) эта велоятность чрезвычайно мала. Наше определение необратимости представляет собой простое уточнение формулировки, приведенной в п. 1.2. Старая формулировка была сделана с точки зрения флуктуаций в одиночной изолированной системе при большом времени наблюдений. Л$ы можем теперь уточнить замечание о случайности, сделанное в главе 1. В качестве статистической меры степени случайности в системе мы можем взять число доступных состояний, действительно занятых в ансамбле таких систем.
Процесс достижения нового равновесного состояния после удаления ограничений в изолированной системе приводит к увеличению случайности, если '?,)О,; такой процесс необратим. П р и м е р. Если газ, рассмотренный в предыдущем примере, достиг конечного равновесного состояния, при котором все молекулы равномерно распределены по объему ящика, то простое восстанонление перегородки не приведет к возникновению начального состояния в ансамбле таких яшикон.
Молекулы, распространившиеся на правую часть ящика, тач и останутся. Позгому процесс, развивавшийся после удаления перегородки, необратим. Чтобы оценить величину флуктуации, которая могла бы восстановить на. чальные условия в одном из ящиков ансамбля, вычислим вероятность того, что все молекулы, находящиеся в ящике, снова соберутся в его левой части после достижения конечного состояния равновесия. Как следует из (43) и (44), зта ве- роятность равна (43~ Опафантастическимала, если (гуь Гг и если Л' велико "). Такнч образом, удаление перегородки является примером типичного необратп ого процесса, приво.вящего к увеличению случайного распределения молеиул в газе. Развитую здесь общую точку зрения можно с успехом пояснить на двух примерах макроскопическнх систем, между которымц существует взаимодействие.
ч) Заметим, что в частноь» случае, когда вначале ящик был разделен перегородкой на две равные половины, Ру=.2('»ь так что Р(=2 — М. Зтот результат был уже получен в главе! с помощью простйх соображений. П р и ы е р !. Рассмотрим изолнронанную систему А", которая состоит из лвух подсистем, А и А', с фиксированнымп внешничп параметрамн. (Например. А и А' могут быть кусколт железа н кускоы льда соответственно.) Предположим. что А н Л' настолько далеки друт от друга, что обмен энергией в!ежду ними невозможен.
Пусть существует ограничение, заищочаюшесся в том, что энергия Е системы А и энергия Е' системы А' в отдельности остаются неизменными. Поэтому доступными состояниями полной сисгемы Л* будут такие состояния, которые удовлетворяют ограннченияз!, эаключаюцтиззся в юм, что системы А н Л' имеют определенные значения энергии, равные Ег и Е! соответственно. Если число таких сос"ояний, доступных для системы А', равно Я* и если система Л" находится в равновесии, то оиа будет с равной вероятностью находиться в щобом из этих состояний. Теперь допустим, что системы А и А' приведены в соприкосновение и между инни возможен обмен энергпеи.
При этом установлгнные вьнне ограничения отпадазот: энергии частей А и А' полной системы А" ие долншы быть постоянными, постоянной теперь является лишь полная энергия (Е+Е') всей системы А". В РезУльтате уменьшения ограничений обычное число достщ!ных состояний Рве. 3 !б Двв гвзе, Л я А', рпздепепяые попвюкяо~ перегородяоя. Обыдп зеяявя спггечв Л" посто т оз двух с~меем, А и Л'.
и явп ~ется юопоровпппоз. Ряс 3.9 Две еяезечы, Л с бзиксззроввпныззи впешяпмп пврвметрвмя, которые могут обмгпявягьгя вяергяеа. Объедим.яввя епетема А *, состоя звя мз гнетем .4 я А' явпяетея взопвропзппои. системы А ' сильно возрастает н становится равным Я! При этом (если толыто не оказывается, что Я!.=Я;) псмедленгю после ос)ществленпя контакта .вежду Л и Л' система А" не находится и равновесии. Энергия систем Л и А' меняется «энергия в форт~е тепла переходит от однон системы к другой) до тех пор, пока система А ' не лооп!гнет своего равновесного состояния, когда с равной вероятностью она будет обнаруженной в любом из доступных состояний. Теперь предположим, что системы г! и Г опять разделены и не зюгут больше обменпвагьсч энергией.
Несмотря на то, что первоначальные ограничения теперь восстановлены, начальное состояние системы Л' не восстановлено (если только не оказывается, что Яг=-Я;). В часщюсти, среднее значение энергии для ансамблей А и Л' оглы. чается от начальных значений Е! и Ег. Рассмотренный процесс обмена теплом между системами является, таким образом, необратимым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
